數(shù)學(xué)必修4-第二章-平面向量知識點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 數(shù)學(xué)必修4第二章 平面向量知識點2.1 平面向量的實際背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長度），如的模分別記作|和。注：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。3. 幾類特殊向量(1)零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）(2)單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量。將一個向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：(3)平行向量（共線向量

2、）：方向相同或相反的非零向量,稱為平行向量.記作。規(guī)定：與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。（4）相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。關(guān)于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， =； ； 若、是互為相反向量，則=,=,+=。（5）相等向量：長度相等且方向相同的向

3、量。記為。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合。2.2 平面向量的線性運(yùn)算1.向量加法（1）定義：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=。規(guī)定：；（2）向量加法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則” 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線。 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。注：當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（3）向量加法的運(yùn)算律：交換律： 結(jié)合律：2.法向量的

4、減（1） 定義：若則向量叫做與的差，記為。求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。（2） 向量減法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則” 三角形法則：當(dāng)有共同起點時，表示為從減向量的終點指向被減向量的終點的向量。 平行四邊形法則：兩個已知向量是要共始點的，差向量是如圖所示的對角線。設(shè)則-=.3.實數(shù)與向量的積（1） 定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： ； 當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的。（2） 數(shù)乘向量的運(yùn)算律 ；。2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的

5、任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2.注意：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，則AOB，叫向量、的夾角，當(dāng)=0°，、同向，當(dāng)=180°，、反向，當(dāng)=90°，與垂直，記作。3.平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作的橫坐標(biāo)，y叫做作縱坐標(biāo)。規(guī)定： ， 相等的向量坐標(biāo)

6、相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān)4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則；若， 則附：向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；4. 2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；5. 3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。運(yùn)算向量形式坐標(biāo)形式：；加法<1>

7、平行四邊形法則：起點相同，對角線為和向量。<2>三角形加法法則：首尾相連。記：減法起點相同的兩個向量的差，（箭頭指向被減向量）記：數(shù)乘是一個向量，方向：時，與同向；時，與反向；時，數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)交換律：；結(jié)合律：；。加法： 減法：2.4 平面向量的數(shù)量積（1） 平面向量的數(shù)量積的定義 向量，的夾角：已知兩個非零向量，過O點作，則AOB=（001800）叫做向量，的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。 的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積

8、），記作，即=，規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時，=900，這時=0。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有：；當(dāng)同向時，；當(dāng)反向時，特別地，。；(3)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立： 對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；（3） 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)則=x1x2+y1y2 若=(x,y),則|=.=x2+y2, 若A(x1,y1),B(x2,y2),則 若=(x1,y1),=(x2,y2)則（注意與時條件區(qū)別，）若=(x1,y1),=(x2,y2)則2.5 平面向量應(yīng)用列舉1、 線段的定比分點（1）定義：設(shè)P1,P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于P1,P2的任意一點，則存在一個實數(shù)，使，叫做點P分有向線段所成的比。當(dāng)點P在線段上時，；當(dāng)點P在線段或的延長線上時，<0（2）定比分點的坐標(biāo)形式,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？（3）中點坐標(biāo)公式當(dāng)=1時，分點P為線段的中點，即有，向量形式呢？2、平移（1）圖形平移的定義：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將圖上的所有