圓錐曲線對稱專題

1、 例談對稱問題的常見解法天津大學附屬中學 竇春波 由平面幾何知識很容易得出如圖（一）如果O上存在兩點A,B關(guān)于直線對稱，則由垂徑定理得直線一定過圓心O，那么對橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線上若也存在兩點關(guān)于某條直線對稱問題該如何解決呢？寶坻一中第二模擬理科考了這樣一道題： 引例 如圖（二）：橢圓C：的 圖（一）離心率為，且過，（）求橢圓方程.（）若橢圓C上存在兩個不同的點P,Q關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.分析：對（）根據(jù)離心率得，所以橢圓方程為過得所以橢圓方程為.針對（）可設(shè)弦PQ的 圖（二）中點H在直線上，再利用點差法聯(lián)立方程且PQ的中點在橢圓內(nèi)部，即可得出參數(shù)的取值范圍.解法：（）略.

2、針對（）令令P，Q分別代入橢圓方程得 點差法：-得，即 ,令PQ中點H，則，又，且PQ垂直直線，又PQ中點H在直線上，代入得，HH在橢圓內(nèi)部，即，解得. 說明：此題方法比較簡單運算量也不太大，學生比較容易接受。對圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某條直線對稱問題高考中也不乏出現(xiàn)此考點，例如2015年浙江高考數(shù)學理科第19題就考到了橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線對稱問題： 例1 已知橢圓C：上存在兩個不同的點A,B關(guān)于直線對稱.（）求實數(shù)的取值范圍.（）求AOB面積的最大值（O為坐標原點）. 分析：（）如圖（三）由題意得，可設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程可得設(shè)A，B。橢圓上存在兩個不同的點A,B關(guān)于直線對稱，

3、>0,設(shè)AB中點P，利用中點坐標公式及其根與系數(shù)的關(guān)系可得P點坐標（用含有 圖（三）的式子表示），又點P在直線上，可得再代入>0，即可得出. （）直線AB與軸的交點的橫坐標為，可得，在利用均值不等式即可得出.解法：（）由題意可得，可設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程，可得設(shè)A，B，由題意可得>0,即，設(shè)線段AB中點P，則由于點P在直線上，代入>0，可得 （）直線AB與軸的交點的橫坐標為，,由均值不等式可得：當且僅當即解得當且僅當取得最大值為. 說明：本考題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得跟與系數(shù)關(guān)系、中點坐標公式、線段中垂線的性質(zhì)、三

4、角形面積公式、弦長公式、均值不等式的性質(zhì)，還考查了推理能力與計算能力，屬于中等偏上難度的題. 注意：因為此種解法學生設(shè)直線AB方程時有些困難，下面再給出三種不同解法學生更能容易想到和接受些： 針對（） 解法：如圖（四）令A，B，A,B兩點關(guān)于直線對稱.直線AB與直線垂直，又時橢圓 圖（四） 上不存在兩點關(guān)于直線對稱，則此時可設(shè)直線AB方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得化簡得，。，令AB中點HH，（）又點H在線段AB中垂線上，解得，又直線與橢圓有兩個不同交點，>0，即，即，將代入得，令,，化簡得， 因為弦AB的中點H在橢圓內(nèi)部，所以將H點代入橢圓方程左邊小于1來做. 解法：（）前解法同方法，將H

5、代入橢圓方程左邊小于1，即代入化簡得，令,，化簡得， 因為圓錐曲線都有對應的參數(shù)方程，所以還可以用參數(shù)方程的方法來解. 解法：橢圓方程為令 （）令A，B，如圖（五）不妨設(shè)，弦AB被直線垂直平分，又時橢圓上不存在兩點關(guān)于直線對稱，即， 圖（五）又弦AB的中點H在直線上，代入得，再與式聯(lián)立得，即，化簡得代入得，即展開即，又， 利用類比思想如何解決雙曲線上存在不同兩點關(guān)于某條直線對稱問題呢？例2 若雙曲線C：上總存在不同兩點P,Q關(guān)于直線對稱，求 實數(shù)的取值范圍. 分析：首先要對參數(shù)是否為0進行討論，再根據(jù)線段PQ中點在直線上，及直線PQ與雙曲線總有兩個不同交點，用>0，進而求出參數(shù)的取值范圍

6、. 解法：如圖（六）第1種情況，當=0時，直線變成直線，此時雙曲線上不存 在P,Q兩點關(guān)于直線對稱，此種情況舍去. 圖（六） 第2種情況，當0時，令P，Q，代入雙曲線中 點差法：-得，即 ,令PQ中點H，則，又，且PQ垂直直線，又PQ中點H在直線上，代入得，H直線PQ方程為點斜式：再與雙曲線C：聯(lián)立得：，化簡得，又>0，=，化簡整理得：，即，解不等式得：. 說明：上述方法雖然簡單，但運算量相當大，一般學生會出錯，那么有沒有更簡單的方法呢？因為直線PQ垂直于直線，所以可設(shè)直線PQ方程為，（）再與雙曲線聯(lián)立用>0即可求出實數(shù)的取值范圍. 解法：第1種情況，當=0時，直線變成直線，此時雙

7、曲線上不存在P,Q兩點關(guān)于直線對稱，此種情況舍去. 第2種情況，如圖（七）當0時，令P，Q，直線PQ垂直于直線，設(shè)直線 PQ方程為，（）與雙曲線C：聯(lián)立得：，>0，即，化簡整理得：,（） 圖（七）又，令PQ中點H又H點在直線上，解得，又由（）得， 解得，即，解不等式得：. 下面我們再看一道有關(guān)拋物線上不同兩點關(guān)于某條直線對稱問題。例3 若拋物線上總存在不同兩點M,N關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍. 分析：因為直線過定點Q，且斜率 一定存在，只需對參數(shù)是否為0進行討論，再根據(jù)線段MN中點在直線上，及直線MN與拋物線總有兩個不同交點，用>0，進而求出參數(shù)的取值范圍. 圖（八） 解法：第

8、1種情況，當=0時，直線變成直線，此時拋物線上不存在M,N兩點關(guān)于直線對稱，此種情況舍去.第2種情況，如圖（八）當0時，令M，N,直線MN垂直于直線，設(shè)直線MN方程為，（）與聯(lián)立消得：即，令MN中點H在直線上，即代入直線方程得：=整理得，又>0，即=，又，綜上所述. 說明：雖然此種方法是常見解法，但此種方法運算技巧和運算量都很大，學生容易不到或運算不準，所以利用MN中點H在拋物線內(nèi)相對比較簡單.解法：第1種情況，當=0時，直線變成直線，此時拋物線上不存在M,N兩點關(guān)于直線對稱，此種情況舍去. 第1種情況，當時，令M，N，分別帶入拋物線方程得： 點差法：-得， 即 ,，則，令MN中點H在直

9、線上，即，解得，MN中點H在拋物線內(nèi)，即，又，綜上所述. 小結(jié)一下，要想解決圓錐曲線C上存在兩點A,B關(guān)于直線對稱，一般直線含有參數(shù)，求參數(shù)問題。常見方法有以下三種： 1.判別式法，即利用弦AB中點H在對稱直線上，在用點斜式設(shè)出直線AB的方程，再與圓錐曲線C聯(lián)立，利用>0，進而求出參數(shù)的取值范圍. 2.點差法，即令A，B，代入圓錐曲線方程C，利用，利用AB中點 H在直線上求出求出參數(shù)的取值范圍. 3.中點法，即先求出弦AB中點H(用參數(shù)來表示）在對稱直線上，再利用中點H在圓錐曲線C的不同位置來求出參數(shù)的取值范圍。值得說明的是AB中點H的位置問題： （1）當圓錐曲線C為橢圓時，則AB中點H

10、在橢圓內(nèi)部，即. （2）當圓錐曲線C為雙曲線（即焦點在軸上）時，則；當圓錐曲線C為雙曲線（即焦點在軸上）時，則. （3）當圓錐曲線C為拋物線（） 時， 則； 當圓錐曲線C為拋物線（）時， 則； 當圓錐曲線C為拋物線（）時， 則； 當圓錐曲線C為拋物線（）時， 則.相關(guān)練習： 1.已知橢圓C：上總存在兩點A,B關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍. 【參考答案 ：如圖（九）】 圖（九） 圖（十）2. 已知焦點在軸上的橢圓C：上總存在兩點M,N關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍. 【參考答案如圖（十）】3. 若雙曲線C：上總存在不同兩點P,Q關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍. 【參考答案：如如圖（十一）】 圖（十一） 圖（十二）4.已知雙曲線C：上存在不同兩點M,N關(guān)于直線對稱，且線段MN的中點H在拋物線上，求實數(shù)的取值范圍.【參考答案：如圖（十二）】5.（2016年江蘇高考【必做題】25題）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線：，拋物線C：.（）若直線過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（）已知拋物線C上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點P，Q. 求證：線段PQ的中點坐標為； 求的取值范圍. 【參考答案：（）；（）略；】 圖