知識(shí)講解-基本不等式-基礎(chǔ)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本不等式 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解基本不等式的內(nèi)容及其證明.2. 能應(yīng)用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小求取值范圍等問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、基本不等式1.對(duì)公式及的理解.（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=” 的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.2.由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論（同號(hào)）；（異號(hào)）；或要點(diǎn)詮釋： 可以變形為：，可以變形為：.要點(diǎn)二、基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的

2、面積的和是，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）方法二：代數(shù)法 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.要點(diǎn)詮釋：特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.要點(diǎn)三、基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一

3、點(diǎn)，,，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、.易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.要點(diǎn)詮釋：1.在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù). 因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).要點(diǎn)四、用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等. 一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)； 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值； 三取等：函數(shù)的解析式中

4、，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.要點(diǎn)詮釋：1兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).如是成立的，而是不成立的.2兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)這句話的含義要有正確的理解.當(dāng)a=b取等號(hào)，其含義是；僅當(dāng)a=b取等號(hào)，其含義是.綜合上述兩條，a=b是的充要條件.3基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值.4利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必

5、須具備三個(gè)條件：各項(xiàng)都是正數(shù)；和（或積）為定值；各項(xiàng)能取得相等的值.5基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；寫出正確答案.【典型例題】類型一：對(duì)公式及的理解例1.下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)x>0且x1時(shí)，B當(dāng)x>0時(shí)，C當(dāng)x2時(shí)，的最小值為2D當(dāng)0<x2時(shí)，無(wú)最大值【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可?！敬鸢浮緽【解析】A中，當(dāng)x

6、>0且x1時(shí)，lg x的正負(fù)不確定，或；C中，當(dāng)x2時(shí)，；D中，當(dāng)0<x2時(shí)，在(0,2上遞增，.故選B.【總結(jié)升華】在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.舉一反三：【變式1】，給出下列推導(dǎo)，其中正確的有 （填序號(hào)）.（1）的最小值為；（2）的最小值為；（3）的最小值為.【答案】（1）；（2）（1），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（3），（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），與矛盾，上式不能取等號(hào)，即【變式2】給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程： ，； ，； ， ； ，.其中正確的推導(dǎo)為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】，符

7、合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確.雖然，但當(dāng)或時(shí)，是負(fù)數(shù)，的推導(dǎo)是錯(cuò)誤的.由不符合基本不等式的條件，是錯(cuò)誤的.由得均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中，將整體提出負(fù)號(hào)后，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確.選D.類型二：利用基本不等式證明不等式例2.已知，求證:【思路點(diǎn)撥】對(duì)于“和”式求最小值時(shí)，要設(shè)法配湊得“積”為定值，常采用“配分母”的辦法.【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)即,等號(hào)成立）.【總結(jié)升華】注意湊出條件，再利用基本不等式證明.舉一反三：【變式】已知、都是正數(shù)，求證：.【答案】、都是正數(shù) ，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立）故.例3. 已知、都是正數(shù)，求證：【思路點(diǎn)撥】要把基本不等式和不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)形式一

8、起來(lái)考慮?！窘馕觥?、都是正數(shù) （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即.【總結(jié)升華】 1. 在運(yùn)用時(shí)，注意條件、均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，進(jìn)行變形.2. 三個(gè)式子必須都為非負(fù)且能同時(shí)取得等號(hào)時(shí)，三個(gè)式子才能相乘，最后答案才能取得等號(hào).3. 在利用基本不等式證明的過(guò)程中，常常要把數(shù)、式合理的拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或恒等地變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式.舉一反三：【高清課堂：基本不等式 例題3】【變式】已知a0，b0，c0，求證：.【答案】證明：a0，b0，c0，.類型三：利用基本不等式求最值例4. 若實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，則x22y

9、2的最小值為 【思路點(diǎn)撥】要求最小值的式子中有兩個(gè)未知數(shù)x、y,先利用已知條件轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)，然后利用求最小值?！敬鸢浮俊窘馕觥縳y1，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：【總結(jié)升華】1. 形如（，）的函數(shù)的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值時(shí),每一項(xiàng)都必須為正數(shù),若為負(fù)數(shù),則添負(fù)號(hào)變正.舉一反三：【變式1】若,求的最大值.【答案】因?yàn)?所以, 由基本不等式得:,（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí), 取等號(hào)）故當(dāng)時(shí),取得最大值.【變式2】已知，當(dāng)取什么值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？【答案】，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)） 故當(dāng)時(shí)，的值最小為18.例5. 已知x0，y0，且，求x+y的最小值.【思路

10、點(diǎn)撥】要求的最小值，根據(jù)基本不等式，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì).【解析】方法一：，x0，y0，（當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào)）又，x=4，y=12當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16.方法二：由，得x0，y0，y9y9，y90，（當(dāng)且僅當(dāng)，即y=12時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)x=4）當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16.【總結(jié)升華】方法一是條件最值常用的變形方法，方法二利用了代數(shù)消元的方式變?yōu)楹瘮?shù)的最值來(lái)求.舉一反三：【變式1】 (2015 福建)若直線過(guò)點(diǎn)(1，1)，則a+b的最小值等于( )A2 B3 C4 D5【答案】由已知得，則，因?yàn)閍

11、0，b0，所以因?yàn)閍0，b0，所以故a+b4，當(dāng)，即a=b=2時(shí)取等號(hào)【高清課堂：基本不等式 例題1】【變式2】已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_(kāi)；【答案】 【變式3】（2016 湖南校級(jí)模擬）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax24x+c（xR）的值域?yàn)?，+），則的最小值為（ ）A3 B C5 D7【答案】由題意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0， 則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值是3。故選A。類型四：利用基本不等式解應(yīng)用題例6. 圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，

12、已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y（單位：元).（）將y表示為x的函數(shù)：（）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.【思路點(diǎn)撥】對(duì)于應(yīng)用題要通過(guò)閱讀、理解所給定的材料尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)解決題目所提出的問(wèn)題?！窘馕觥浚ǎ┰O(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為m，則由已知xa=360,得a=,所以y=225x+().當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.【總結(jié)升華】用均值不等式解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.舉一反三：【變式1】某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張卡240元.并規(guī)定不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名學(xué)生，教師準(zhǔn)備組織學(xué)生集體冬泳，除需要購(gòu)買若干張游泳卡外，每次去游泳還要包一輛汽車，無(wú)論乘坐多少學(xué)生，每次的包車費(fèi)為40元.要使每個(gè)學(xué)生游8次，每人最少交多少錢？【答案】設(shè)購(gòu)買x張游