第4章一元函數(shù)積分學(xué)

1、精品文檔第4章一元函數(shù)積分學(xué)精品文檔典型例題解析dx1ex解法x x1 e -e1 exdx =d 1ex1 exx=x - In 1 e C1斛法一令1+e=t,x=ln(t1),dx=-dtdxdt11t-1l-/xc=-dt=lnC=x-ln1eC1extt-1t-1t|t|解法三令 ex =t,dx =1 dttdx1ex=x - ln 1exCdxe=dxd11e解法四=f-=-=ln1e)+C=xln(1+e)+C1e4 x2 11e“1edxx4x解法二 （倒代換）令 1=t,dx =1解法1ABCDExF-=一+=+3+4+2,通分，比較兩邊有,422342xx1xxxxx1A

2、=B=E=0,B=1,D=F=1,dxx4x2111二-dxdxdx1-3arctanxC3x3Fdt，dxt4t21t-J?J2dt1t2t2出=t213-11八二一-tt-arctantC1二一-一-3arctanxC3x3x斛法二令x=tant,一-<x<,dx=sectdt,22dxx4x21sectdt一I742tantsect4.=cottdt=cot2tcot2tdt:jcsc2t7cot2tdt9.9.9.9.9.9.=csctcott一cottdt-cottdcott11csct_1dt1.3,=-cottcotttC=-3x-3x3arctanxC不難看出，用部

3、分分式法積分繁瑣，采用倒代換較簡(jiǎn)單。dx1sinx解法（萬(wàn)能代換）令二tan士sinx;且dx2dt22dt1t2,dx=2dt1t21sinx12tt2C-1t1tan-x注三角函數(shù)有理式都可以通過(guò)萬(wàn)能代換法,化為有理函數(shù)的積分。般情況下，積分都較繁瑣,盡量先考慮其它方法。萬(wàn)能代換法的一般方法:x令t=tan2,2dtdx=以2tsinx=21t1-t2,cosx=21t解法dxdx1sinxsin"cos)22dx2x2dtan-21tan-x解法三dxdx1sinxsinsinx2dxx2八tan-1cos一dxxtan-12(JI2cos-一-sinI-42422fx2sin

4、I42sin2三242二-cot42、dx1-sinxdx解法四21sinxcosxdxsinxdx,dcosx22-=tanx2-cosxcosxcosx=tanxCcosxdl_xdx=_4212冗x'2/nx-cos-cos-2142)142解法五dx1sinxdx(ji1cos-x一二x_-tan42x1-xdx1x令x=sint,-:二X:二,dx=dsint=costdt=sintx1-xdx1xjintcostdt)1sintsint1-sintcostdtcost2.=sintdt-sintdt-cost-1一cos2t11.-costtsin2tC222注此題如按常規(guī)

5、令1-x1x=t，21-t21t2一t21dt二類(lèi)似的題目，,1x1xdx,1x,11八dt-costtsin2tC22arcsinx+71-x2+C2,4t加dx=-2dt,2t214t2t2-123t21dt,再用用部分分式法積分,除可令x=sint外，太繁瑣。4tdx=-2dt22t211t21-tt工出t21也可令1-"tx二1t二一22dt1-t2t211-t2-t21=2一1-t2t211dt-22dt=2arctantIn1-t2=2arctanJ1-x+ln1xxxeex-1dx1-X.11x1-x11x解法一（先分部，再換元）xxe.-dxex-1d(eX-1)=2

6、.xd(ex-1)=2xex-1-2ex-1dx令u-Je 1,2注 將分子湊出分母的導(dǎo)數(shù)，再拆項(xiàng)。一 , x2例8求而dx1 -x_1,則dx=2u2dui1+uu2 1-1*=2x、ex1一一4u2du=2x.ex11u=2x.ex-1-4、,ex-14arctanex-1Cdx = -2u2 du ,1 u2解法二（先換元，再分部）xexdx.ex -1(1 u2)ln(1 u2)令u=<e-1，則x=ln(1+u2),2u2du=2ln(1u2)du=2uln(1u2)1u2u2.-42du=2uln(1u)-4u4arctanuC1u=2xex-1-4ex-14arctan.e

7、x-1C1sinxx例6edx1cosxxx2sincos1sinxx1x22xxxxx斛edx=edx22edx=edtan-tan-de1cosx2x2x222cos-2cos一22x.xxx=etan-tan-detan-de=etan-C2222注此題利用了Judv+fvdu=uv+C。又如f-snxdx=Jxdtan-+ftan-dx1cosx22xe2sin2xxxx=xtan+C。又如2x=(2edtanx+2tanxde=2etanx+C2cosx一x-2例72xdxx22x3解原式3(2x2)-3x22x3dx2_1d(x2x3)d(x1)3-3222x2x3(x1)(、2)

8、12 .,=Tn x +2x+32arctan2x100dx =1-x2x -1 1dx -100 xx-12x-12x-11100dxx-1.98_99100=x-1dx-12x-1dx-1|，iix-1dx-1,-1x-1-馬x-1-x-1鄒C979899注對(duì)有理函數(shù)的積分，將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行，但不一定簡(jiǎn)便，因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法。ln x例 92-dxx初 l nx1斛J-dx = - In xdxx例 10arctandxel nxx1, In x d In x =xxix'dx =l nx 1 Cxa r c t aenx dxearc

9、tan exx 2ex. arctanex , x e dx =2 deex-a rct aend 口 e, xxarctane 1 , x arctane；d arctane =-x. xxe ee1x2xe 1 edexarctanexxe/1ex<ex 1 +e2xdexarctan exxex-1, 2x 2xdearctane1,2xC二x-ln1eCex2注例9和例10用到了一個(gè)有用的公式：Judv=-ud1=-1+包。適用于被積表達(dá)式vvvv為商的形式，其分母為某一函數(shù)的的二次式，而分子為此函數(shù)的微分與另一函數(shù)的乘積。如果分arcuinax母不是二次式，有的可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q

10、化為二次式，再用之。例12產(chǎn)sin，dx（2006ex年考研數(shù)學(xué)2）解法3利用了這個(gè)公式。下面的例11也利用了這個(gè)公式，比用有理函數(shù)積分法簡(jiǎn)單。一x2例112dx1 x2x212dx 二一1 x22-td 1 x2 - -1. x d 1 x211 x2_ 1 x21 x2dx注與例11類(lèi)似的題目有4x33x-2,1dx=4x3d2x-214x32x-21.c2d4x3-214x32dx424=4In1x一例12-xarcsine44d1x4=-x4d1x4C1=11n1x4dx【2006年考研數(shù)學(xué)2x解法一令arcsine=t,x=lnsint,xarcsinedx二tcostsintsin

11、tdt-td解法sint+lncsct-cott+C一一一一xarcsineIn1-1-e2x一一一_xarcsen1x41-e2x1x1-e2x1x41x4%dx4-xarcsinedx解法三costdx=dtsintsintxarcsineInsintsintdt11-e2x-xCdx=-arcserde1-t2dt=-1In2-xarcsine一一一一xarcsine一一一一xarcsine1-t1-txarcsenn2dx二C-1ln21；1一e2x1-12xe一一一一xarcsineexdx二一一一一xarcsine1x-darcsineexarcsine1.+-.dx,2x1-e1

12、,寸1-e2x1-；1-e2x-xarcsinede+ln12xex2xe1-edxx1arcsinedxexarcsine_ex12x-edx-xarcsine(e")2-1de_一一一一xarcsine-lne-x+(e)-1+Cxarcsine-In1.j-e2x例13xelnj1I1xdxxxarcsine+ln1-，1-e2xxC【2009年考研數(shù)學(xué)2,數(shù)學(xué)3】1xx1X="2t-11dx=d2-1xx=iln1tdI,t2-1解令ln1tln1tt2-11，,"ln1ttfdtln1t=1一=xln4(t-1)t2-1t-14t12t141n=xln例

13、14求極限(2)n21n22n1n222nn(3)limJf1-f2111fn1-lf51，其中f(x)=e"5,<n)eJ<nJW(4)2n22n2nncoscos一cos一lim：+/+川J1.2.nn+n+n+一nnn(1)1lim：91一+；-,c2222,nnIIPdxln1x2(2)(4)limn+12,Tn+nJ=limn：二limn二12in1n2n1=limlimn一/：nn一1：n1二limn:二n(3)limnn-.：-dx2=一o1x2422fI-fI-InJInJ2cosIHl"flim/E7n-：-ln=limen:f1ndx=lim

14、e01x=2n：JT1cos2ni1_nn2-n+Illcos2更1nnJ2二cos一nn1limn二11-lne1xdxe022二cosnn22限cos一IHn,nn2冗1<cos一十cosInn1i,2n二,一|cosnn1'n2二122二12n二limcos2cos2一-|cos2一n-、nnnnn1-icos2二xdxo11+cos2nXdx_1+102X-2471sin2nx12'利用夾逼準(zhǔn)則可知,2兀cos一limn-n_-11n-n22二cos2n-no2cosn二12sin x1t1tdt例15求極限limx.0sinx0t1t1tdtFtlimx)0xs

15、dt=limx.01sinxsinxsinx例161lim1sinxsinxx40limx>0sinxe4dt1fx0Tx-dx1fx1_11x2|ddx=2f(x)dTx>=t2f(x)dk2|ee'dtdx0Jx。0_分部積分有,Lx1x11x_t221|e"dtdx=2xje4dt-2fxdfe"dt0J1-100112=-2xe'dx=.0122一x2xed-x=e,0-1.二e-1此題也可以用第6章中的二重積分的方法解決。_1d . x x = t 2 f x2 dx u01 | x _OyWdx1fx1-dx=2fx0%x0112=一

16、2J|fe-ydydx,交換積分次序有,01x-1221.:-2(ye-ydy=e_y=e_100adx例17計(jì)算I=fdx-0-22xa-x解法一令x=asintdx=acostdta costdta sin t a costcostdt工20二二sintcoscostsin4422.-2"2costdt,I.nsinit一4JT)cosu-tdusinusinucosu,dusinu-Jnsin u2 costdtsin t cost再令2 costdt)sin t costsin udusin tdtsin u cosusin t cost兩式相加，2I7 sin t cost

17、 ,2dt0 sin t costji-0dxx a2 -x2ino4Tl4角系法二令x=asintdx=acostdt解法三令x=asintdx=acostdtI2- costdt0 sin t cost萬(wàn):cost0。sin t 廠sin t cost )-cost sin t costdtcost -sin tsint costdt弓 sint c0st dt- jos出 )sint cost 0 sint cost；132dsintcosti2dt-I0sintcost0=Insint+cost兀qrloTIadxI=0x二a21x2JIo4解法四令x=asintdx=acostdtd

18、x2 costdtx v a2 - x20 sin t cost1 2(costsint)+(sint + cost %t2 0sin t cost1 2 cost -sin t2 0 sint cost1 sin t costsin t costdtsin t costd sint cost g 02dt =ln sint +costJIo4例18設(shè)f(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，f/(x>F(x)分別是它的反函數(shù)和原函數(shù)，證明:jf(x)dxwf(x)-Ff(x)1+C。證Jf,(x)dxxf(xdf)1x因?yàn)閤=f,f,(x)I,所以f1xdx=xf1x).ixd|fJx=xf/xi-!f

19、|f,xd|f'x：l=xfJx-F|fJx,-C22例19設(shè)平面圖形a由x+y<2x與y至x所確定，求圖形a繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解 選x為積分變量,I圖4-2x,xdx1,旋轉(zhuǎn)體相應(yīng)于該小區(qū)間上的薄圓筒的體積近似于一個(gè)長(zhǎng)，dx,J2xx2x的長(zhǎng)方體的體積(長(zhǎng)2n(2-x)可視為半徑為2-x2x-x2-x)dx1hV=2二。(2-x)(2x-x以4-x為曲邊，y =3為底，夾在兩平行直線 x =1,x = 2之間的曲邊梯形，繞 y=3的旋轉(zhuǎn)體x)dx=若選y為積分變量，則12-1212122V=二,012一(1一、1-y)dy一二0(2-y)dy-：23(將該旋

20、轉(zhuǎn)體體積可視為兩個(gè)曲邊梯形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積之差。一個(gè)曲邊梯形的曲邊是x=1_,1_y2，底是x=2,兩條平行直線是y=0和y=1,另一個(gè)曲邊梯形的曲邊是x=y,底是x=2,兩條平行直線是y=0和y=1。)=2,.例20求曲線y=3-x-1與x軸圍成的封閉圖形繞直線y=3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積。【1994年考研數(shù)學(xué)1】圖4-3解利用對(duì)稱(chēng)性，在第一象限2x2+20WxW1y=,故旋轉(zhuǎn)體體積為、4-x21<x422.一12V二二34-20二3-(x22)2dx-23-(4-x2)2dx122448=36-2二(1-x)dx=015212汪兀3-4是圓柱體的體積，”3(x2+2)

21、2dx是看作以x+2為曲邊，y=3為底，2夾在兩平行直線x=0,x=1之間的曲邊梯形，繞y=3的旋轉(zhuǎn)體體積，(冗3(4x2)2dx作體積。圖4-4-x+2所圍三角形繞y=x旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積。解法1旋轉(zhuǎn)體是高為J2,底半徑為的圓錐,3£/2=227'2-：解法2（微元法）_i2設(shè)P(x,y)為直線y=2x,x=0,-上一點(diǎn),13JPM±x軸，PR，直線y=x+2,交x軸于N,OM圖4-5MN二PM=y，設(shè)OR=u,則RN=u,在直角三角形ORN中,2x-xdV=n22一dux23.222dx=_2_ J2n272,321xdx=43錯(cuò)解見(jiàn)圖4-6,dV=二圖4-6

22、2-2x-xdu=J2dx,dV=冗3x2dx，二1x023以上錯(cuò)誤很迷惑人2x-xdu中的x在直線2-duI2二究其原因=nx2dx,2du=J2dx中y=2x上變化，應(yīng)統(tǒng)一在直線注2以上錯(cuò)誤時(shí)而在流行的課件或流行考研參考書(shū)中出現(xiàn)。以下內(nèi)容（包括題目，圖和解）選自國(guó)內(nèi)一流行教材的課件（的x在直線y=x上變化，y=2x上變化。PPT）。其解是錯(cuò)的。求由y=2x與y=4x-x2所圍區(qū)域繞y=2x旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。解：曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,4）,曲線上任一點(diǎn)P（x,4x2、x2）到直線y=2x的距離為x2-2x以y=2x為數(shù)軸u（如圖）,則dV-二：-'2du(du=5dx)=二

23、T(x2-2x)25dx故所求旋轉(zhuǎn)體體積為V=二：*x2-2x)2.5dx圖4-7圖4-8解的過(guò)程中，du =，5dx是錯(cuò)誤的。正確的是1一du=(94xdx。.5設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(x,y),PQx軸，PSOA交x軸于R,則PQ=y,OQ=x,QR=2PQ=2y,設(shè)OS=u,則RS=2u,在直角三角形OSR中，(x+2yj=u2+(2u2,(x+8x-2x22=5u2,9x-2x2=v15u,du=-(9-4xdxo5注3設(shè)曲線y=f(x)在直線y=kx+b(k>0)上方，則對(duì)應(yīng)于區(qū)間Q,b】上曲線y=f(x)繞直線y=kx+b(ka0)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為J If (x) -kx

24、 -b 2 ,z衍十七fxi)例22已知f(x)滿(mǎn)足方程1cf(x)=3x-7l-x|of(xdx,求f(x)。解設(shè)jf2(xdx=C,則f(x)=3x-C，1-x2,兩邊平方并積分，得jf2(x)dx=j(3xCjlx2:dx,12即(3x-CV1-x2)dx=C,13x26C/1x2+C2(1x2)dx=C,3-2C2C2=C,3一一3解得C=3或C=士，2f(x)=3x-3,1-x2或f(x)=3x311x2。注此題解法中關(guān)鍵利用了定積分是個(gè)常數(shù)。類(lèi)似的題目均可以如此處理。參見(jiàn)本章學(xué)習(xí)效果測(cè)試填空題(4)。另外，在多元函數(shù)中也有類(lèi)似題目，見(jiàn)第6章學(xué)習(xí)效果測(cè)試選擇題(6)x2例23設(shè)函數(shù)f

25、(x)=(ln(2+t)dt則f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()A0B1C2D3【2008年考研數(shù)學(xué)1】分析f(x)=ln(2x2)L2x=2xln(2x2)f"(x)=2ln(2+x2)+/x=：0,恒大于0,所以f'(x)在(,收)上是單調(diào)遞增的.2x又因?yàn)閒(0)=0,根據(jù)其單調(diào)性可知f'(x)只有一個(gè)零點(diǎn).a例24曲線方程為y=f(x)函數(shù)在區(qū)間0,a上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分oxf'(x)dx()(A)曲邊梯形ABCD面積.(B)梯形ABCD面積.(C )曲邊三角形ACD面積.(D) 三角形ACD面積.【2008年考研數(shù)學(xué)2】aaaa分析：gxf(x)dx

26、=(xdf(x)=af(a)-f(x)dx,其中af(a)是矩形面積，j0f(x)dx為曲邊a梯形的面積，所以xxf'(x)dx為曲邊三角形的面積。例25求積分1xarcsinxdx【2008年考研數(shù)學(xué)2】0；1-x21 xarcsinx5sintt-斛法1令x=sint,則一,dx=2costdt0.1,x20costZ田2tn=sinttdt=-tdcost二一|tcos隼一(costdt=J。2costdt=sint口=1解法21 xarcsin xd x = - arcsin x d . 1 - x2 0=-V1-X2 arcsinx + f 41 -x2 d arcsin x

27、o %1=00dx=1行*is£insin孕qn上sin呼：例26求I=lim+7+r【1998年考研數(shù)學(xué)1】fn+1n+3n+L解將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：n_nkn1Jsin?kn1Zsin-<Zn<Zsin-,n1kannn1nn.nk二112n2已知limZsin一=Jsinnxdx=,lim=1利用夾逼準(zhǔn)則可知I=一nT)kmnn0二f：n1二例27設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y = y(x )由方程x y t2xI e dt = 10 xsin t出確定,則出dx x4?！?010年考研數(shù)學(xué)3】解應(yīng)填-1。x，y±2x2je出=xfsintdt,令x=0，

28、得y=0。00在J*e"dt=xsin2tdt兩端對(duì)x求導(dǎo)，evx+1+dy=ssin2tdt+2xsin2x,00dx0將 x =0,y =0代入，得1+dy =0 ,所以曳=_1。dxdx x'1n1例 28 (I) 比較 ln lnt ln(1+t)出與 'tn Intdt (n =1,2,|)的大小，說(shuō)明理由。1_n(n)設(shè)un=.0lnt-ln(1+t力dt (n=1,2，惘)，求極限【2010年考研數(shù)學(xué)1,數(shù)學(xué)2,數(shù)學(xué)3】解(I) 當(dāng) 0<x<1 時(shí)，0<ln(1+x)<x, ln t 一此(1+t )T < lnt tn ,

29、1.1所以 Jq lnt ln (1 +t )1 dt < J0tn ln t出(n)1 n1 n11n -44t ln tdt = - f t lntdt = ( ln tdt =A0n+1 011 i n書(shū)1 n+ 1-1lnt + t - dtn+10n+1 0 t=0故由1. -、n1 n0 <un = Qln t ln (1 +t )1 dt < 10t ln tdt一，根據(jù)夾逼定理有n 1lim un =0n s ： n二本章學(xué)習(xí)效果測(cè)試1單項(xiàng)選擇題(1)如果 d f (x )= fd g(x ),則下列各式不一定成立的是()B f x =g xC dfx=dgx

30、D d f x dxd g x dx1若f(xf (xdx = F (x )+C , F =1, f(1)=F(0)=0,則 x xf r(x)dx =()=(x>0),則f(x)=xAlnxCB-Cx20Cx2CD2x2C(3)B -1D xf x - F x C3(4)若函數(shù)f(X)為連續(xù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是Af(x)為偶函數(shù)，則J：f(t)dt+C為偶函數(shù)XBf(x)為奇函數(shù)，則°f(t)dt+C為偶函數(shù)Cf(X)為偶函數(shù)，則J：f(t)dt+C為奇函數(shù)Df(x)為奇函數(shù)，則/f(t)dt+C為奇函數(shù)b(5)設(shè)在Ia,b上，f(x)>0,fx)<0,f&q

31、uot;(x)>0,記s,=jf(xd,xas2=f(bXba),s3=,f(a)+f(b)1(ba),則()AS:二s2:二s3BS3:二S):二S2CS2:二Si<S3DS2:二s3:二Gdxoo(6)設(shè)f(x)連續(xù)，則ftf(x2-t2)dt=().dx0Axf(x2)B-xf(x2)C2xf(x2)D-2xf(x2)x(7)設(shè)F(x)=fof(t)dt，其中12(x21)0<x<12f(x)弋，%-1)1MxM23則F(x)在(0,2)內(nèi)().A無(wú)界B遞減C不連續(xù)D連續(xù)一sinx“(8)設(shè)M=%coJxdx,-21x2jiN=12n：(sin3x+cos4x)d

32、x，-2jiP=f2n(x2sin3x-cos4x)dx,則有工AN：二M：二PBM:二P.NCN:二M:二Px2、:：.(9)設(shè)f(x)=§esinsintdt,則F(x)().A為正常數(shù)B為負(fù)常數(shù)C恒為零().DP：二M:二ND不為常數(shù)(10)設(shè)f(x械b,1】上連續(xù)單調(diào)減,q10fxdxq0fxdxVqw10,1,則有()。q1B0fxdxqqfxdxC0fxdxq0fxdxq,1D無(wú)法比f(wàn)(x)dx與q°f(x)dx大小2填空題(1)設(shè)fxf(x)dx=arcsinx+C,則J(2)已知f'(ex)=xe”,且f(1)=0,則f(x)(3)eTxdx二(4)

33、若f(x)121x2Jix2J。f(x)dx,1J。f(x)dx=(5)k-JIsinnxdx=(6)22n1sinxdx=-012(x1-x)dx=(8)位于曲線y=xe，(0Wx<")下方,x軸上方的圖形的面積為(9)21x-111xex(10)設(shè)lim土士XT：L.x-b,t3求下列不定積分。(1)dx4x212x9dx(4)dt2te(3)arctan1-x-dxx2-2x244sinxcosx(5)dx._42sinxcosxsinxcosx,4-dxsinxcosx(6)(8)lnxrdxxsinx-cosx,dxsinx2cosx求下列定積分。TE；tanx1ta

34、nxexdx(2)64,xsinxcosxdx31:詈dx(4)二24xsecx,42dx01tanx(5)11n1x-dx01x2(6)cosxdx1e-2nndcoslnldxdx_0n為正奇數(shù)5證明Ccosxdx=«”022cosnxdxn為正偶數(shù)06證明n nxf sin x dx = of sin x dx =二 02 f sin x dxxf f (t )d t是偶函數(shù)；若 f (t)是連續(xù)的偶函數(shù)，證明7若f(t)是連續(xù)的奇函數(shù)，證明xIf(t)dt是奇函數(shù)。1n8求limnx+i丫nx+i+1)(x>0)n:ni4,9求由曲線y=sinxxw.0,n與x軸所圍成

35、的圖形分別繞y軸和直線y=1旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。10計(jì)算圓x2+y2=1繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。111設(shè)f(x戶(hù)0,1】上可微，且滿(mǎn)足f(1)20xf(x)dx=0,證明在(0,1)中至少有一點(diǎn)f使fg=-V。12求下列積分(1)f2dx-(2)»lnsinxdx2x2x-20dx(3)當(dāng)k為何值時(shí)，積分fdr收斂，又為何值時(shí)發(fā)散？kxlnx13已知某商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)，邊際成本為c'(x)=0.4x+2(元/單位)，其固定成本是20元，求總成本函數(shù)c(x);如果這種商品規(guī)定的銷(xiāo)售單價(jià)為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤(rùn)函數(shù)L(x卜每天生產(chǎn)多少單位能獲得的總

36、利潤(rùn)最大?14 已知曲線L的方程為x=t2+1,2,(t20),、y=4t-t(I)討論L的凸性;(II)過(guò)點(diǎn)(1,0尸IL的切線，求切點(diǎn)，并寫(xiě)出切線的方程;(III)求此切線與L(對(duì)應(yīng)于XEX0的部分)及x軸所i圍成的平面圖形的面積?！?006年考研數(shù)2】15設(shè)函數(shù)f(x)在10,3上連續(xù)，在(0,)3內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且22f(。)=/0f(Xd=圖4-9證法一利用積分中值定理(2)+f(3),(i)證明：存在“W(0,2)使f0)=f(0)；(ii)證明：存在"(0,3)使f"(1)=0【2010年考研數(shù)3】本章學(xué)習(xí)效果測(cè)試參考答案。1(1)應(yīng)選A由不定積分的性質(zhì)有fx

37、=gxC(2)應(yīng)選D2、1f(x)二x1fx=2x(3)應(yīng)選Bxf(x2)dx=dx122-f(x2)dx2=dx2f(x2)-xC11xf01x dx = xdf x = xf x- 0。一0fxdx=0-Fx(4)應(yīng)選B參見(jiàn)本章學(xué)習(xí)效果測(cè)試第5題：若f(t)是連續(xù)的奇函數(shù)，證明ff(t)dt是偶函數(shù);若f(t)是連續(xù)的偶函數(shù)，證明仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)加上任意常數(shù)函數(shù)。注連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)之是奇函數(shù)，而連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)都是偶函數(shù)。應(yīng)選C5是曲邊梯形的面積,S2是矩形的面積，S3是梯形的面積，曲邊梯形的曲邊單調(diào)減，下凸。(6)應(yīng)選Addx:tf(x2-t2)dt1d2dxxJof(x-

38、tjd(x一t),令x-t=u,t=0時(shí)，u=xt=x時(shí)，u=0,ddxx 220tf(x2-t2)dt1 d2dx01 dx2f udu=2£x22f0 f (u )du =xf (x )。(7)應(yīng)選Df(x揮Ia,b上連續(xù),則F(x)=ff(t)dt在a,b上可導(dǎo)。若f (x )在a,b 上分段連續(xù)(間斷點(diǎn)為第一類(lèi)間斷點(diǎn))，則F(x)=Jf(t)dt在a,b上連續(xù)。(8)應(yīng)選D2 si nx白x2coSx dx (Psin x1 x2cos4為奇函數(shù)),nN = . 21(sin3ji424xcosx)dx=0，12cosxdx0P=2-(x2sin3x-cos4x)dx=0-2

39、cos4xdx:0"2(9)應(yīng)選AF(x)=.xX2：二sintesintdtes1ntsintdt=-2asinte22sintedcostsintdt與x無(wú)關(guān),為常數(shù)。sint.=-ecost2sint0costde2sint=00costde0,1上曲邊梯形的平均高度，即有1qq, 見(jiàn)圖4-9costdt>0。(10)應(yīng)選A從幾何看，在fo,q】上曲邊梯形的平均高度大于等于在10fXdx10fxdxq=0qfXdx11qf(x)dx，q0fxdx-q0fxdx=1-q0fxdx-qqfxdq1 w 10,q,Iq,1,=(1q)qfg)_q(1_q)f(J1其中因)有f.

40、f冉)證法二利用微分中值定理1fxdx_q°fxdx設(shè)Fx=°ftdtx三0,q1,一w(0,q),即qftdt=F'(1尸f(。)，F(xiàn)1-Fq1-q1q,1),即q1q0ftdt-0ftdti-q=口(5)=”務(wù))0qftdt>qf1f21°ftdt-再考慮1-qqq0ftdt,化簡(jiǎn)有f0f(x)dx>qf0f(x)dx,證法三q=0,q=1,有f(x)dx之q(f(x)d利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)證。x。1q1設(shè)Fq70fxdx-.0fxdq0,1qqfq0fxqfq)-qfi-i2qqIIfq-fW0,可知F(q)在(0,1)是不增的，又F(1)=

41、0,即0fxdx-q0fxdx2(1)應(yīng)填-1(1-x2，+C31由ixf(x)dx=arcsinx+C兩邊求導(dǎo)，有f(x)=-$,x、1-x2122d 1 一1.2.21,1-xdx =一 f (x)d x,4 4 0dx=x、1-xdx二一一1一xfx212(2)應(yīng)填f(x)=-lnx2由f(ex)=xe"有exf(ex)=xff'(ex)dex=xdx,“ex”2x2C12令x=0由條件f(1)=0,有C=0,f(x)=ln2x2盧,2e"+Cx之0應(yīng)填exCx：二0xxxlx至0時(shí)，fedx=e+C1，x<0時(shí)，e=ex+C2,考慮到函數(shù)在x=0處連續(xù)

42、，有-1+C1=1+C2。(4)應(yīng)填in4T：1110f(x)dx=.0Ndx0f(x)dx1-x2dx=arctanx0f(x)dx0f(x)df(x)dx=04二1運(yùn)算中將-0f(x)dx視為常數(shù)。由定積分的幾何意義，有-0類(lèi)似的題目均可仿此處理，如本章的例41-x2dx=工(單位圓面積的四分之一)422。又如下題:為常數(shù)，得到關(guān)于10f(x)dx和10f(x)dfx=x24x=_,342-x331110f(x)dx工。32(5)應(yīng)填-nkn二k1.開(kāi)二sinnxdx=1J”nsintdt=-f'nTTsintdt1n=-sinnJ0.20sintdt利用：若f(x)是連續(xù)的周期函數(shù)，T為周期,f(x)dx,其中a為任意常數(shù)。(6)應(yīng)填02二.2n10金xdx=-sin冗2n11dt注若函數(shù)f(x)為I-a,a上的連續(xù)奇函數(shù)，則j：(x十公-21x)dx=x-1dxJx1-xdx12：:.=2°xdx0萬(wàn)2二-f-o321Ji-x2dx是半個(gè)單位圓的面積。-1(8)應(yīng)填1-be=ixe-xdx=-2=1!=1(9)應(yīng)填.1+x一exjxlexd利用了3jeo2(10)應(yīng)填52limfxTx二x-budvvdu=uvC2b二eb2t1btedttde2t0-Q0te22tb2t12