剛體力學(xué)習(xí)題課-new

1、 剛體可以看成由許多質(zhì)量元組成的一個(gè)系剛體可以看成由許多質(zhì)量元組成的一個(gè)系統(tǒng)，在其作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中各質(zhì)量元的位移、統(tǒng)，在其作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中各質(zhì)量元的位移、速度和加速度等線量是可以各不相同的，但是速度和加速度等線量是可以各不相同的，但是各質(zhì)量元的角位移、角速度和角加速度等角量各質(zhì)量元的角位移、角速度和角加速度等角量卻是相同的。卻是相同的。 掌握剛體運(yùn)動(dòng)的這種特性是解決問(wèn)題的關(guān)掌握剛體運(yùn)動(dòng)的這種特性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，因?yàn)殒I，因?yàn)榻橇渴莿傮w整體運(yùn)動(dòng)特征的描述角量是剛體整體運(yùn)動(dòng)特征的描述，而，而線量則是剛體上各個(gè)質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的描述線量則是剛體上各個(gè)質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的描述。一、剛體的運(yùn)動(dòng)描述：一、剛體的運(yùn)動(dòng)

2、描述：平動(dòng)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)處理質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)處理 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角量描述角量描述非非常常相相似似質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)平平動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)的的變變化化規(guī)規(guī)律律變變化化規(guī)規(guī)律律與與的的定定義義及及計(jì)計(jì)算算，而而且且其其、 rararvn 2 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的線量與角量關(guān)系：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的線量與角量關(guān)系：三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律：三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 是一個(gè)新的概念，應(yīng)熟練掌握其定義是一個(gè)新的概念，應(yīng)熟練掌握其定義和計(jì)算方法，它具有可加性。要記住幾種常用的繞質(zhì)和計(jì)算方法，它具有可加性。要記住幾種常用的繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并會(huì)用平行軸定理和補(bǔ)償原理來(lái)求心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并會(huì)用平行軸定理和補(bǔ)償原理來(lái)

3、求解各種復(fù)合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解各種復(fù)合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 JM 解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，力的隔離體分析仍然是關(guān)鍵，解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，力的隔離體分析仍然是關(guān)鍵，特別是系統(tǒng)中既有質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)又有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)動(dòng)問(wèn)特別是系統(tǒng)中既有質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)又有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)動(dòng)問(wèn)題，必須將牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)合。題，必須將牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)合。四、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（代表整個(gè)剛體與外界的作用及運(yùn)動(dòng)）四、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（代表整個(gè)剛體與外界的作用及運(yùn)動(dòng)） 如計(jì)算軸對(duì)剛體的作用力等問(wèn)題時(shí)特別有用如計(jì)算軸對(duì)剛體的作用力等問(wèn)題時(shí)特別有用 CyiyCxixCimaFmaFamF五、剛體的機(jī)械能及守恒定律：（在計(jì)算速度五、剛體的機(jī)械能及守恒定律：（在計(jì)算速度

4、 v、升降距離升降距離 h、轉(zhuǎn)過(guò)角度、轉(zhuǎn)過(guò)角度 和作功等問(wèn)題很方便！）和作功等問(wèn)題很方便！）22221 21 21CCKmvJJE （定軸）（定軸）剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能CPmghE 用質(zhì)心的勢(shì)能來(lái)代表用質(zhì)心的勢(shì)能來(lái)代表剛體的勢(shì)能剛體的勢(shì)能 六、剛體的角動(dòng)量及守恒定律：六、剛體的角動(dòng)量及守恒定律： （質(zhì)點(diǎn)和剛體碰撞時(shí)特別有用）（質(zhì)點(diǎn)和剛體碰撞時(shí)特別有用）質(zhì)點(diǎn)和定軸剛體的碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，角動(dòng)質(zhì)點(diǎn)和定軸剛體的碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，角動(dòng)量守恒；量守恒；質(zhì)點(diǎn)和自由剛體的碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量均守質(zhì)點(diǎn)和自由剛體的碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量均守恒。恒。 JLmvrL 剛剛體體：質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)：【例題例題1】一圓

5、盤可繞通過(guò)圓心并垂直盤面的光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一圓盤可繞通過(guò)圓心并垂直盤面的光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。從某一時(shí)刻起，有一外力矩作用在盤上，使其運(yùn)動(dòng)方程為從某一時(shí)刻起，有一外力矩作用在盤上，使其運(yùn)動(dòng)方程為 =8+2t-t2，求經(jīng)過(guò)，求經(jīng)過(guò)0.5s后，盤上離軸后，盤上離軸r=0.01m處質(zhì)點(diǎn)的切向加速度處質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度？在剛和法向加速度？在剛開(kāi)始時(shí)該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度開(kāi)始時(shí)該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度？解：先求角量，后求線量解：先求角量，后求線量2dd ,22dd ttt )sm(01. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad( 1 s5 . 02-22-2-1 raratn )

6、sm(04. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad(2 02-2002-00-20-10 raratn 【例題例題2】計(jì)算下列剛體對(duì)計(jì)算下列剛體對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO: Olm、RM、222)(2131RlMMRmlJO O21lm 、22lm 、222221422121231 llmlmlmJOm的質(zhì)量為的質(zhì)量為剩余部分剩余部分 RO O 222221024132121212131 ,34mRRmRmRmJJJmmmm 孔孔孔孔總總孔孔總總試計(jì)算通過(guò)均勻球殼（質(zhì)量為試計(jì)算通過(guò)均勻球殼（質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R）中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣）中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量 mrId2RRRMlr

7、mRrdsin24d2dsin2 202232dsin24sinMRRRRMRI 試計(jì)算通過(guò)均勻球（質(zhì)量為試計(jì)算通過(guò)均勻球（質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R）中心軸的）中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mrId2分割成薄球殼：分割成薄球殼：22dd3Jm r2d4d mrr分割成薄圓盤：分割成薄圓盤：21dd2Jm r2dd mrzROrz sin rRdsin d zR試計(jì)算通過(guò)均勻平板（質(zhì)量試計(jì)算通過(guò)均勻平板（質(zhì)量為為M，尺寸見(jiàn)圖）中心且與，尺寸見(jiàn)圖）中心且與平板垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平板垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量xbMmdd 2d121damIc 22dd121dxmamI )(121dd121222222baMxm

8、amIbb 【例題例題3】（1）計(jì)算下列剛體系統(tǒng)中）計(jì)算下列剛體系統(tǒng)中m1、m2的加速度和繩子的的加速度和繩子的張力；張力；（2）求）求m2從靜止開(kāi)始下降從靜止開(kāi)始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mgm22Tagm11Ta1T3TA 2T3TB gm22Tagm11TaamTgm222 amgmT111 AAAAARmRTRT 21321BBBBBRmRTRT 23221BBAARRa 22)(2112BAmmmmgmma 1T3TA 2T3TB 【例題例題3】（1）計(jì)算下列剛體系統(tǒng)中）計(jì)算下列剛體系統(tǒng)中m1、m2的加速度和繩子的的加速度和繩子的張力；張力；（2）求）求

9、m2從靜止開(kāi)始下降從靜止開(kāi)始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mahv2)2( 、BBAABBBAAARRvRmRmvmvmghmghm 2222212212)21(21)21(212121來(lái)解來(lái)解或：用機(jī)械能守恒定律或：用機(jī)械能守恒定律【例題例題4】一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 R 的均勻薄圓盤在水平桌的均勻薄圓盤在水平桌面上繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始角速度為面上繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始角速度為 0，當(dāng)圓盤與桌面的摩擦，當(dāng)圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為系數(shù)為 時(shí)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能停下來(lái)？時(shí)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能停下來(lái)？mgRrrgMrrrgrmgMrrRff 32d2d2ddd0

10、2 為為則則小小圓圓環(huán)環(huán)受受的的摩摩擦擦力力矩矩的的小小圓圓環(huán)環(huán)，、寬寬度度為為取取一一半半徑徑為為力力矩矩圓圓盤盤轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)過(guò)過(guò)程程中中的的摩摩擦擦解解：本本題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是求求出出mgRMf 32 gRtRgmRMJMff 43 3421002 所所需需時(shí)時(shí)間間為為相相應(yīng)應(yīng)的的角角加加速速度度為為mgRMf 32 gRt 430 用角動(dòng)量原理解更簡(jiǎn)單！用角動(dòng)量原理解更簡(jiǎn)單！00 JtMf 【例題例題5】如圖所示，有一質(zhì)量為如圖所示，有一質(zhì)量為 M、長(zhǎng)長(zhǎng)為為 l 的均勻細(xì)桿靜止在的均勻細(xì)桿靜止在光滑的水平桌面上，可繞通過(guò)細(xì)桿一端的豎直光滑鋼釘轉(zhuǎn)動(dòng)。有光滑的水平桌面上，可繞通過(guò)細(xì)桿一端的豎直

11、光滑鋼釘轉(zhuǎn)動(dòng)。有一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球以垂直于桿的水平速度的小球以垂直于桿的水平速度 v0 與桿的另一端碰撞，與桿的另一端碰撞，碰撞后小球以速度碰撞后小球以速度 v反向彈回。設(shè)碰撞時(shí)間很短，求碰撞后細(xì)桿反向彈回。設(shè)碰撞時(shí)間很短，求碰撞后細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；若碰撞前拔去鋼釘，碰撞后細(xì)桿的角速度又如何轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；若碰撞前拔去鋼釘，碰撞后細(xì)桿的角速度又如何？v0vm、lM、O解：由于質(zhì)點(diǎn)與有轉(zhuǎn)軸解：由于質(zhì)點(diǎn)與有轉(zhuǎn)軸的細(xì)桿，軸對(duì)桿有沖力，的細(xì)桿，軸對(duì)桿有沖力，故動(dòng)量不守恒，但對(duì)故動(dòng)量不守恒，但對(duì)O點(diǎn)沖力矩為零，對(duì)點(diǎn)沖力矩為零，對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒MlvvmmvlMllmv)(3310

12、20 v0vm、lM、O 若拔去鋼釘，細(xì)桿成為若拔去鋼釘，細(xì)桿成為水平桌面上的自由剛體，水平桌面上的自由剛體，故碰撞后細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)為故碰撞后細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此水平方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此水平方向的動(dòng)量守恒和對(duì)質(zhì)心軸的動(dòng)量守恒和對(duì)質(zhì)心軸的角動(dòng)量守恒。的角動(dòng)量守恒。2200lmvJlmvmvMvmvCC MlvvmMvvmvC)(6)(00 說(shuō)明：對(duì)自由剛體，只有質(zhì)心軸和瞬時(shí)軸的角動(dòng)量可以說(shuō)明：對(duì)自由剛體，只有質(zhì)心軸和瞬時(shí)軸的角動(dòng)量可以表示成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。表示成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。v0vm、lM、O【例題例題6】如圖所示，有一質(zhì)量為如圖所示，有一質(zhì)

13、量為 m、半徑為半徑為R的均勻圓柱體上的均勻圓柱體上繞有細(xì)繩?，F(xiàn)在用力繞有細(xì)繩。現(xiàn)在用力F 拉該圓柱體，使其從靜止開(kāi)始在水平面上拉該圓柱體，使其從靜止開(kāi)始在水平面上作純滾動(dòng)，試判斷作純滾動(dòng)，試判斷摩擦力的方向。摩擦力的方向。FP: 的方向?yàn)榧铀俣萩mcmcmamFamaF解：假設(shè)沒(méi)有摩擦力解：假設(shè)沒(méi)有摩擦力 : : : ;的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)樗阅Σ亮λ阅Σ亮Φ姆较驗(yàn)榈姆较驗(yàn)楹霞铀俣群霞铀俣鹊姆较驗(yàn)榈姆较驗(yàn)槎鴉aaRRRRaapcmcmp : 2212的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)榻羌铀俣冉羌铀俣?mFRmRFRFPFP如果拉力 F 作用在離圓心 R/4 處，則摩擦力的方向又如何？ :f ,:a ;2 ;2

14、14p2cmaRRmFRmRRF 喲喲（yo-yo）球【問(wèn)題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界的小玩具。它是在一個(gè)扁圓柱體的中間圓周槽內(nèi)緊繞一細(xì)線構(gòu)成。喲喲球從靜止開(kāi)始釋放，下降到最低點(diǎn)后再自動(dòng)上升。設(shè)喲喲球質(zhì)量為m，半徑為R，槽圓周的半徑為b（bR），設(shè)細(xì)線的總長(zhǎng)度為H，質(zhì)量忽略不計(jì)。求喲喲球運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中細(xì)線所受的拉力。cJTb cmmaTmg ba cmmgT 2222RbRmgT 解：球下降或上升過(guò)程中細(xì)線的拉力221mRJ【問(wèn)題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界的小玩具。它是在一個(gè)扁圓柱體的中間圓周槽內(nèi)緊繞一細(xì)線構(gòu)成。喲喲球從靜止開(kāi)始釋放，下降到最低點(diǎn)后再自動(dòng)上升。設(shè)喲喲球質(zhì)量為m，半徑為R，槽圓周的半徑為b（bR），設(shè)細(xì)線的總長(zhǎng)度為H，質(zhì)量忽略不計(jì)。求喲喲球運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中細(xì)線所受的拉力。cJTbcoscmmaTmg ba cmmgT 222cos2RbRmgT解：球從線的低端開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則：221mRJ【問(wèn)題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界