柯西不等式的證明

1、柯西不等式的證明及應(yīng)用（河西學(xué)院數(shù)學(xué)系01（2）班 甘肅張掖 734000）摘要：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值，解方程等問(wèn)題的應(yīng)用方面給出幾個(gè)例子。關(guān)鍵詞：柯西不等式 證明 應(yīng)用 中圖分類號(hào)： O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract: Cauchy-inequ

2、ality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides se

3、veral examples.Keyword：inequation prove application柯西（Cauchy）不等式 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：構(gòu)造二次函數(shù) = 恒成立即當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立證明（2）數(shù)學(xué)歸納法 （1）當(dāng)時(shí) 左式= 右式=顯然 左式=右式當(dāng) 時(shí)， 右式 右式 僅當(dāng)即 即時(shí)等號(hào)成立故時(shí) 不等式成立 （2）假設(shè)時(shí)，不等式成立即 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立設(shè) 則 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立即 時(shí)不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，這

4、個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問(wèn)題：1） 證明相關(guān)命題例1 用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。 已知點(diǎn)及直線 設(shè)點(diǎn)p是直線上的任意一點(diǎn)， 則 （1） （2）點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當(dāng)且僅當(dāng) （3）式取等號(hào) 即點(diǎn)到直線的距離公式即2） 證明不等式例2 已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因?yàn)?在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關(guān)問(wèn)題例3 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。4） 求最值例4已知實(shí)數(shù)滿足， 試求的最值

5、解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，代入時(shí)， 時(shí) 5）利用柯西不等式解方程例5在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等號(hào)成立從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書(shū)中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記，則，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，為常數(shù)。點(diǎn) 均在直線上，當(dāng)時(shí)，即而為常數(shù)。此時(shí)，此時(shí)，為常數(shù)點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小。致謝：在本文的寫作過(guò)程中，得到了馬統(tǒng)一老師的精心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝。 參考文獻(xiàn)： 柯西不等式的微小改動(dòng) 數(shù)學(xué)通報(bào) 2002 第三期 柯西不等式與排序不等式 南山 湖南教育出版社 普通高中解析幾何 高等教育出版社1990-年全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷李永新 李德祿 中學(xué)數(shù)學(xué)教