中考總復習：分式與二次根式

1、中考總復習：分式與二次根式中考總復習：分式與二次根式【考綱要求】1. 了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質進行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進行二次根式的運算【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、分式的有關概念及性質1分式設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分

2、母有公因式，要進行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數(shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式中， 當B0時，分式有意義；當分式有意義時，B0 當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0 當B0且A = 0時，分式的值為零考點二、分式的運算1基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算

3、77;= 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.（2）乘法運算 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數(shù) .3負整數(shù)指數(shù) 4分式的混合運算順序 先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分約分需明確的問題：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個

4、因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積6通分根據(jù)分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分通分注意事項：(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積 (2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉 (3)確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.要點詮釋

5、：分式運算的常用技巧（1）順序可加法：有些異分母式可加,最簡公分母很復雜,如果采用先通分再可加的方法很繁瑣.如果先把兩個分式相加減,把所得結果與第三個分式可加減,順序運算下去,極為簡便.(2)整體通分法：當整式與分式相加減時,一般情況下,常常把分母為1的整式看做一個整體進行通分,依此方法計算,運算簡便.(3)巧用裂項法：對于分子相同、分母是相鄰兩個連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項數(shù)是比較多的，無法進行通分，因此，常用分式進行裂項.(4)分組運算法: 當有三個以上的異分母分式相加減時,可考慮分組,原則是使各組運算后的結果能出現(xiàn)分子為常數(shù),且值相同或為倍數(shù)關系,這樣才能使運算簡便.(5)化簡分式

6、法：有些分式的分子、分母都異常時如果先通分，運算量很大.應先把每一個分別化簡，再相加減.（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）.（7）活用分式變形求值.(8)設k求值法(參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點三、分式方程及其應用1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程 3分式方程的增根問題(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根-增根；

7、(2)驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性要點詮釋： 解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否

8、為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應用題的基本步驟：(1)審仔細審題，找出等量關系；(2)設合理設未知數(shù)；(3)列根據(jù)等量關系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題考點四、二次根式的主要性質1.；2.；3.；4. 積的算術平方根的性質：；5. 商的算術平方根的性質：.6.若，則.要點詮釋： 與的異同點：（1）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)但與都是非負數(shù)，即，因而它的運算的結果是有差別的， ，而（2）相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，

9、=；時，無意義，而.考點五、二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結果應滿足以下兩個要求：應為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；(3)乘法公式的推廣：2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.1.

10、明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進行乘法運算，通過約分達到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘法公

11、式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.4分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.【典型例題】類型一、分式的意義1若分式的值為0，則x的值等于 【答案】1；析:由分式的值為零的條件得1=0，x+10，由1=0，得x=1或x=1，由x+10，得x1，x=1，故答案為1【總結升華】

12、若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0這兩個條件缺一不可舉一反三：【變式1】如果分式的值為0，則x的值應為 .【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-30，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，x=-3或x=3，由x-30，得x3綜上，得x=-3，分式的值為0故答案為：-3【變式2】若分式不論x取何實數(shù)總有意義，則m的取值范圍是 【答案】若分式不論x取何實數(shù)總有意義，則分母0，設，當0即可，.答案m1.類型二、分式的性質2已知求的值. 【答案與解析】 設,所以所以所以即或當,所求代數(shù)式,當,所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等于或.【總結升華】當已知

13、條件以此等式出現(xiàn)時，可用設k法求解.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】因為 各式可加得所以，所以類型三、分式的運算3已知且,求的值.【答案與解析】 因為,所以原等式兩邊同時乘以,得:即所以所以【總結升華】 條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點，這樣才能到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學思想和轉化的數(shù)學思想.舉一反三：【變式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【變式2】已知xy=4，xy=12，求的值【答案】原式=將xy4，xy12代入上式，原式類型四、分式方程及應用4a何值時,關于x的方程會產(chǎn)生增根?【答案與解析

14、】 方程兩邊都乘以,得整理得.當a = 1 時,方程無解.當時,.如果方程有增根,那么,即或.當時,所以;當時,所以a = 6 .所以當或a = 6原方程會產(chǎn)生增根.【總結升華】 因為所給方程的增根只能是或，所以應先解所給的關于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5甲乙兩人準備整理一批新到的實驗器材若甲單獨整理需要40分鐘完工：若甲乙 共同整理20分鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工（1）問乙單獨整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】第14頁 共14頁（1）設乙單獨整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：解得x80，經(jīng)檢驗x80

15、是原分式方程的解答：乙單獨整理80分鐘完工（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得解得：y25答：甲至少整理25分鐘完工【總結升華】分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量工作效率×工作時間（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時間完成列出分式方程解之即可；（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可舉一反三：【變式】小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用

16、10分鐘到達若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意，得（ ）A BC D【答案】設走路線一時的平均速度為x千米/小時， 故選A類型五、二次根式的定義及性質6要使式子有意義，則a的取值范圍為 【答案】a2且a0析:根據(jù)題意得：a+20且a0，解得：a2且a0故答案為：a2且a0【總結升華】本題考查的考點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)可以求出x的范圍類型六、二次根式的運算7 【答案與解析】原式=30-12+5-2【總結升華】此題關鍵是變?yōu)?5-2.【鞏固練習】一、選擇題1. 如果把分式中的x和y都擴大到原來的3倍，那么分式的值（ ）A擴大到原來的3倍 B.不變 C

17、.縮小到原來的 D.縮小到原來的2分式有意義的條件是（ ）Ax2 B.x1 C.x1或x2 D.x1且x23使分式等于0的x的值是（ ）A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4計算的結果是（ ）5小玲每天騎自行車或步行上學，她上學的路程為2800米，騎自行車的平均速度是步行平均速度的4倍，騎自行車比步行上學早到30分鐘設小玲步行的平均速度為x米/分，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）A B C D6化簡甲，乙兩同學的解法如下：甲：=乙：=對他們的解法，正確的判斷是（ ）A甲、乙的解法都正確 B甲的解法正確，乙的解法不正確C乙的解法正確，甲的解法不正確 D甲、乙的解法都不正確二、填空

18、題7若a2-6a+9與b-1互為相反數(shù)，則式子÷（a+b）的值為_.8若m=，則的值是 . 9. 下列各式：；其中正確的是 （填序號）.10當x=_時，分式的值為0. 11（1）若，則的值為 . （2）若則的值為 .12讀一讀：式子“1+2+3+4+···+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為，這里“”是求和符號通過對以上材料的閱讀，計算= 三、解答題13（1）已知,求的值.（2）已知和,求的值. 14. 化簡15一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付工費102000元；如果甲

19、、乙兩公司單獨完成此項公程，乙公司所用時間甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.（1）甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司施工費較少？16.閱讀下列材料，然后回答問題. 在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們可以將其進一步化簡.；（一）；（二）；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.還可以用以下方法化簡：；（四）（1）請用不同的方法化簡參照（三）式得= ；參照（四）式得= ；（2）化簡【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B；析:把x、y分別換成3x、3y 代入原式計算結果不變. 2.【答案】D；析:分式有意義，則且. 3.【答案】D令得，而當時，所以該分式不存在值為0的情形. 4.【答案】D析:本題可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，將原式化為 故選D.5.【答案】A；析: