排列組合公式及恒等式推導(dǎo)證明(截圖版)

1、排列組合公式及恒等式推導(dǎo)、證明（截圖版）推導(dǎo)：把n個(gè)不同的元素任選m個(gè)不排序，拄計(jì)數(shù)原理分步進(jìn)行:第一步，取第一個(gè);第二步，取第二個(gè):第三步，取第三個(gè):第m步，取第m個(gè)：有 n種取法；有(n-1) 種取法；有(-2種取法；有(n-rn-l)種取法;最后一步，取最后一個(gè)：有 1 種取法。上述各步的取法相乘是排序的方法數(shù)，由于選m個(gè)，就有m!種排 排法，選n個(gè)就有n!種排法。故取m個(gè)的取法應(yīng)當(dāng)除以m!,取n 個(gè)的取法應(yīng)當(dāng)除以n!。建得出上述公式。證明：利用排列和組合之間的關(guān)系以及排列的公式來推導(dǎo)證明。將部分排列問題4r分解為兩個(gè)步驟,第一步，就是從n個(gè)球中抽m個(gè)出來，先不排序，此即定義的組合數(shù)問題

2、C；第二步，則是把這m個(gè)被抽出來的球全部排序，即全排列月3根據(jù)乘法原理，A：=C即：廠_式_以力_1)(力_2).5_小+1)_+!石&irt.加(力-切!組合公式也適用于全組合的情況，即求C(n, n)的問題。根據(jù)上述公式，C(n, n) = n!/n! (n-n)! = n! / n!0! = !0這一結(jié)果是完全合理的，因?yàn)閺膎個(gè)球中抽取所有n個(gè)出來，當(dāng) 然只有1種方法。三、重復(fù)組合數(shù)公式：重復(fù)組合定義:從n個(gè)不同的元素中每次取一個(gè)，放回后再取下 一個(gè)，如此連續(xù)m次所得的組合。重復(fù)組合數(shù)公式：K = （m可小于、大于、等于n,n21）推導(dǎo)：可以把該過程看作是一個(gè)“放球模型”：n個(gè)不

3、同的元素看作是n個(gè)格子，其間一共有（n-1）塊相同的 隔板，用m個(gè)相同的小球代表取m次；則原問題可以簡化為將m個(gè)不 加區(qū)別的小球放進(jìn)n個(gè)格子里面，問有多少種放法；這相當(dāng) 于it.個(gè)相同的小球和（n-1）塊相同的痛板先進(jìn)行全排列：一共有 （mfn-1） !種排法，再由于m個(gè)小球和（n-1）塊隔板是分別不加 以區(qū)分的，所以除以重復(fù)的情況：m! * （n-1） !于是答案就是：葉二空興二 mn -1）!四、不全相異的全排列在不全相異的n個(gè)物體中，假設(shè)有A個(gè)物體是相同的，立個(gè)五 題是相同的，d個(gè)物體是相同的。n個(gè)物體中不相同的物體種 類數(shù)一共有k種。那么，這些物體的全排列數(shù)是n!/（n/n。龜!）?？?/p>

4、以想成：n個(gè)物體直接全排列，排列完了以后，去重，第一 種物體有口!種，第二種物體有心!種，以此類推.例：有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，把這五個(gè)球排成一行，問有多少 種排法？紅球和紅球沒有區(qū)別，白球和白球沒有區(qū)別。窖:一共有10種，aaafct ,aababzaabta,acaacz abal：a,caaal:,fcaatazab：aa/bataa,btaaao五、排列恒等式的證明:= (r - s +1)/t證明：右邊二（，-s+l）（，_,7）77= (4-m )!左邊=右邊月7 =月二】n - mn （. -1）= n !證明：右邊=n - m （力- m - 1）!（力一切）!左邊=右邊 M=a

5、：；-a：證明：右邊=蜀一河二（4+1）!一刀！ =（22 + 1>22!一！=22！二叫右邊=左邊 AZ = A： + mAr證明：右邊=+m 史二（-m+l）W； 5+1）'=蜀（力-0！（。-m+l）!（4-0+1）!（4-m+1）!1!+22!+33!+一 +4力！=(4+1)!1證明:左邊二(21)1! + (3-1) 2!十(4-1) 3!十(n+1-1) n!=2!.l!+3!2!+4!3!(n+l)!-n!=(n+1)!-1!二右邊六、組合恒等式的證明首先明弄清組合的兩個(gè)性質(zhì)公式；口一卬互補(bǔ)性質(zhì)；取出有多少種，熏下就訶鄉(xiāng)少種根據(jù)分類計(jì)數(shù)反理:要么含有新加元至至么不

6、含新加元賓+1/ = (m+M = 旬 =Cnn-m ”(力-m)(m+l)!(力-m-1)! m!(!?-m)!'證明：Z7-Z77 + 1 _127-/27+1nfllC* =mm (/77-l)!(n-/77 + l)! m(n-ni)f 口口 +、劣_ 11rl (z?-l)!_ n證明：右邊二百拿二百加工而二礪荷二或m證明：n (n - 1)!n !=右邊二 m (zn-l)!(z7-z72)! m n - m )=左邊+ +。= 2證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。1）當(dāng)n 時(shí).G十&=2 =2所以等式成立°2）假設(shè)n=k時(shí)，（k>l, kebJ*）時(shí)等式成立

7、。即；琛+優(yōu)+4=2'當(dāng)”k:1時(shí),M+C3+C3+C3+C：；=吟 +© +3+(0 +2+("辦以：；=（+優(yōu)+G +c）+（c：+6+c；+十版）=22公=2%"等式也成立由1）、2）得，等式對nwN*都成立。也可用二項(xiàng)式定理證明（略） C+C+G =c：+c；+U =2”-】證明：用歸納法同上（略）也可利用上述結(jié)論證明（略）本課件盡量避開用二項(xiàng)式定理，但這比較簡單，暫且用一下:設(shè) a = &+C：+U+b=c：+c：+c；+由（1+1） 11 可得:a+b=2R=2X2R-x由（1T）可得 a-b=OI. a=b=2-（不懂的去學(xué)學(xué)二項(xiàng)式定理）C+2c+30+與證明：由mC：可得：（還記得這個(gè)恒等式嗎，不記得就回過頭去看的證明）左邊+口心+n篇+口心+ - 口二=/+以+以+%+-圖）=nV注：同時(shí)利用了的結(jié)論。（9）+ c丁c += c，r<minm, n用二項(xiàng)式定理證明太麻煩了。能偷懶就不要太勤快了。觀察左邊的每一項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)均