數(shù)學(xué)必修2第四章知識點小結(jié)及典型習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 圓與方程一、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合(或點的軌跡)叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.二、圓的方程：（標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程）（一）標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心，半徑為圓的參數(shù)方程（還未學(xué)習(xí)，暫作了解），為參數(shù)，為參數(shù)1、求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)法：往往已知圓上三點坐標(biāo)，例如教材例2利用平面幾何性質(zhì)：往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交。相切：利用到圓心與切點的連線垂直直線相交：利用到點到直線的距離公式及垂徑定理2、特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點 過原點 圓心在軸上 圓心在軸上 圓

2、心在軸上且過原點 圓心在軸上且過原點 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 （二）圓的一般方程：1、圓的一般方程的特點： (1)和的系數(shù)相同，且不等于0 沒有xy這樣的二次項 (2) 求圓的一般方程采用待定系數(shù)法：圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了如教材例4(3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。2、表示圓方程，則3、常可用來求有關(guān)參數(shù)的范圍。4、（1）當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為； （2）當(dāng)時，表示一個點；（3）當(dāng)時，方程不表示任何圖形。例：若方程表示圓，

3、則實數(shù)a的取值范是（ ）。A、 B、 C、 D、（三）注意求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。三、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系：1、判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外2、涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值 （2）圓內(nèi)一點，圓上一動點，討論的最值 、 思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）例：若點(1，1)在圓的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）。 A. 1&l

4、t;a<1 B. 0<a<1 C.a<1或a>1 D.a=±1四、直線與圓的位置關(guān)系的判定及弦長公式：（一）直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，判斷方法如下：1、設(shè)直線，圓，圓心到直線l的距離為，則有直線與圓相離；直線與圓相切； 直線與圓相交；這一知識點可以出題：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2、設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。（二）直線與圓相切1、知識要點基本圖形主要元素：切點坐標(biāo)、切線方程、切線

5、長等問題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑2、常見題型求過定點的切線方程（1）切線條數(shù)：點在圓外3條；點在圓上1條；點在圓內(nèi)無（2）求切線方程的方法及注意點i）點在圓外如定點，圓：，第一步：設(shè)切線方程第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當(dāng)不存在時，應(yīng)補上千萬不要漏了！ii）點在圓上1） 若點在圓上，則切線方程為會在選擇題及填空題中運用，但一定要看清題目.2） 若點在圓上，則切線方程為碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運用上述結(jié)果.由上述分析，我們知道：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù)。如：

6、1、過點作圓的切線，求切線方程。（答案：和）2、經(jīng)過點P(1，2)點作圓的切線，則切線方程為 3、經(jīng)過點P(4，8)點作圓的切線，則切線方程為 4、經(jīng)過點P(1，2)點且與圓相切的直線方程為 （3）求切線長：利用基本圖形，求切點坐標(biāo)：利用兩個關(guān)系列出兩個方程（三）直線與圓相交1、求弦長及弦長的應(yīng)用問題：垂徑定理及勾股定理很常用弦長公式：（暫作了解，無需掌握）2、判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點，而定點恰好在圓內(nèi).3、關(guān)于點的個數(shù)問題如：1、若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_.答案：2、已知直線：3x +4y12=0與圓C：C：(x3)2 + (y2

7、)2=4.請選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嘀本€與圓C的位置關(guān)系;若直線與圓C相交，請求出直線被圓C截得的弦長。解法1：（代數(shù)法） 解法2：（幾何法）總結(jié)：(1)代數(shù)法：設(shè)直線與圓的方程連立方程組，消元后所得一元二次方程為，其兩個不等實根為，.則其兩點弦長為|AB|=。 (2)幾何法；設(shè)直線：Ax+By+C=0，圓C：，圓心C(a，b)到直線的距離=，弦長|AB|=2。3、圓的上點到直線x+y14=0的最大距離和最小距離為 和 。最大距離和最小距離的差為 五、圓與圓的位置關(guān)系：1、判定方法：常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1：(xa1)2+(yb1)2=r 2，C2：(x

8、a2)2+(yb2)2=R 2 (設(shè)R>r)當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時，為同心圓。注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線 圓的輔助線一般為連接圓心與切點或者連圓心與弦中點如：已知圓C1：和圓C2：，試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，試求出它們的交點坐標(biāo)。2、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線

9、的中垂線方程.兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例：已知圓C1：和圓：，試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，則設(shè)其交點為A、B，試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長。3、圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：上述圓系不包括；當(dāng)時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程為數(shù)學(xué)思想方法簡介方程思想與坐標(biāo)法直線方程Ax+By+C=0與圓的方程有三個方面的應(yīng)用：（1）通過研究直線與圓或圓與圓的方程聯(lián)立所得的方程組的解的情況來確定直線與圓之間的交點情況，從而判定直線與圓的之間位置關(guān)系，圓與圓之間位置關(guān)系及求它們的交點坐標(biāo)。（2）通過點到直線的距離公式求出圓

10、心到直線的距離=，并比較d與半徑r的大小解決圓與直線的有關(guān)性質(zhì)問題。或圓心距與圓半徑的和或差大小的比較，解決圓與圓之間的性質(zhì)問題。(3) 利用已知方程，任給一個坐標(biāo)x的值，就可以求另一個坐標(biāo)y的值解決實際問題專項練習(xí)：(1) 過原點且傾斜角為60°的直線被圓截得弦AB長為 (2) 已知一圓上的兩點A(2，3)、B(2，5)，且圓心C在直線x2y3=0上，求此圓C的方程.(3) 求以點M(2，1)為圓心且與直線3x4y+5=0相切的圓M的方程.(4) 求圓心在直線3xy=0上，與x軸相切，且被直線xy=0截得弦長為2的圓C的方程。(5) 已知過點M(3，3)的直線被圓C：截得弦長為4，

11、求直線的方程。(6) 求圓心在直線xy4=0上，并且經(jīng)過圓和圓的交點的圓C方程。(7) 求過點M(3，1)，且與圓C：相切于N(1，2)的圓C方程.(8) 求圓心在直線2x+y=0上，并且經(jīng)過點A(2，1)，與直線x+y=1相切的圓方程.(9) 已知圓C與圓：相外切，并且與直線：x+y=0相切于點P(3，)的圓C的方程.(10) 已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(1,0)和B(3，4)，線段的垂直平分線交圓P于點C、D，且|CD|=4.(1)求直線CD的方程。(2)求圓P的方程。(11) 一條光線從點A(2，3)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，求反射后的光線所在直線的方程。(12) 一條光線從點A(

12、1，1)射出，經(jīng)x軸反射后，照射到圓C：的一點上，求這條光線由A點入射、反射到圓上的最短路程。六、空間直角坐標(biāo)系：1、空間直角坐標(biāo)系：從空間某一個定點O引三條 且有 單位長度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標(biāo)系叫做空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點O叫做 ，x軸、y軸、z軸叫做 。在畫空間直角坐標(biāo)系O-xyz時，一般使xOy=135°，yOz=90°。2、坐標(biāo)平面：通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做 ，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面。3、在空間直角坐標(biāo)系中，空間一點M的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點M在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，

13、y，z)，其中x叫做 坐標(biāo)，y叫做 坐標(biāo)，z叫做 坐標(biāo). 4、右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，讓右手大拇指指向為x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。注意：(1)在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz上非原點的坐標(biāo)有什么特點？(2)在空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸上非原點的坐標(biāo)有什么特點？5、空間兩點間的距離公式:（1）空間中任意一點到點之間的距離公式：（2）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，設(shè)點P(x，y，z)、，則：點P到原點O的距離|OP|= A與B兩點間距離公式|AB|=點A與B的中

14、點坐標(biāo)公式：專題例題與練習(xí)：例1. 在空間直角坐標(biāo)系中，到點M(3，1，2)，N(0，2，1)距離相等且在y軸上的點的坐標(biāo)為_例2. 與點P(1,3,5)關(guān)于原點對稱的點是( )A、(1，3，5) B、(1，3，5) C、(1，3，5) D、(1，3，5)例3. 已知空間兩點M(2，3，6)，N(m，3，2n)關(guān)于xOy平面對稱，則m+n=_例4. 如圖右側(cè)，已知正方體ABCDABCD的棱長為a，|BM|=|2MD|，點N在AC上，且|AN|3|NC|，試求MN的長練習(xí)1若已知點A(1,1,1)，B(3，3，3)，則線段AB的長為()A4 B2 C4 D3例4圖2在空間直角坐標(biāo)系中，點P(5，

15、2,3)到x軸的距離為()A5 B. C. D.3在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(x，y，z)滿足方程(x2)2(y1)2(z3)23，則點P的軌跡是()A直線 B圓 C球面 D線段4已知點A(3，1，4)，B(5，3，6)，則點B關(guān)于點A的對稱點C的坐標(biāo)為_5以正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且正方體的棱長為一個單位長度，則棱CC1的中點的坐標(biāo)為()A.(，1，1). B.(1，1). C. (1，1，). D. (，1).6空間直角坐標(biāo)系中，x軸上到點P(4,1,2)的距離為的點有()A2個 B1個 C0個 D無數(shù)個7已

16、知A(1，2,11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D鈍角三角形8在空間直角坐標(biāo)系中，一定點到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點到原點的距離是()A. B. C. D.七、求最值問題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率；（2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點間的距離的平方2.已知中，點是內(nèi)切圓上一點，求以，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！）3.設(shè)為圓上的任一點，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┌?、相關(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始終平分圓