新人教版九年級上冊數(shù)學21.3.2《實際問題與一元二次方程（2）》名師教案（

1、.21.3 實際問題與一元二次方程221.3.2 航行問題、幾何問題胡雯雯一、教學目的一核心素養(yǎng)在幾何問題中以學生熟悉的現(xiàn)實生活為背景，讓學生從詳細問題中抽象出數(shù)量關(guān)系. 經(jīng)歷觀察、考慮、交流，歸納出變化規(guī)律，并用數(shù)學符號表示，進而解決實際問題. 進一步進步邏輯思維和解決問題的才能,培養(yǎng)學生數(shù)學建模的才能.表達數(shù)學在生活中的應用.二學習目的1.在幾何背景下，讓學生通過畫圖獨立理解并解決問題，培養(yǎng)學生對幾何問題的分析才能，以及將數(shù)學知識和實際問題相結(jié)合的思維才能.2.培養(yǎng)學生的閱讀才能.3.根據(jù)實際情況驗證結(jié)果的合理性.三學習重點建立數(shù)學模型，找等量關(guān)系，列方程四學習難點找等量關(guān)系，列方程二、教

2、學設(shè)計一課前設(shè)計預習任務(wù)長方形的長和寬分別是a和b，那么其面積為 ab ,周長為 2a+b .三角形一邊及其這邊上的高分別為a，h，那么其面積為圓的半徑為r，其面積為 ，周長為.預習自測1.如圖，矩形ABCD是由三個矩形拼接成的，假如AB=8cm，陰影部分的面積是24cm2，另外兩個小矩形全等，那么小矩形的長為 cm【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)小矩形的長為xcm，那么小矩形的寬為8xcm，根據(jù)題意得：xx8x=24，解得：x=6或x=2舍去，【思路點撥】設(shè)小矩形的長為xcm，那么小矩形的寬為8xcm，然后表示出陰影部分的寬，從而根據(jù)其面積列出方程求解即可

3、【答案】6cm2.如圖，圓環(huán)的形狀如下圖，它的面積是200cm2，外沿大圓的半徑是9cm，求內(nèi)沿小圓的半徑的長假設(shè)設(shè)小圓的半徑長為xcm，可列方程為 【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)小圓的半徑長為xcm，由題意，得81x2=200【思路點撥】根據(jù)圓環(huán)的面積公式：圓環(huán)的面積=大圓的面積小圓的面積，把數(shù)據(jù)代入公式即可列出方程【答案】81x2=2003. 如圖，張叔叔方案利用一面墻墻長為16m、32m長的籬笆及一扇寬為1m的木門修建一個面積為130m2的矩形雞場假設(shè)設(shè)AB=xm，那么BC用含x的代數(shù)式可表示為 m，依題意列方程 解之得： 滿足題意的x= AB= m

4、，BC= m【知識點】一元二次方程的應用【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)AB=xm，那么BC用含x的代數(shù)式可表示為32+12x=332xm，依題意列方程：x332x=130解之得：x1=，x2=10滿足題意的x=10AB=10m，BC=13m【思路點撥】設(shè)AB=xm，那么BC用含x的代數(shù)式可表示為332xm，根據(jù)雞場是面積為130m2的矩形，列出方程求解即可【答案】332x；x332x=130；x1=，x2=10；10； 134.如圖，在RtABC中，C=90°，點P以1cm/s的速度由點A向終點C運動，點Q以2cm/s的速度由點C向終點B運動，當其中一點到達自己的終點時，另一

5、點隨之停頓運動現(xiàn)AC=12cm，BC=9cm，設(shè)運動了t秒時，SPQC=SABC，那么t的值為 【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：由題意得：PC=12tcm，CQ=2t，那么×2t12t=××9×12解得：t=3或t=9舍去【思路點撥】分別表示出線段PC和線段CQ的長后利用SPQC=SABC列出方程求解【答案】3s二課堂設(shè)計1.知識回憶1列方程解應用題的一般步驟：審，找，設(shè)，列，解，檢驗，答2列方程解決應用問題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，從而建立方程求解.3正方形，長方形，三角形，圓等幾何圖形的周長及面積計算公式；長方體，正方

6、體的體積及外表積計算公式.2.問題探究探究一 面積體積問題活動1 面積問題例. 如下圖，在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，假如要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，求滿足x的方程師問：1掛圖長為 cm，寬為 cm. 2等量關(guān)系是：_.生答：180+2x；50+2x2掛圖面積為5400 cm2.師問:如何列方程？生答：解：掛圖長為80+2xcm，寬為50+2xcm；所以80+2x50+2x=5400，即4x2+160x+4000+100x=5400，所以4x2+260x1400=0即x2+65x350=0【思路點撥】找出掛圖的長

7、和寬，根據(jù)其積為5400，即長×寬=5400，列方程進展化簡即可【設(shè)計意圖】掌握在幾何問題中找長方形的長和寬.活動2 體積問題如圖，張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，求該長方體的底面寬，假設(shè)該長方體的底面寬為x米：1用含x的代數(shù)式分別表示出該長方體的底面長和容積2請列出關(guān)于x的方程師問：1長方體運輸箱底面的寬為xm，那么長為_m，進而得到容積為_.2等量關(guān)系是：_.生答：1x+2；xx+2；2容積是15m3.師問：如何列方程?解：1長方體運輸箱

8、底面的寬為x m，那么長為x+2m容積為xx+2×1=x2+2x；2x2+2x=15老師點撥：1表示出長方體運輸箱底面的寬為xm，那么長為x+2m，進而得到容積為xx+2即可2由圍成一個容積為15m3的無蓋長方體箱子，根據(jù)1列方程即可【設(shè)計意圖】考察列代數(shù)式以及由實際問題列一元二次方程，利用長方體的體積計算公式來解決問題探究二 勾股定理中的一元二次方程活動1 勾股定理的應用例. 直角三角形的三邊長是3個連續(xù)偶數(shù)，求這個三角形的三邊長. 師問：1設(shè)最短邊為2x，另外兩邊長為:_,_.2等量關(guān)系是：_.生答12x+2，2x+4，2直角三角形兩直角邊的平方和=斜邊的平方.師問：如何列方程求

9、解生答：解：設(shè)最短邊為2x，那么另外兩邊的長為2x+2，2x+4，根據(jù)題意得：2x2+2x+22=2x+42；化為一般形式為：x22x3=0故x1=3，x2=-1舍所以三邊長為6,8,10.老師點撥：根據(jù)一邊長表示出另外兩邊的長，然后利用勾股定理列出方程即可；【設(shè)計意圖】學會用字母表示直角三角形的三邊，繼而通過勾股定理尋找等量關(guān)系.活動2 航行問題中的勾股定理例.如下圖，一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40海里/時的速度由南向北挪動，臺風中心海里的圓形區(qū)域包括邊界都屬臺風區(qū)當輪船到A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100海里假設(shè)這艘輪

10、船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風？假設(shè)會，試求輪船最初遇到臺風的時間；假設(shè)不會，請說明理由. 師問：1設(shè)t時刻，輪船行駛到C點，此時AC= ；臺風中心運動到E點，此時AE= ； 2等量關(guān)系是：_.生答：1AC= 20t ；AE= 100-40t ；2EC2=AC2+AE2.師問：如何列方程求解?生答：解：假設(shè)這艘輪船自A處按原速繼續(xù)航行，在途中會遇到臺風設(shè)t時刻，輪船行駛到C點，臺風中心運動到E點，如下圖： 那么可知AC=20t，AE=100-40t， 根據(jù)勾股定理得：EC2=AC2+AE2,當EC=時，整理得出：t2-4t+3=0解得：t1=1，t2=3，求最初遇臺風時間，t=

11、1.答：點C在臺風影響的范圍內(nèi)，會受到影響，輪船最初遇到臺風的時間是行駛1小時老師點撥：根據(jù)勾股定理可得出此時輪船到臺風中心的間隔 ，進而可列方程.【設(shè)計意圖】訓練在方向角背景下用字母表示相關(guān)邊長，再利用勾股定理找等量關(guān)系.探究三 動點問題活動1 三角形背景下的三角形面積例. ：如圖，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm點P從點A開場沿AB邊向點B以1cm/s的速度挪動，點Q從點B開場沿BC邊向點C以2cm/s的速度挪動1假如P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于6cm2？2假如P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？3在1中，P

12、QB的面積能否等于8cm2？說明理由師問：1設(shè)經(jīng)過x秒鐘，BQ=_, BP=_. 2等量關(guān)系是：_.生答：12x，5x；2BP2+BQ2=PQ2師問：如何列方程求解?生答：解：1設(shè)：經(jīng)過x秒以后PBQ面積為6 ×5x×2x=6整理得：x25x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面積等于6cm2 2當PQ=5時，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2，5x2+2x2=52，5x210x=0，x5x10=0，x1=0，x2=2，當x=0或2時，PQ的長度等于5cm3設(shè)經(jīng)過x秒以后PBQ面積為8，×5x×2x=8整理得：x25x+8=0=2532

13、=70PQB的面積不能等于8cm2老師點撥：1設(shè)經(jīng)過x秒鐘，PBQ的面積等于6平方厘米，根據(jù)點P從A點開場沿AB邊向點B以1cm/s的速度挪動，點Q從B點開場沿BC邊向點C以2cm/s的速度挪動，表示出BP和BQ的長可列方程求解2根據(jù)PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；31中面積=8cm2，求解方程.【設(shè)計意圖】訓練在幾何背景下用字母表示變化的邊長，根據(jù)面積列方程式解決問題.活動2 四邊形背景下的三角形面積如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm動點P、Q都從點C同時出發(fā)，點P沿CB方向做勻速運動，點Q沿CDA方

14、向做勻速運動，當P、Q其中一點到達終點時，另一點也隨之停頓運動假設(shè)點P以1cm/s速度運動，點Q以2cm/s的速度運動，連接BQ、PQ當時間t為 秒時，BQP的面積為24cm2師問：整個運動過程中有幾種情況？生答：分兩種情況討論：點Q在CD上；點Q在DA上師問：兩種情況的時間的分界點是多少？生答：4s.師問：當Q在CD上，要表示BPQ的面積，需要知道它的底和高.假設(shè)以BP為底，那么需要做什么輔助線？生答：過Q點作QGBC于G.師問：此時，BP=_,QG=_.生答：14t，2t.師問：當Q在A D上，要表示BPQ的面積，需要知道它的底和高.假設(shè)以BP為底，那么需要做什么輔助線？生答：過Q點作QG

15、BC于G.師問：此時，BP=_,QG=_.生答：14t，8.師問：如何列方程求解生答：解：如圖1，過D點作DHBC，垂足為點H，那么有DH=AB=8cm，BH=AD=6cmCH=BCBH=146=8cm在RtDCH中，DHC=90°，CD=8cm當點P、Q運動的時間為ts，那么PC=t如圖1，當點Q在CD上時，過Q點作QGBC，垂足為點G，那么QC=2t又DH=HC，DHBC，C=45°在RtQCG中，由勾股定理可得QG=2tQG=QCsinC=2t×sin45°=2t又BP=BCPC=14t，SBPQ=BP×QG=14t×2t=14

16、tt2當Q運動到D點時所需要的時間t=4S=14tt20t4，當S=24時，14tt2=24，解得：t1=2，t2=12舍如圖2，當點Q在DA上時，過Q點作QGBC，垂足為點G，那么：QG=AB=8cm，BP=BCPC=14t，SBPQ=BP×QG=14t×8=564t當Q運動到A點時所需要的時間t=S=564t4t4+，當S=24時，564t=24，解得：t=84+，舍去，綜上，當t=2時，S=24.老師點撥：由于點P在線段CB上運動，而點Q沿CDA方向做勻速運動，所以分兩種情況討論：點Q在CD上；點Q在DA上針對每一種情況，都可以過Q點作QGBC于G由于點P、Q運動的時

17、間為ts，可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式列出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍，根據(jù)面積為24cm2，列出方程，解方程并結(jié)合t的范圍取舍【設(shè)計意圖】考察了動點與圖形面積問題，需要根據(jù)題目的條件，分類討論是關(guān)鍵探究四 幾何問題訓練活動1 根底型例題例.在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地假設(shè)耕地面積需要551米2，那么修建的路寬應為多少？只列方程【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)修建的路寬為x米余下的面積表示為：20×3030x+20xx2米2，根據(jù)題意可知：矩形地面所修路面

18、積=耕地面積，依此列出等量關(guān)系：余下的面積表示為20×3030x+20xx2米2，那么根據(jù)題意得：20×3030x+20xx2=551【思路點撥】要求修建的路寬，就要設(shè)修建的路寬應為x米.練習：如圖，矩形ABCD的周長是20cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，假設(shè)正方形ABEF和ADGH的面積之和68cm2，那么矩形ABCD的面積是A21cm2B16cm2C24cm2D9cm2【知識點】一元二次方程的應用【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)AB=xcm，AD=10xcm，那么正方形ABEF的面積為x2cm2，正方形ADGH的面積為10x2cm2，根

19、據(jù)題意得x2+10x2=68整理得x210x+16=0解之得x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，綜上可求矩形ABCD的面積是16cm2【思路點撥】此題可設(shè)AB=xcm，AD=10xcm，那么正方形ABEF的面積為x2cm2，正方形ADGH的面積為10x2cm2，進而結(jié)合題意，可列出方程，求得答案【答案】B【設(shè)計意圖】進一步練習一元二次方程在幾何問題中的應用，在利用一元二次方程解決實際問題時，要根據(jù)實際問題對解進展取舍活動2 提升型例題例. ABC中，A=30°，B=45°，ABC的面積為，假設(shè)AC=m，那么m的值為A1B2CD【知識

20、點】一元二次方程的應用；含30度角的直角三角形；勾股定理.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：如圖：作CDAB于點D，A=30°，B=45°，AC=m，CD=BD=，由勾股定理得：AD=m，AB=AD+BD=mABC的面積為，ABCD=，即：m=，解得：m=2,或m=-2舍去，m=2【思路點撥】作CDAB于點D，利用AC的長表示出CD和AB的長，利用三角形的面積公式得到有關(guān)m的方程求解即可【答案】B練習.甲、乙兩船同時從A港出航，甲船以30千米/時的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/時的速度向東航行，幾小時后兩船相距150千米？可列方程_【知識點】一元二次方程的應用【數(shù)

21、學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)x小時后兩船相距150千米，那么AC=30x，AB=40x，列方程得30x2+40x2=1502【思路點撥】畫出相應圖形后，易得兩船相距的路程，甲航線路程，乙航行路程組成以兩船相距的路程為斜邊的直角三角形，利用勾股定理求解即可【答案】30x2+40x2=1502【設(shè)計意圖】進一步練習一元二次方程在幾何中的應用，勾股定理是此類問題的關(guān)鍵等量關(guān)系.活動3 探究型例題例. 等腰ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的一樣速度作直線運動，P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D設(shè)P點運動時間為t，

22、PCQ的面積為S1求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；2當點P運動幾秒時，SPCQ=SABC？3作PEAC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論【知識點】 一元二次方程的應用；全等三角形的應用. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【思路點撥】由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側(cè)運動，到達一定時間后會運動到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應分條答復【解題過程】解：1當t10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB

23、=10t當t10秒時，P在線段AB的延長線上，此時CQ=t，PB=t102SABC=當t10秒時，SPCQ=整理得t210t+100=0無解當t10秒時，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=5±5舍去負值當點P運動秒時，SPCQ=SABC3當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變證明：過Q作QMAC，交直線AC于點M易證APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半又EM=AC=10DE=5當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變同理，當點P在點B右側(cè)時，DE=5綜上所述，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變【答案】1t&l

24、t;10時， ；t>10時， . 2秒；3不會改變.練習：如下圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G為邊AB上一點，GB=1cm，動點E、F同時從點D出發(fā)，點F沿射線DGGBBC運動到點C時停頓，點E沿DC運動到點C時停頓，它們運動的速度都是1cm/s，假設(shè)E、F同時運動t s時，DEF的面積為5cm2，那么t的值為【知識點】一元二次方程的應用，動點問題.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【思路點撥】分三種情況：點F在DG上；點F在BG上；點F在BC上；根據(jù)等量關(guān)系：DEF的面積為5cm2，列出方程求解即可【解題過程】解：在RtADG中，DG= =5，點F在DG上，依題意有t&

25、#215;t=5，解得t=負值舍去；點F在BG上，依題意有×5×3=7.55，因此，當F在BG上時，DEF的面積不可能等于5；點F在BC上，依題意有×5×3t6=5，解得t=7【答案】t的值為或73. 課堂總結(jié)知識梳理1在實際生活中有許多幾何圖形的問題原型，可以用一元二次方程的方法來解決, 表達數(shù)學建模的思想.2根據(jù)實際情況驗證結(jié)果的合理性.重難點歸納本節(jié)課的中心知識點在此進展回憶，對課堂上的典型方法、特殊例題進展歸納點撥1幾何問題轉(zhuǎn)化為方程來解決，體會數(shù)形結(jié)合的思想.2動點問題中常用動點運動途徑來表示邊長，進而通過幾何關(guān)系尋找等量關(guān)系.三課后作業(yè)根底型

26、 自主打破1.如圖，在一幅長80cm，寬為50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色的紙邊制成矩形掛圖，假如要使整個掛圖的面積為5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么可列方程A80+2x50+2x=5400 B802x502x=5400C80+x50+x=5400 D80x50x=5400【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：依題意，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，80+2x50+2x=5400.【思路點撥】根據(jù)矩形的面積=長×寬，我們可得出此題的等量關(guān)系應該是：風景畫的長+2個紙邊的寬度×風景畫的寬+2個紙邊的寬度=整個掛圖的面積，由此可得出方程【答案

27、】A2.長方形的周長等于62cm，假設(shè)面積等于210cm2，那么它的長和寬分別是A21cm，5cm B5cm，4cm C21cm，10cm D21cm，4cm【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】解：設(shè)長方形的長是xcm，x=210x=21或x=10舍去622121÷2=10長是21cm，寬是10cm【思路點撥】設(shè)長方形的長是xcm，根據(jù)長方形的周長等于62cm，假設(shè)面積等于210cm2，可列方程求解【答案】C3.一個長方形的長比寬多1cm，面積是132cm2，長方形的長和寬分別是_.【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】設(shè)長方形的長為xcm，那么寬為x1cm，xx1=132

28、，即：x2x132=0；解得x1=12，x2=-11不合題意，舍去【思路點撥】根據(jù)長比寬多1cm，面積是132cm2，表示出長和寬，列出等式即可；【答案】12cm，11cm.3.如圖，用一根長為22cm的鐵絲分段圍成一個面積為10cm2的“田字形的長方形鐵絲框設(shè)寬為x，請列出關(guān)于x的方程并化成一般形式_.【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)矩形的寬為xcm，那么長為：cm，根據(jù)題意得到：x=10，化為一般形式為：3x222x+30=0【思路點撥】分別表示出矩形的長和寬，利用面積計算方法列出方程即可【答案】3x222x+30=04.一桌面的長為6米，寬為3米，鋪在

29、桌子上的臺布的面積是桌面面積的三倍，并且各邊垂下的長度一樣，設(shè)臺布垂下的長度xm，可列方程_.【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】解：設(shè)垂下的長度為x，由題意得6+2x×3+2x=3×6×3；【思路點撥】設(shè)垂下的長度為x，根據(jù)矩形的面積計算的方法列出方程即可；【答案】6+2x×3+2x=3×6×35.一個大正方形的邊長比小正方形邊長的2倍少1，假設(shè)大正方形面積比小正方形面積多33，求小正方形的邊長假如設(shè)小正方形邊長為x請列出方程，并化為一般形式_【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】解：設(shè)小正方形邊長為x，大正方形的邊長比小

30、正方形邊長的2倍少1，大正方形的邊長為2x1，根據(jù)題意得：2x12x2=33，化為一般形式為3x24x32=0【思路點撥】根據(jù)小正方形的邊長表示出大正方形的邊長，然后根據(jù)面積之間的關(guān)系列出等式即可【答案】3x24x32=06. 如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點均位于某兩網(wǎng)格線的交點上，假設(shè)灰色三角形面積為平方厘米，那么此方格紙的面積為多少平方厘米？A11B12C13D14【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：方格紙的邊長是x，x2xxxxxx=x2=12所以方格紙的面積是12，【思路點撥】可設(shè)方格紙的邊長是x，灰色三角形的面積等于方格紙的面積減去周圍三個

31、直角三角形的面積，列出方程可求解【答案】B才能型 師生共研1. 如圖，由點P14，1，Aa，0，B0，a確定的PAB的面積是18，那么a=【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】解：作PDx軸于點D，P14，1，Aa，0，B0，a，PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，SPAB=S梯形OBPDSOABSADP =，解得：a1=3，a2=12【思路點撥】作PDx軸于點D，由P14，1，Aa，0，B0，a就可以表示出ABP的面積，建立關(guān)于a的方程求出其解即可【答案】3或12.2.一塊長方形鐵皮長為4dm，寬為3dm，在四角各截去一個面積相等的正方形，做成一個無蓋

32、的盒子，要使盒子的底面積是原來鐵皮的面積一半，假設(shè)設(shè)盒子的高為xdm，根據(jù)題意列出方程，并化成一般形式【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】解：由題意得：無蓋長方體盒子的底面長為42xdm，寬為32xdm，由題意得，42x32x=4×3×整理得：2x27x+3=0【思路點撥】首先表示出無蓋長方體盒子的底面長為42xdm，寬為32xdm再根據(jù)長方形的面積可得方程42x32x=4×3×【答案】2x27x+3=0探究型 多維打破1.把一張邊長為40cm的正方形硬紙板，進展適當?shù)夭眉?，折成一個長方體盒子紙板的厚度忽略不計如圖，假設(shè)在正方形硬紙板的四角各剪掉一

33、個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子要使折成的長方體盒子底面周長為120cm那么剪掉的正方形的邊長為多少？【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，由題意得：4×402x=120，解得x=5答：剪掉的正方形的邊長為5cm【思路點撥】首先設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，那么折成的長方體紙盒的長為402xcm，根據(jù)“折成的長方體盒子底面周長為120cm可得方程4×402x=120，再解方程即可【答案】5cm2.小明是一位動手才能很強的同學，他用橡皮泥做成一個棱長為4cm的正方體1如圖1所示，在頂面中心位置處從

34、上到下打一個邊長為1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的外表積為cm2；2假如在第1題打孔后，再在正面中心位置如圖2中的虛線所示從前到后打一個邊長為1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的外表積為cm2；3假如把1、2中的邊長為1cm的通孔均改為邊長為acma1的通孔，能否使橡皮泥塊的外表積為118cm2？假如能，求出a，假如不能，請說明理由【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：1外表積S1=962+4×4=110cm2，故填110；2外表積S2=S14+4×1.5×2=118cm2，故填118；3能使橡皮泥塊的外表積為118cm2，理

35、由為：S1=962a2+4a×4，S2=S14a2+4×4a4a2962a2+16a8a2+16a=1189610a2+32a=1185a216a+11=0a1=，a2=1a1，4當邊長改為cm時，外表積為118cm2【思路點撥】1打孔后的外表積=原正方體的外表積小正方形孔的面積+孔中的四個矩形的面積2打孔后的外表積=圖中的外表積2個小正方形孔的面積+新打的孔中的八個小矩形的面積3根據(jù)12中的面積計算方法，用a表示出圖和圖的面積然后讓用得出的圖的外表積=118計算出a的值【答案】110；118；當邊長改為cm時，外表積為118cm2自助餐1.借助一面墻為一邊，再用13米的鐵

36、絲網(wǎng)圍成一個面積為20平方米的長方形，求長方形的長和寬設(shè)長為x米，根據(jù)題意可得方程 Ax13x=20 B. =20 Cx130.5x=20 D=20【知識點】一元二次方程的應用.【解題過程】解：設(shè)長方形的長為x米，那么寬為米，根據(jù)題意得=20【思路點撥】設(shè)長方形的長為x米，那么寬為米，可根據(jù)長方形的面積公式即可列方程進展求解【答案】B2.如圖，幼兒園方案用30m的圍欄靠墻圍成一個面積為100m2的矩形小花園墻長為15m，那么與墻垂直的邊x為A10mB10m或5mC5mD5m或8m【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】解：設(shè)AB邊的長為x米，那么AB=CD=x米，BC=302x米，根據(jù)題意得：302x×x=100，解得：x1=5，x2=10，當x=5時，302x=2016，故舍去即與墻垂直的邊x為10m【思路點撥】設(shè)AB邊的長為x米，那么AB=CD=x米，BC=302x米，根據(jù)矩形的面積為100m2，可得出方程，解出即可得出答案【答案】A3.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，那么小圓形場地的半徑=_m【知識點】一元二次方程的應用.【數(shù)學思想】數(shù)