二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線的凹凸性與拐點_第1頁
二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線的凹凸性與拐點_第2頁
二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線的凹凸性與拐點_第3頁
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文檔簡介

1、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-曲線的凹凸性與拐點l教學(xué)目標與要求通過學(xué)習,使學(xué)生掌握利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)在某一區(qū)間上凹凸性的方法,為更好地描繪函數(shù)圖形打好基礎(chǔ),同時,理解拐點的定義和意義。l教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性與拐點。教學(xué)難點:理解拐點的定義和意義。l教學(xué)方法與建議證明曲線凹凸性判定定理時,除了利用“拉格朗日中值定理”證明外,還可用“泰勒定理”來證明;如果利用“拉格朗日中值定理”證明,則要配合函數(shù)圖形來分析講解如何想到需要兩次使用“拉格朗日中值定理”的思路,切忌脫離圖形,機械證明,讓學(xué)生領(lǐng)悟不到思想,摸不著頭腦。在講函數(shù)的凹凸性和曲線拐點的定義時,要強調(diào)凹凸性并不

2、是曲線的固有性質(zhì),而是函數(shù)的性質(zhì),與所選的坐標系有關(guān);而拐點是曲線的固有性質(zhì),與所選的坐標系無關(guān)。l教學(xué)過程設(shè)計1. 問題提出與定義函數(shù)的單調(diào)性對于描繪函數(shù)圖形有很大作用,但僅僅由單調(diào)性還不能準確描繪出函數(shù)的圖形。比如,如果在區(qū)間上,則我們知道在區(qū)間上單調(diào)增,但作圖(參見圖1)的時候,我們不能判斷它增加的方式(是弧,還是?。床荒芘袛嗲€的凹凸性,所以研究曲線的凹凸性對于把握函數(shù)的性態(tài)、作圖等是很有必要的!在圖1中,對于上凸的曲線弧,取其上任意兩點,不妨取作割線,我們總會發(fā)現(xiàn)不論兩點的位置,割線段總位于弧段的下方,這種位置關(guān)系可以用不等式來描述。同理,對于上凹的曲線弧,總可用不等式來描述。由

3、此,我們想到對曲線的凹凸性做如下定義:凹凸性定義設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點,恒有則稱在I上的圖形是(向上)凹的,簡稱為凹??;如果恒有則稱在I上的圖形是(向上)凸的,或簡稱為凸弧。如果沿曲線從左向右走,則圖形是(向上)凸的曲線的幾何意義相當于右轉(zhuǎn)彎,圖形是(向上)凹的曲線相當于左轉(zhuǎn)彎,而有切線的凹凸弧的分界點正是曲線轉(zhuǎn)向的點,我們把這樣的點稱為拐點。2. 凹凸性判定定理的引入 曲線凹凸性的定義自然能判別曲線的凹凸性,但實際使用起來需要取兩個點,且兩個不等式對于一些表達式較復(fù)雜的函數(shù)來說判斷起來也不容易。因此,我們就想能否用其它方法來判定曲線的凹凸性。函數(shù)的單調(diào)性能由的符號確定,而對于凹

4、凸性它束手無策,所以我們猜想凹凸性是否和有關(guān)?經(jīng)過分析,并利用泰勒公式,可證實我們的猜想是正確的,函數(shù)圖形的凹凸性的確和的符號有關(guān),于是得到了判斷曲線凹凸性的定理。定理4.3設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么:(1)若在內(nèi)0,則在上的圖形是凹的;(2)若在內(nèi)0,則在上的圖形是凸的。3. 判別凹凸性和拐點舉例例1. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因為當x0時, y0時, y0, 所以曲線在0, +)內(nèi)為凹的. 例2. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因為當時,

5、 y0, 所以點(, )是曲線的拐點. 例3 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點解:函數(shù)的定義域為,且,令,得列表:()0+00+有拐點有拐點由表可知,當時,曲線有拐點和,表中表示曲線是凹的,表示曲線是凸的函數(shù)的圖像如圖(3)所示. 4. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點; 注: 根據(jù)具體情況(1)(3)步有時省略. 5 學(xué)生黑板練習練習 1.判定下列曲線的凹凸性及拐點.(1),(2),(3)。6.小結(jié) 1 在講授函數(shù)單調(diào)性時要注意借助幾何圖形進行直觀說明,使導(dǎo)數(shù)符號與曲線形態(tài)特征相

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