人教版七年級下冊第六章實數(shù)第一講平方根講義(解析版)

1、實數(shù)第一講平方根【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解平方根、算術(shù)平方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根.2. 了解開方與乘方互為逆運算,會用開方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用計算器求平方根.考點一、算術(shù)根知識講解定義：如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根;叫做被開方數(shù).n>0,a>0.a的算術(shù)平方根記作幾,讀作“a的算術(shù)平方根,a補(bǔ)充:1 .當(dāng)式子Va有意義時,a一定表示一個非負(fù)數(shù),即2 .規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0.3 .算術(shù)平方根等于他自己本身的有0和1.典型例題例1.以下說法正確的選項是A.0的算術(shù)平方根是0C.士是9的算術(shù)平方根【答案】A【考點】算術(shù)平方根的

2、定義B.9是3的算術(shù)平方根D.-3是9的算術(shù)平方根課堂穩(wěn)固1 .以下說法正確的選項是A.由于52=25,所以B.由于-52=25,所以5是-5是2525的算術(shù)平方根.的算術(shù)平方根.C.由于±52=25所以5和-5者B是25的算術(shù)平方根.D.以上說法都不對.【答案】A2 .以下各式正確的選項是A3=3B.32=3C.、32=33 .算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是【答案】0和1例2.求以下各數(shù)的算術(shù)平方根(1)100(2)0.04(3)1681(4)(5) 0(6)10【答案】11020.2(3)(4) 2(5)0(6)1W課堂穩(wěn)固1.求以下各數(shù)的算術(shù)平方根(1)121(2)169(3)96

3、4(4)1121(5) 0.01(6)【答案】111(2)13(3)(4)1110.1(6)(7)2.求以下各式的值(1)J000000(2)516(3),0.81.0.04(4),412402【答案】1000(2)(3)0.7(4) 9【點睛】算術(shù)平方根為正數(shù)3.,42的算術(shù)平方根是;病的算術(shù)平方根的相反數(shù)是【答案】2,-3例3.估計與底最接近的整數(shù)【答案】6【解析】解：:25V35V36,253536即5V扁6.35比擬接近36,.J35最接近的整數(shù)是6.課堂同步1 .估計商的值在A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間【答案】C2.估計與1芯最接近的整數(shù)3.比擬以下各數(shù)的

4、大小(1)爐與g(2)衽與"(3)5與J24(4)金與022【答案】1而<幅2非>幣35>V24【解析】4Q庖4;72413;那么疝1>322(4)'.五1322例4."7的a,7幣的小數(shù)局部是b,求a+b的值【答案】a+b=12,7【解析】Q2"3,用的整數(shù)局部是2；"7的整數(shù)局部是9；即a=9Q47.75,7,.7的小數(shù)局部是7774=3V7；即b=3日.綜上,a+b=12,7課堂穩(wěn)固1 .出5的整數(shù)局部是a,小數(shù)局部是b,求a2b的值.【答案】20.35解析:國為5<序<6.所以后的第數(shù)局部是5,即所以后

5、的小數(shù)局部是庫-5.即b二5,所以/+小=5±+J-5=20+2 .設(shè)4限476的小數(shù)局部分別為a,b,求a+b的值.【答案】1解析：由于2vR<3,所以4十幾的整數(shù)局部是6,小數(shù)局部是4+J56=&2.即n=幾一2,由于1<4疾2,所以4一次的整數(shù)局部是1,小數(shù)局部是413-6,b3-b所以a+/>,%/62+313 .：m與n互為相反數(shù),c與d互為倒數(shù),a是強(qiáng)的整數(shù)局部,那么cd2mna的值是【答案】-1解H心由于m與n互為相反數(shù).所以加斗注二°：出為.與d互為例數(shù),所以二1；因為2V舊<3,所以行的整數(shù)局部是2,即白:2,所以Ted+2

6、(m+?r)-a-1+2x0-2-1例5(1)使代數(shù)式必F有意義的x的取值范圍是【答案】x>1;【解析】X+1>0,解得x>1.【點睛】當(dāng)式子指有意義時,a一定表示一個非負(fù)數(shù),即ja>0,a>0.2021,一一一-X假設(shè)x,y為實數(shù),且|x+1|+Jy1=0,那么一的值是()yA.0B.1C.-1D.2021【答案】C;2021x【解析】x+1=0,y1=0,解得x=1；y=1.=-1.y2(3)yJx7V7x9,求xy64的算術(shù)平方根.【答案】1答案哪：根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).得a-7>0心.踴凱=7舊64/=(7乂964=1,其R術(shù)平方根為1,故(64)的

7、算術(shù)平方根為1課堂穩(wěn)固21 .x8Jy40,那么xy【答案】-322 .yVx_2J2x2x,貝Uxy=v-20解析:根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),Wl2-.T>O1解狎?=2.故1=4,所以工二2=163 .Ji3a和8b3互為相反數(shù),求ab2的值.64解析：由于與8卜一3互為相反數(shù),所以,田+|86-"二0,被開方數(shù)和絕對值都工-.(v_J力_1是非負(fù)數(shù).得Mb-3.,斛得1b最所以便'3X8)<54例6按要求填空(1)填表a0.00040.044400(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：J72=2.638,那么720=;00.00072=70.0038=0.06164,36

8、1.64,那么x=【答案】2,(1)a0.00040.0444000,020.2220<2)26.38,0,02638.3800【總結(jié)】被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位,它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位課堂同步1 /3.456=L859,由4.56二5,739,那么0345600=.【答案】578.9;【解析】解：:丁34.56=5.789,而嬴而=578.9.故答案為：578.9.2 .J5.2172.284,7521.722.84.填空：1,0.05217152170(2)假設(shè)而0.02284,那么x【答案】(1)0.2284,228.4(2)0.0005217

9、【點睛】被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位,它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：J62500250,底525,褥252.5,J0.06250.25.考點二、平方根知識點講解定義：如果x2a,那么x叫做a的平方根.求一個數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.a(a>0)的平方根的符號表達(dá)為Va(a0),其中Q是a的算術(shù)平方根.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1 .區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：ja和ja2 .聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；(2)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；3 3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0.補(bǔ)充：(1)正數(shù)的平方根有兩個,它們互

10、為相反數(shù),其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根.(2)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù),根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方平方根的性質(zhì)根.因此,我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根aa00a0aa0a0典型例題例1、以下說法錯誤的選項是()是l的一個平方根的平方根與算術(shù)平方根都是0A.5是25的算術(shù)平方根B.l2C.4的平萬根是一4D.0【答案】C;【解析】利用平方根和算術(shù)平方根的定義判定得出正確選項.A.由于,25=5,所以本說法正確;B.由于土Ji=±1,所以l是l的一個平方根說法正確;C.由于土442=±方6=±4,所以本說法錯誤;D.由于J0=0

11、,J0=0,所以本說法正確;課堂穩(wěn)固1 .判斷以下各題正誤,并將錯誤改正：(1) 9沒有平方根.()田64.(),、,1、2,一、1'、(3)()的平方根.()1010214,一,一、,(4)一是的算術(shù)平方根.()525【答案】,；x;V；乂,【點睛】被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)2、 填空：(1) 4是的負(fù)平方根.(2) J工表示的算術(shù)平方根,.16-16(3) J的算術(shù)平方根為.81(4)假設(shè)豉3,那么X,假設(shè)&3,那么X.111【答案】(1)16;(2);-(3)-(4)9;±31643例2以下各數(shù)有平方根的是()A13B.4C.m21D.a2【答案】D課堂穩(wěn)固判斷以下各數(shù)

12、是否有平方根,假設(shè)有,求其平方根,假設(shè)沒有,請說明理由222(1)3(2)4(3)625(4)a1【答案】(1)Y(-3>=9>.,(凸)平方根,即*J二f=-16<0,負(fù)數(shù)沒宥平方根,二沒有平方根(3)T625>0.,625行平方根.即：屈？=±25,.<二+1)<0負(fù)數(shù)沒有平方根:4/+1)沒仃平方根(5)Ym不確定是負(fù)數(shù)還是正數(shù),二當(dāng)m>0時有平方根.即；土而;當(dāng)m3時,役有平方根例3求以下各數(shù)的平方根八91(5)49(6)0.251,、,“、一;(5)±7;(6)土0.5.8(1)0.81(2)-96121(4)3【答案】(

13、1)0.9;(2)-；(3)11;(4)4【點睛】一個正數(shù)有兩個平方根,這兩個平方根互為相反數(shù),零的平方根是零,負(fù)數(shù)沒有平方根.課堂穩(wěn)固1求以下各數(shù)的平方根(1)81；(2)0.0009；(3)空；(4)7；(5)100；(6)0；(7)包；(8)169.92553【答案】(1)9;(2)0.03;(3);(4)77;(5)10;(6)0;(7);35(8)13.2.求以下各數(shù)的平方根、算術(shù)平方根,并用式子表示出來(1)I225|；|t|1；J0.0016；(4)J(0.2)2.咯案】N15,癖515；屑土用子山0.00160.2,770,00160.2；(4)Jj(0.2)2而2,(0.2)

14、2.0,2.3.求以下各式的值:(1)土49166T；(3)V0.125；(4)341727【答案】14'(2)6;(3)-0.5;(4)例4求以下各式中的(1)(x-1)216；x-3(4)289(1)X1,X23;(2)X-2(3)3；(4)x16.5,x210.5解:(1)(x-1)216x-15,又23;(2)3x-3x-3-125x-3-5(3)x124x26.5,x228910.5.72.258.5課堂穩(wěn)固求以下各式中x的值:(1)25(x1)2=49(2)(x+2)2-36=0；(3)2(x1)7290(4)16x2=25(5)(x-3)2=4(6)3x(9)2x272;

15、4(x2)2162(8)4x2!(10)25x2【答案】1x12一或x2；(2)X'550.36=0.22=16.,x28;(3)x1=28,x2=-26.(4)52-；(5)x=5或1.(6)x=或x=-2.(7)x6；(8)x43.(9)x=0或x=-24(10)x=±.5【詳解】一c一249(1)解：25(x1)2=49即：(x1)2-25(x1)2-122斛得：x一或x一.552(2)解：.(x2)360,.x26,X4,x28；(3)由題意可知：x-1=±27,x1=28或x2=-26,一c一2255(4)解：由于：16x2=25,所以：x,所以：x；16

16、4(5)由于：(x3)24,那么x32或x32,故乂=5或1.2.一2八八(6)斛：由于3x2=16,開方得3x+2=4或3x+2=-4,解得：x=5或x=-2.解：2x272,系數(shù)化為1,得x236.開平方得x6.4x290,移項,得4x29.系數(shù)化為1,得x29.開平方,得x-.422(9)4x216(x+2)2=4x+2=±2解得x=0或x=-4.(10)整理得,x2=,x=±6.故答案為x=±6例52a1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4求a+2b的平方根.【答案】3【詳解】解：:2a1的平方根是22a139.2解得:3ab14

17、16±弓3a+b1的平方根是±4a5b2Ja2b<5223即a+2b的平方根為：3.課堂穩(wěn)固1 .假設(shè)5a+1和a-19是數(shù)m的平方根.求a和m的值.【答案】a=3,m=256.【詳解】解：根據(jù)題意得：(5a+1)+(a-19)=0,解得：a=3,那么m=(5a+1)2=162=256.2 .如果一個正數(shù)x的平方根是a+6和2a-15,(1)求a的值？(2)求正數(shù)x?【答案】(1)3；(2)81【詳解】(1)二一個正數(shù)的平方根有兩個,且互為相反數(shù),a6(2a15)0,解得a3;(2)當(dāng)a3時,a69,.x9281.3 .正實數(shù)x的平方根是a和a+b.x的值.(1)當(dāng)b

18、=6時,求a;(2)假設(shè)a2x+(a+b)2x=6,求【答案】(1)a=-3;(2)x志【詳解】解：(1)二.正實數(shù)x的平方根是a和a+b,Qb6,2a60,a3;(2).正實數(shù)x的平方根是a和a+b,(ab)2Qa2x(ab)2x6,x2x26,3,0,x.34.一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2aa2.(1)求a和x的值；(2)化簡2aJ23a【答案】(1)-1;9(2)2.2【詳解】(1)根據(jù)題意知,2a.解得a1,所以-a+2=3,可得x9,故答案為:-1；9;x9代入-2|3a22.282衣,故答案為：82五課后提升、單項選擇題1 .9的算術(shù)平方根是D.81A.3B.3C.3【答案

19、】A2 .以下計算正確的選項是3D.28A.而3B.329C.|5|5【答案】C【詳解】解：A、J93,故本項錯誤；B、329,故本項錯誤;C、|5|5,故本項正確；D、328,故本項錯誤;3 .假設(shè)J10404=102,.衣=10.2,貝Ux等于A.1040.4C. 104.04【答案】C4.以下說法不正確的選項是A. 2是4的一個平方根C.平方根等于它本身的數(shù)只有0B. 10.404D. 1.0404B.立方根等于它本身的數(shù)只有1和0D.平方等于它本身的數(shù)只有0和1解：A、4的一個平方根有±Z故一2是4的一個平方根,故A正確；B、立方根等于它本身的數(shù)有±1和0,故B選項

20、的說法不正確；C、平方根等于本身的數(shù)只有0,故C正確；D、平方等于它本身的數(shù)只有0和1,故D正確；5 .如果一個實數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相等,那么這個數(shù)是A.0B,正整數(shù)C.0和1D.16 .以下五個命題：只有正數(shù)才有平方根；-2是4的平方根；5的平方根是Jg；土邪都是3的平方根；-22的平方根是-2;其中正確的命題是A.B.C.D.【答案】D【詳解】解：由于0有平方根,故此選項錯誤；0-2是4的一個平方根,此選項正確;、5的平方根式土石,此選項錯誤；土J3都是3的平方根,此選項正確；22的平方根是土2,此選項錯誤.故正確的命題是1的立方根是7 .以下說法正確的選項是B.2是4的平方根D.

21、A.一個數(shù)的算術(shù)平方根-一定是正數(shù)C.255【答案】D【詳解】0的算術(shù)平方根是0;例如A、一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù),錯誤,D、2是4的平方根,正確;B、1的立方根是1,錯誤；C、病5D.8 .以下各式中,正確的選項是32=3C.A.'22=-2B."9=-3【答案】D9 .的平方根是.16C.D.A.±1B.±124【答案】A10 .假設(shè)x使x-12=4成立,那么x的值是C.D.±2A.3B.-1【答案】C:x=3x2=-1【解析】:x-10=4成立,x-1=±2夕二、填空題11 .假設(shè)Jx2y320,貝uxy=【答案】122【詳解

22、】Jx2y30Jx20,y30.x2,y3xy231故答案為1.12 .81.732,廊5.477,貝UV0?3.【答案】0.5477【詳解】解：QJ305.477,J03J300.010.5477故答案為：0.5477.13 .假設(shè)J25.365.0365/253.615.906,那么J253600.【答案】503.6【詳解】解J253600=425.3610000=5.036X100=503.6故將案為503.614 .如果a+3和2a-6是一個數(shù)的平方根,這個數(shù)為.【答案】16或1443a=34.【詳解】解：根據(jù)題意得：a+3+2a-6=0,或a+3=2a-6,移項、合并同類項得：或-a

23、=-9,解得：a=1或a=9,那么這個數(shù)為1+32=16或9+32=144,故答案為：16或144.15 .假設(shè)12a與3a4是同一個數(shù)的平方根,那么a的值為.【答案】3或1.【詳解】解：依題意可知：1-2a+3a-4=0或1-2a=3a-4,解得：a3或a1.故答案為：3或1.16 .2x2+3=35,那么x=.【答案】土4.【詳解】2x2335,2x232,貝Ux216,解得：x=±4.故答案為：士三、解做題17,&1與,2y互為相反教,Z是64的方根,求xyz的平方根【答案】土石【詳解】解：;&一彳與J2y互為相反數(shù),jx1+J2y=0,-x+1=0,2-y=0,解得x=-1,y=2,丁z是64的方根,z=8所以,xyz=-1-2+8=5,所以,xyz的平方根是土卮18.探索與應(yīng)用.先填寫下表,通過觀察后再答復(fù)以下問題：a0.00010.011100100000.01x1y100(1)表格中x=;y=;(2)從表格中探究a與后數(shù)位的規(guī)律,并利用這個規(guī)