2013高等數(shù)學(xué) C1

1、2013 2013 2013C1. 函數(shù)與向量函數(shù)與向量C2. 極限與連續(xù)極限與連續(xù)C4. 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用C5. 定積分與不定積分定積分與不定積分C3. 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分主要內(nèi)容主要內(nèi)容C8. 微分方程微分方程C6. 二重積分與曲線積分二重積分與曲線積分C7. 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)C9. 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)2013第一章函數(shù)與向量第三節(jié)第三節(jié) 向量代數(shù)向量代數(shù) 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其圖形函數(shù)及其圖形 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 幾何曲線與空間曲面幾何曲線與空間曲面習(xí)題課習(xí)題課2013 函數(shù)及其圖形函數(shù)及

2、其圖形 一、區(qū)間與區(qū)域概念一、區(qū)間與區(qū)域概念二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系三、函數(shù)的概念三、函數(shù)的概念四、函數(shù)的其他形式四、函數(shù)的其他形式20131.1.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). .這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn). .,baRba 且且bxax 稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱(chēng)為閉區(qū)間稱(chēng)為閉區(qū)間,ba記記作作一、區(qū)間與區(qū)域概念一、區(qū)間與區(qū)域概念bxax bxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記記作作),xaxa ),(bxxb 無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間有限

3、區(qū)間有限區(qū)間兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度) )稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度. .2013 ),(Uxa點(diǎn)的 鄰域鄰域 ),(xaaxa xaxax0其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .去心 鄰域鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且Bx或直積 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點(diǎn)集20132.2.平面區(qū)域平面區(qū)域: :(1) 鄰域鄰域點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱(chēng)為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0y

4、xPU(圓鄰域)0PP)()(2020yyxx(2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)E若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心去心鄰域鄰域) ,(PU內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則 稱(chēng) P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 E 的邊界點(diǎn) )2013D(3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) E 為開(kāi)集(； 若點(diǎn)集 E E , 則稱(chēng) E 為閉集( ； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域.則稱(chēng) D 是連通的 ; 連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 E 的邊界, 記作E ;

5、對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱(chēng) D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱(chēng)為無(wú)無(wú)2013例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .2013xyz二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))面xoyyoz面

6、zox面1. 基本概念基本概念2013xyzo向徑在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱(chēng)為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸坐標(biāo)面xyzo2013空間中一點(diǎn)的鄰域概念空間中一點(diǎn)的鄰域概念: : )(0oPPU00 PP ),(),(0zyxPU(球鄰域)說(shuō)明：說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫(xiě)成. )(0PU)()()(202020zzyyxx點(diǎn) P0 的去

7、心鄰域去心鄰域記為推廣到推廣到 n 維空間維空間 概念概念n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體稱(chēng)為 n 維空間維空間,Rn記作即RRRRn),(21nxxxn 維空間中的每一個(gè)元素稱(chēng)為空間中的kx數(shù)稱(chēng)為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 2013的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(21nyyyy與點(diǎn)),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn)與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0Raxaxn滿(mǎn)足與定元中的變?cè)? ax

8、記作nR2013三、函數(shù)的概念三、函數(shù)的概念定義定義1.設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合, 若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對(duì)應(yīng) , 則稱(chēng) f 為從 X 到 Y 的映射映射, 記作.:YXfXYfxy引例引例1.xxysinRxRy引例引例2.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)CP點(diǎn)向 y 軸投影YQ投影點(diǎn)2013X (數(shù)集 或點(diǎn)集 ) 說(shuō)明說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同X ( ) Y (數(shù)集)f f 稱(chēng)為X 上的泛函X ( ) X f f 稱(chēng)為X 上的變換 R f f 稱(chēng)為定義在 X 上的為函數(shù)映射又稱(chēng)為算子. 的慣用名稱(chēng). 例如,

9、元素 y 稱(chēng)為元素 x 在映射 f 下的 像像 , 記作).(xfy 元素 x 稱(chēng)為元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 稱(chēng)為映射 f 的定義域定義域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(稱(chēng)為 f 的 值域值域 .注意注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 2013定義域考慮一元函數(shù)的概念 設(shè)數(shù)集,RD則稱(chēng)映射R:Df為定義在D 上的函數(shù) , 記為Dxxfy, )( f ( D ) 稱(chēng)為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自變量因變量 定義域定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法: 解析法、圖象法、列

10、表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.2013例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df定義域值域xyoxy xxf)(又如, 絕對(duì)值函數(shù)0,xx0,xx定義域RD值 域),0)(Df 1,110,2)(xxxxxfy分段函數(shù)定義域 ),0D值域 ),0)(Df2013推廣到一般多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式,2hrV)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS設(shè)非空點(diǎn)集,RnD DPPfu, )(或映射R:Df稱(chēng)為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作

11、),(21nxxxfu點(diǎn)集 D 稱(chēng)為定義域定義域 ; 值域值域DP,Pfuu)(2013特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.xzy1o, )sin(,yxz 又如2R),(yxxyz2013說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球2 , 0,2 ,

12、 0,cossinyxyxz02460246-1-0.500.510246如:2013三、函數(shù)的其他形式三、函數(shù)的其他形式只要附加一些條件, 就可以將它化為單值的, 這樣得到的單值函數(shù)稱(chēng)為多值函數(shù)的單值分支單值分支?！皢沃怠焙瘮?shù) “多值”函數(shù)例如方程122 yx211)(xxyy 221)(xxyy 常稱(chēng)之存在的某種單值分支形式為由隱函數(shù)方程確定的函數(shù). 又如方程1222 zyx可以確定單值分支2211),(yxyxzz 2221),(yxyxzz 2013x yexy2221xyz( , )0F x y ( , , )0F x y z 表示 x 和y 有依賴(lài)關(guān)系的方程:表示三元關(guān)系的方程:例

13、如:xyxysin22 例如:方程確定的函數(shù)圖形方程確定的函數(shù)圖形:一般來(lái)說(shuō)，二元之間（一元函數(shù)）的圖形關(guān)系在二維平面上可以觀察，三元之間（二元函數(shù)）要在三維空間中觀察直觀圖形。20132 , 0 : f2R2cos,0,2 3sinxy19422yx又如即為平面上橢圓的參數(shù)方程表示可以用一個(gè)向量函數(shù)來(lái)表示即為平面上橢圓的參數(shù)方程表示( ), ,( )xttyt 一般地,方程確定x ,y 的二元關(guān)系,習(xí)慣上稱(chēng) 參數(shù)方程確定 y 是 x 的函數(shù).2 , 0),sin3 ,cos2( r2013 在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)關(guān)系用不同算式來(lái)表示的函數(shù)，對(duì)一元函數(shù)，稱(chēng)為分段函數(shù)分段函數(shù)；對(duì)二元函

14、數(shù)，稱(chēng)為分片函數(shù)。分片函數(shù)。五、分段函數(shù)與分片函數(shù)五、分段函數(shù)與分片函數(shù)例如，1110 2xxxxy 是一個(gè)分段函數(shù),定義域?yàn)镈 0,).122xxy可化為 0120 1222xxxxxxy 為分段函數(shù)xy-8-6-4-202468012110222222yxyxyxz為分片函數(shù)二元函數(shù)2013 函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)及其圖形一、基本初等函數(shù)及其圖形二、函數(shù)的運(yùn)算二、函數(shù)的運(yùn)算三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)四、函數(shù)的幾種特性四、函數(shù)的幾種特性2013一、基本初等函數(shù)及其圖形一、基本初等函數(shù)及其圖形(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函

15、數(shù)(2) 基本初等函數(shù)圖形見(jiàn)教材P8-102013二、函數(shù)的運(yùn)算二、函數(shù)的運(yùn)算1. 函數(shù)的四則運(yùn)算 兩個(gè)函數(shù)可以通過(guò)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算可以構(gòu)造新的函數(shù), 但要注意定義域可能會(huì)減少一些。例如：多項(xiàng)式函數(shù)是由冪函數(shù)經(jīng)過(guò)和運(yùn)算和乘積運(yùn)算得到的。2012( )nnf xaa xa xa x20122012( )nnmmaa xa xa xR xbb xb xb x也可以看作冪函數(shù)經(jīng)過(guò)和、積、商運(yùn)算得到的。有理函數(shù)( )( )( ),( ) ( ),( )f xf xg xf x g xg x20132. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)運(yùn)算反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)運(yùn)算(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù))(:DfDf為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,

16、則存在對(duì)應(yīng)DDff)(:1習(xí)慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱(chēng)此1f為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線xy 對(duì)稱(chēng) .2013(2) 復(fù)合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且則Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱(chēng)為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈2

17、2,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合2013兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復(fù)合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk時(shí)),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv2013三、三、 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù) . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱(chēng)為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .（P11）2013非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng)

18、 x 0,1xyo11取整函數(shù)xy 當(dāng)Znnxn,1,nxyo1342122013例例1. 求y的反函數(shù)及其定義域.解解:01x當(dāng)時(shí),2xy 則1,0(,yyx10 x當(dāng)時(shí),xyln則0,(,yexy21 x當(dāng)時(shí),12xey則2,2(,ln12eyxy反函數(shù)y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定義域?yàn)?,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e2013四、四、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf稱(chēng) )(xf, Ix,0M使,

19、)(Mxf稱(chēng) )(xf說(shuō)明說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. ,Dx使若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf則稱(chēng) f ( x ) 無(wú)界無(wú)界.稱(chēng) 為有上界有上界稱(chēng) 為有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 當(dāng),21Ixx21xx 時(shí), )()(21xfxf若稱(chēng) )(xf為 I 上的, )()(21xfxf若稱(chēng) )(xf為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .xy1x2x2013xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù). 說(shuō)明說(shuō)明: 若)

20、(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函數(shù)yoxexexych雙曲余弦 記2013(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf則稱(chēng))(xf為周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若稱(chēng) l 為周期 ( 一般指最小正周期最小正周期 ).周期為 周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無(wú)理數(shù), 1,02013 向量代數(shù)向量代數(shù) 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積一、向量及其運(yùn)算一、向量及其運(yùn)算二、向量的坐標(biāo)二、向量的坐標(biāo)三、向量的數(shù)量積與向量

21、積三、向量的數(shù)量積與向量積2013.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作一、向量的概念及其計(jì)算一、向量的概念及其計(jì)算向量:(又稱(chēng)矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱(chēng)為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或1. 向量的概念2013規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱(chēng) a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱(chēng) a 與 b 平行, ab ;與 a

22、 的模相同, 但方向相反的向量稱(chēng)為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱(chēng) 兩向量共線 .若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱(chēng)此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;20132、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算(1). 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 2013aa(2). 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;1aa可見(jiàn);1aa;aa

23、 與 a 的乘積是一個(gè)新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 2013(3). 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0baba2013定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而則,0 時(shí)當(dāng),0 時(shí)當(dāng),0 時(shí)當(dāng)已知 b a ,b0

24、a , b 同向a , b 反向ab 2013例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD2013二二. 向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)1.向量在軸上的投影.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時(shí)軸反向時(shí)與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時(shí)向時(shí)軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿(mǎn)足滿(mǎn)足如果數(shù)如果

25、數(shù)ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為2013設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱(chēng) =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類(lèi)似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 記作),(ba 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 向量的向量的投影定理投影定理兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj 20132. 向

26、量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2013在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzj

27、yix稱(chēng)為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC20133. 向量的模與方向余弦222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得向量的模：, rOM作OMr OROQOP),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),(222zyxBBABAOAOBBA2013例例2. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 1

28、2( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)2013例例3. 在 z 軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 2013oyzx方向角與方向余弦方向角與方

29、向余弦,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱(chēng)為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦方向余弦. oyzxrcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):2013例例4. 已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM20131M三、兩向量的數(shù)量積與向量積三、兩向量的數(shù)量積與向量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),W設(shè)向量的夾角為 ,稱(chēng)

30、記作數(shù)量積 (點(diǎn)積) .物理意義物理意義. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s1. 向量的數(shù)量積2013,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb性質(zhì)：性質(zhì)：為兩個(gè)非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba2013數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示

31、設(shè)則zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba兩向量的夾角公式 當(dāng)為非零向量時(shí),ba,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba2013)(MB, )(MA BM例例5. 已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故20132. 向量積向量積定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱(chēng)c的與為向量babacba物理意義：物理

32、意義：設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) , 有一個(gè)與杠桿夾角為杠桿上的力矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S2013性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則aa) 1 (0ba,)2(0baba向量積向量積 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (2013)(kajaiazyx)(kbjbibzyx向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(ijkkjixayaza

33、xbybzbkajaiaazyxkbjbibbzyx行列式計(jì)算法行列式計(jì)算法,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaa2013例例6. 已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三201322343cos322)2(17例例7. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2013 幾何曲線與空間曲面幾何曲線與空間曲面

34、一、幾何曲線一、幾何曲線二、空間曲面二、空間曲面2013一、幾何曲線一、幾何曲線1.平面上的曲線與直線方程平面曲線的一般形式為0),( yxF確定的隱式(二元關(guān)系).通常討論的一元函數(shù)顯式表示)(xfy 或極坐標(biāo)形式)( 平面直線有如下特殊形式: 一般式一般式 參數(shù)式參數(shù)式 , 0 CByAxCBA,不全為零)(,00 ymtyyltxx2013121121yyyyxxxx01112211yxyxyx)(-0ttarr 兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式 或 向量式向量式 * * 這里考慮二維向量常見(jiàn)平面曲線參見(jiàn)附錄2013)()()(thztgytfx0tt )(00tfx )(00tgy )(00thz 類(lèi)似平

35、面曲線，空間曲線也可用參數(shù)方程來(lái)表示:，2 2空間中的空間中的曲線曲線與直線與直線對(duì)應(yīng) 有),(000zyx于是得到空間上的一點(diǎn)t當(dāng)隨變動(dòng)，便可得到曲線上的全部點(diǎn)。上述方程稱(chēng)為曲線的參數(shù)方程,亦可用向量函數(shù)表示( )( ), ( ), ( )r tf tg th t2013zyxo例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時(shí)當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱(chēng)為螺距螺距 .M空間曲線的特殊形式空間曲線的特殊形式: :空間直空間直線線參數(shù)式方程tmxx0tnyy0tpzz0tpzznyymxx000對(duì)稱(chēng)式方程2013說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其

36、分子也理解為零.00yyxx直線的對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程也稱(chēng)為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程直線方程為例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm),(0000zyxM 對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程 mxx0),(zyxMnyy0pzz0s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM和它的方向向量 , ),(pnms 20132L1L兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿(mǎn)足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特別有特別有:21) 1(LL 21/)2

37、(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2013二、空間曲面二、空間曲面1.曲面及其方程定義定義. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程;(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程,0),(zyxFSzyxo則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.2013空間中特殊的二次曲面形式空間中特殊的二次曲面形式:三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類(lèi)型與圖形見(jiàn)附

38、錄. 的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),(1222222為正數(shù)cbaczbyax例如例如. 橢球面橢球面常用特殊情形,即球面球面 )0(2222 RRzyx2013定義定義. . 一條平面曲線旋轉(zhuǎn)曲面和柱面旋轉(zhuǎn)曲面和柱面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸. .繞 z 軸旋轉(zhuǎn):給定 yoz 面上曲線 C: 0),(zyf), 0(111zyM),(zyxMozyxC, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)1221,

39、yyxzz則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到故旋轉(zhuǎn)曲面方程為0),(22zyxf2013定義定義.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.空間222Ryx方程222Ryx沿曲線C : 平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱(chēng)為圓柱面圓柱面xyzo 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線.xy2212222byax表示母線平行于 z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xyzo20132 2、平面及其方程、平面及其方程設(shè)有三元一次方程此方程稱(chēng)為平面的一般方程平面的一般方程. .0DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面,

40、 是以法向量法向量為 點(diǎn)法式點(diǎn)法式0)()()(000zzCyyBxxA截距式截距式1czbyax三點(diǎn)式三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx)0(abc2013kji例例1.1.求過(guò)三點(diǎn),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM2013例例2. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過(guò) x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面

41、方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy2013兩平面兩平面, ,平面與直線平面與直線設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱(chēng)為兩平面的夾角兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2013特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn2121cosnnnn 21nn

42、21/ nn2013因此有例例3. 一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且2013外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例4. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111Dz

43、CyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式)2013xyzo0M例例5.解解: 設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx2013當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱(chēng)為直線與平面間的夾角;L直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿(mǎn)足.22