新人教版九年級數(shù)學下冊第26章反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題

1、新人教版九年級數(shù)學下冊第26章反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題（1） 知識結構 （二）學習目標1理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式（k為常數(shù)，），能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)2能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進一步理解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點3能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的函數(shù)關系和性質，能利用這些函數(shù)性質分析和解決一些簡單的實際問題4對于實際問題，能“找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)

2、學模型5進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步認識數(shù)形結合的思想方法（三）重點難點1重點是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質的理解、掌握和運用2難點是反比例函數(shù)及其圖象的性質的理解和掌握二、基礎知識（一）反比例函數(shù)的概念1（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一限制條件；2（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應注意自變量x的取值

3、不能為0，且x應對稱取點（關于原點對稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質1函數(shù)解析式：（）2自變量的取值范圍：3圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線 越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直越小，圖象的彎曲度越大（2）圖象的位置和性質：與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線當時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減?。划敃r，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大（3）對稱性：圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上4k的幾何意義如圖1

4、，設點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PAx軸于A點，PBy軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QCPA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為 圖1 圖25說明：（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論（2）直線與雙曲線的關系： 當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系（四）實際問題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式2注意學

5、科間知識的綜合，但重點放在對數(shù)學知識的研究上（五）充分利用數(shù)形結合的思想解決問題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）AB CD答案：（1）C；（2）A2圖象和性質（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內，那么k=_若y隨x的增大而減小，那么k=_（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第_象限（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_象限（4）已知a·b0，點P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上， 則直

6、線不經(jīng)過的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點， 則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函數(shù)和（k0），它們在同一坐標系內的圖象大致是（ ） A B C D 答案：（1）1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B 3函數(shù)的增減性（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，且，則的值為（ ）A正數(shù) B負數(shù) C非正數(shù) D非負數(shù)（2）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個點，則函數(shù)值、的大小關系是（ ）ABCD（3）下列四個函數(shù)中：； y隨

7、x的增大而減小的函數(shù)有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個（4）已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點，則當x0時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而（填“增大”或“減小”）答案：（1）A；（2）D；（3）B注意，（3）中只有是符合題意的，而是在“每一個象限內” y隨x的增大而減小4解析式的確定（1）若與成反比例，與成正比例，則y是z的（ ）A正比例函數(shù) B反比例函數(shù) C一次函數(shù) D不能確定（2）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為 （2，m），則m=_，k=_，它們的另一個交點為_（3）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值（

8、4）已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)（）的圖象在第一象限內的交點為P （x 0，3）求x 0的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式（5）為了預防“非典”，某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒 已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克 請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題：藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為_，自變量x 的取值范圍是_；藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為_研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)

9、過_分鐘后，學生才能回到教室； 研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10 分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依題意，且，解得（4）依題意，解得 一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為（5），； 30；消毒時間為（分鐘），所以消毒有效5面積計算（1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C，過這三個點分別向x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、，則（ ）ABCD 第（1）題圖 第（2）題圖（2）如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關于原點O對稱的任意兩點，AC/y軸，BC

10、/x軸，ABC的面積S，則（ ）AS=1 B1S2 CS=2 DS2（3）如圖，RtAOB的頂點A在雙曲線上，且SAOB=3，求m的值 第（3）題圖 第（4）題圖（4）已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x，y=2x在第一象限內分別相交于P1和P2兩點，過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為Q1，R1，過P2分別作x軸、y軸的垂線P2 Q 2，P2 R 2，垂足分別為Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周長，并比較它們的大?。?）如圖，正比例函數(shù)y=kx（k0）和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作x軸垂線交x軸于B，連接BC，若ABC面積為S

11、，則S=_ 第（5）題圖 第（6）題圖（6）如圖在RtABO中，頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點，ABx軸于B且SABO=求這兩個函數(shù)的解析式；求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標和AOC的面積（7）如圖，已知正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A、C分別在x軸、y軸上，點B在函數(shù)（k0，x0）的圖象上，點P （m，n）是函數(shù)（k0，x0）的圖象上任意一點，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F，設矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S 求B點坐標和k的值； 當時，求點P的坐標； 寫出S關于m的函數(shù)關系式答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），矩形O Q 1P1 R

12、 1的周長為8，O Q 2P2 R 2的周長為，前者大（5）1（6）雙曲線為，直線為； 直線與兩軸的交點分別為（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1）， 因此面積為4（7）B（3，3），； 時，E（6，0），； 6綜合應用（1）若函數(shù)y=k1x（k10）和函數(shù)（k2 0）在同一坐標系內的圖象沒有公共點，則k1和k2（）A互為倒數(shù) B符號相同 C絕對值相等 D符號相反（2）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點：A（，1），B（1，n） 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； 根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍（3）如圖所示，已知一次函數(shù)（k0）的圖象與x 軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)（m0）的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D，若OA=OB=OD=1 求點A、B、D的坐標； 求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式（4）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點，坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（O是坐標原點） 利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值； 雙曲線上是否存在一點P，使得PO