2019年數(shù)二真題及解析

1、2004年數(shù)學(xué)(二)真題評注填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)f(x)lim(n21)x,則f(x)的間斷點(diǎn)為x0.nnx1【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).對不同的x,先用求極限的方法得出f(x)的表達(dá)式再討論f(x)的間斷點(diǎn).【詳解】顯然當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)x0時，f(x)IimlimLY1,nnx1n21xxxn所以f(x)0，x0,-,x0x1因?yàn)閘imf(x)limf(0)x0x0x故x0為f(x)的間斷點(diǎn).(2)設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程t3t33t3t確定，則曲線yy(x)向上凸的x取值范圍為(，少(或(-，1)【

2、分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由xx(t)yy(t)定義的圭y(t)x(t)x(t)y(t)(x(t)3求出二階導(dǎo)數(shù)，再由d2ydx20確定x的取值范圍.dy【詳解】dyq31關(guān)匕J1上dxdx3t23t21t21dtd2yddydt1214tdx2dtdxdxt213(t21)3(t21)3，令哄0t0.dx2又xt33t1單調(diào)增，在t0時，x(,1).(Qt0時，x1x(,1時，曲線凸.)【評注】本題屬新題型.已考過的題型有求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，如1989、1991、1994、2003數(shù)二考題，也考過函數(shù)的凹凸性.(3)dx=-.1x,x21工【分析】利用變量代換

3、法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】dx-secttantx：x2=1'-部0secttantdt0t2【詳解2】_dx1x：x2=1：arcsint0tz111,-(_y)dt-dt11?0.1t2【評注】本題為混合廣義積分的基本計(jì)算題，主要考查廣義積分(或定積分)的換元積分法.(4)設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程ze2x3z2y確定，則3-Z蘭2.xy【分析】此題可利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在ze2x3z2y的兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)，z為x,y的第-2-頁2xe從而所以2xe3z(23-),x3zz(3)2,y2e2x3z13e2x

4、3z，z2AC2x3zy13e3e2x【詳解2】令F(x,y,z)e2x3z2yz0則土e2x3z2,專2,壬e2x3z(3)12e2x3z22e2x3z(13e2x3z)13e2x3z(13e2x3z)13e2x3z從而113e2x3z【詳解3】利用全微分公式，得dze2x3z(2dx3dz)2dy2x3z2x3z.2edx2dy3edz2x3z2x3z.(13e)dz2edx2dydz-2x3z2e2x3zdx13ec2x3z3edy2x3z2x3z,即三.3_£2x13e2x3z'y13e2x3z【評注】此題屬于典型的隱函數(shù)求偏導(dǎo)(5)微分方程(yx3)dx2xdy0滿

5、足yy5x3項(xiàng).【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解，再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特【詳解1】原方程變形為dy112y-x,dx2x2先求齊次方程親的通解:積分得dylny1lnxInc2設(shè)yc(xh/x為非齊次方程的通解，代入方程得c(x)J7c(x)=2,x-1c(xhx】x22x213從而c(x)x2,2積分得,、1Lc(x)x2dx2于是非齊次方程的通解為y.x(1x25C)C、x6yx15故所求通解為yx1x3.5【詳解2】原方程變形為C1,dy112yx,dx2x2由一階線性方程通解公式得-Idxye2x?dxx2e2xdxC22

6、lne2,1,lnx-x2e2dx212x2dx2151x2C56y(1)-5從而所求的解為yX1,【評注】此題為求解一階線性方程的常規(guī)題2(6)設(shè)矩陣A120,矩陣B滿足ABA02BAE,其中A為A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,則|B【分析】利用伴隨矩陣的性質(zhì)及矩陣乘積的行列式性質(zhì)求行列式的值.【詳解1】ABA2BAEABA2BAE,(A2E)BAA2E|BA1,A2EA11Z2(1)(1)39【詳解2】由AAA1,得ABA2BAEABAA12BAA1AAAAB2ABAA(A2E)BAA3A2E|BAA2A2E【評注】此題是由矩陣方程及矩陣的運(yùn)算法則求行列式值的一般題型，考點(diǎn)是伴隨矩陣的性質(zhì)和矩

7、陣乘積的行列式選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(7)把x0時的無窮小量cost2dt,tanTidt,00o、Xsint3dt排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，貝序確的排列次序是(A,.(B),.(C),.(D)【分析】對與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔法則實(shí)現(xiàn)對變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解【詳解】又3sintdt0Qlimlimxx0x0xx2.xcostdt0.；1sinx2-x0cosx2xlim0,x023x2lim=x02、x0().limx0limx0tanJt

8、dt0：.,，x3sintdt0tanx2xlim3x0_1sinx22,x.2x2lim0,01x20().從而按要求排列的順序?yàn)楣蔬x(B)【評注】此題為比較由變限積分定義的無窮小階的常規(guī)題(8) 設(shè)f(x)|x(1x),貝(A) x0是f(x)的極值點(diǎn)，(B) x。不是f(x)的極值點(diǎn)(C) x0是f(x)的極值點(diǎn)，(D) x0不是f(x)的極值點(diǎn)但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).,但(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).且(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).,(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).C【分析】求分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)，按要求只需討論x0兩方f(x),f(x)的符號.【詳解】f

9、(x)x(1x),1x0,x(1x),0x1f(x)12x,1x012x,0x1,第-7-f(x)2,2,從而1x0時，f(x)凹，1x0時,f(x)凸，于是(0,0)為拐點(diǎn)又f(0)0,x0、1時f(x)0,從而x0為極小值點(diǎn)所以，x0是極值點(diǎn)，(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn)，故選(C)【評注】此題是判定分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的常規(guī)題目limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于n-nnn222(A) lnxdx.(B)2Inxdx.11x)dx(C)2：ln(1x)dx.(D)12in2(1【分析】將原極限變型，使其對應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式作變換后，從四個選項(xiàng)中選出正確的.【詳

10、解】1222n2飄叫(i如)(1秘(i十212nnlimln(1)(1-)L(1-)nnnnlimln(1)ln(12)L(1-)nnnnn120ln(1x)dx2xt2lntdt122lnxdx1故選(B)【評注】此題是將無窮和式的極限化為定積分的題型，值得注意的是化為定積分后還必須作一變換，才能化為四選項(xiàng)之一.(A) 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),且f(0)0,則存在0,使得f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.(B) f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)減小.(C) 對任意的x(0,)有f(x)f(0).(D)對任意的x(,0)有f(x)f(0).C【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)f(x)在x0附近的局

11、部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知由極限的性質(zhì)f(0)limf(x)f(0)x0x00,0,使|x時，有f(x)f(0)x(A) 即x0時，f(x)f(0),x0時，f(x)f(0),故選(C)【評注】此題是利用導(dǎo)數(shù)的定義和極限的性質(zhì)討論抽象函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)微分方程yyx(B) yx(axbxcAsinxBcosx).1sinx的特解形式可設(shè)為2yaxbxcx(AsinxBcosx).(C) yaxyaxbxcx(AsinxBcosx)【評注】這是一道求二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的典型題，此題的考點(diǎn)是二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)及非齊次方程特解的形式(12)設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D(x,y

12、)xf(xy)dxdy等于DbxcAsinx.yax2bxcAcosx式.【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形【詳解】對應(yīng)齊次方程yy0的特征方程為10,特征根為1e0(x21)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為_2.-y1axbxcsinxIm(eix),因i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2x(AsinxBcosx)從而yyx21sinx的特解形式可設(shè)為2y22y,則(A)(B)(C)11dx1二f(xy)dy.22yy220dy0f(xy)dx.2sin2odof(rsincos)dr.0d2sin2°f(rsincos)rdr【分析】將二重積分化

13、為累次積分的方法是意圖，再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標(biāo)系下，f(xy)dxdyD:先畫出積分區(qū)域的示20dyf(xy)dy故應(yīng)排除（A）、(B).在極坐標(biāo)系下，111dx11x*21Vxrcosyrsincos)rdr,2sin2f(xy)dxdy°d°f(rsinD故應(yīng)選（D）.【評注】此題是將二重積分化為累次積分的常規(guī)題，關(guān)鍵在于確定累次積分的積分限.（13）設(shè)A是3階方陣,將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQC的可逆矩陣Q為0(B)10010011C)100.(D)100011001D【分析】根據(jù)矩陣的初等

14、變換與初等矩陣之間的關(guān)系，對題中給出的行(列)變換通過左(右)乘一相應(yīng)的初等矩陣來實(shí)現(xiàn).010100【詳解】由題意BA100,CB011,001001010100011CA100011A100AQ001001001011從而Q100,故選(D).001【評注】此題的考點(diǎn)是初等變換與初等矩陣的關(guān)系，抽象矩陣的行列初等變換可通過左、右乘相應(yīng)的初等矩陣來實(shí)現(xiàn).(A) 設(shè)A,B為滿足AB0的任意兩個非零矩陣,則必有A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).(B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān).(C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).(D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組

15、線性相關(guān).A【分析】將A寫成行矩陣，可討論A列向量組的線性相關(guān)性.將B寫成列矩陣，可討論B行向量組的線性相關(guān)性.【詳解】設(shè)A(aij)im,B(bij)mn,記AA1A2LAmA1A2LAmbiib2ibmibi2b22bm2LbinLb2nLLbmnAB0biiALbmiAmLbinALbmn(1)由于B0,所以至少有一屏0(1im,1jn),從而由（于是A1,又記B則1)知，bijAb2jA2LA2,L,Am線性相關(guān).B1B2'M,BmAB0bijAiLbmiAm0,aia2LaimBjaiiBai2B2LaimBma2ia22La2mB2a2iBiLMa22B2LLa2mBm0a

16、i1ai2LaimBmai1Biai2B2LaimBm由于A0,則至少存在一aij（0(1il,ijm),使aiiBiai2B2aijBjLaimBm0,從而Bi,B2,L,Bm線性相關(guān),故應(yīng)選（A）.一. 【評注】此題的考點(diǎn)是分塊矩陣和向量組的線性相關(guān)性，此題也可以利用齊次線性方程組的理論求解解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(本題滿分10分)求極限limWx0x3x2cosx13【分析】此極限屬于9型未定式.可利用羅必塔法則，并結(jié)合無窮0小代換求解.I2cosx【詳解1】原式lim,1x03lnlim一x02cosx32x.ln(2cosx)ln3

17、limx0(sinx)皿11sinxlim2lim203x202cosxx【詳解2】原式xlne2cosx3-lnlimx02cosxcosx3""2xln(llimx0cosx【評注】此題為求未定式極限的常見題型.在求極限時，要注意將羅必塔法則和無窮小代換結(jié)合，以簡化運(yùn)算.(14) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上有定義，在區(qū)間0,2上,f(x)x(x24),若對任意的x都滿足f(x)kf(x2),其中k為常數(shù).(I)寫出f(x)在2,0上的表達(dá)式；(nN、Wk為何值時，f(x)在x0處可導(dǎo).【分析】分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性只能用導(dǎo)數(shù)定義討論【詳解】(I)當(dāng)2x

18、0,即0x22時,2)(x4).(n)由題設(shè)知f(0)0.f(0)limf(x)f(0)x0x0f(0)令f(0)f(0),m些詢x0x01.2肺kx(x2)(x4)x0x8k.即當(dāng)k-時,2f(x)在x0處可導(dǎo).【評注】此題的考點(diǎn)是用定義討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性(17) (本題滿分11分)、rr_xK設(shè)f(x)2sintdt,x(I)證明f(x)是以為周期的周期函數(shù)；(n)求f(x)的值域.【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性,利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域【詳解】(I)f(xsintdt,設(shè)tu,則有f(xxx2sin(u)dusinuduf(x),f(x)kf(x2)k(x

19、2)(x2)24kx(x故f(x)是以為周期的周期函數(shù).(n)因?yàn)閟inx在(，)上連續(xù)且周期為,故只需在0,上討論其值域.因?yàn)閒(x)sin(x)sinxcossinx5f(手)344sintdt又f(0)2sintdt1,f()3萬(sint)dt1,f(x)的最小值是2V2,最大值是42,故f(x)的值域是令f(x)0,得x-,x2，且3f()4sintdt2,4753sintdt4sintdt2、2,42、2,.2.【評注】此題的討論分兩部分:(1)證明定積分等式，常用的方法是變量代換.(2)求變上限積分的最值，其方法與一般函數(shù)的最值相同.(本題滿分12分)xx曲線ye一與直線x0,x

20、t(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該2曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在xt處的底面積為F(t).(I)求業(yè)的值；V(t)(II)計(jì)算極限lim-S(t).二者及截面積都是tF(t)【分析】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積,t的函數(shù)，然后計(jì)算它們之間的關(guān)系【詳解】(I)S(t)02y.1y2dx2x-2x1e2edxV(t)l2刀°ydxS(t)V(t)(n)F(t)y2lim勉tF(t)2lim一t2dxlimttteehm-t_rtee【評注】在t固定時，此題屬于利用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積的題型，考點(diǎn)是定積分幾何應(yīng)用的公式和羅必塔求與變

21、限積分有關(guān)的極限問題.(18) (本題滿分12分)設(shè)eabe2,證明ln2bln2a£(ba).e【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明，常第-17-頁【詳證1】設(shè)(x)4(x)lnxx,eInx4(x)22xe20,x故(x)單調(diào)減小，從而當(dāng)exe2時,用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等(x)(e2)42e4e0,即當(dāng)exe2時,(x)單調(diào)增加.因此，當(dāng)eabe2時，(b)(a),即ln2b42blnae4ae故ln2bln2ia£(bea).【詳證2】設(shè)22(x)InxIna*xa),則,、nx4(x)22xe(x)2*xxe時，(x)0

22、(x),從而當(dāng)e2xe時，(x)(e2)4e42e0,2exe時，(x)單調(diào)增加.eabe2時,(x)(a)0.令xb有(b)0即ln2bln2a£(bea).【詳證3】證對函數(shù)ln2x在a,b上應(yīng)用拉格朗日定理ln2bln2a2ln(ba),ab.所以當(dāng)(x)0,x，得e時,(t)里則(t)丁戶tt2當(dāng)te時，(t)0,所以(t)單調(diào)減小，從而()(e2),即lnlne22e4八、(ba)e【評注】此題是文字不等式的證明題型.由于不能直接利用中值定ln2bln2a理證明，所以常用的方法是將文字不等式化為函數(shù)不等式，然后借助函數(shù)不等式的證明方法加以證明(20)(本題滿分11分)某種飛

23、機(jī)在機(jī)場降落時，為了減小滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時的水平速度為700km/h.經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k6.0106).問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】本題屬物理應(yīng)用.已知加速度或力求運(yùn)動方程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)中一類重要的計(jì)算，可利用牛頓第二定律，建立微分方程，再求解.【詳解1】由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m9000kg,著陸時的水平速度700km/h.從飛機(jī)接觸跑道開始記時,設(shè)t時刻飛機(jī)的滑行距離為x(t),速度為v

24、(t).根據(jù)牛頓第二定律，得dvmkv.dvvdx,dtdvdvdxdtdxdtdxdv,k積分得x(t)mvC,k由于v(0)Vo,x(0)0,故得C?v°,從而x(t)m(vov(t).k當(dāng)v(t)0時，x(t)mv。90007006.01061.05(km).所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律，得所以兩邊積分得dvm一dtdvvkv.衛(wèi)dt,mAtCem代入初始條件0v°,得Cv(t)%v°em故飛機(jī)滑行的最長距離為v(t)dt四°1.05(km).0k【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律，得md2xdt2d2xdt2kmdt

25、0,0,其特征方程為解得r10,2由x(0)0,v(0)dxdtkkC2mtemVo，得Cimv0X(t)E(1Jktem).x(t)mV)90007006.01061.05(km).所以,飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.【評注】此題的考點(diǎn)是由物理問題建立微分方程，并進(jìn)一步求解(本題滿分10分)2設(shè)zf(x2、xy2xyxy八4xyf112(xy)ef2xyef22e(1xy)f2.【評注】此題屬求抽象復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的常規(guī)題型(22) (本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組y2,exy),其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求Y,Y,zxyxy【分析】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算【詳解】

26、2xf1yexyf2,x2yf1xexyf2,y2Z2f2fYPxyxyfYvaxyfvexyf(2v)fxexy12xTn(2y)電xe1eT2xyeT2yeL121(2y)f22xexy(1a)x1x2x3x40,2Xj(2a)x22x32x40,3x3x2(3a)x33x40,4x4x24x3(4a)x40,試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組的解.由系數(shù)行列式為0,其同解方程組為a0時，r(A)1確定參數(shù)的取值，進(jìn)而求方程組的非零解.XiX2X3X40.由此得基礎(chǔ)解系為1,1,0,0)T2(1,0,1,0)T3(1,0,0,1)T,于是所

27、求方程組的通解為kik2k33,其中ki,k2,k3為任意常數(shù).a10時，r(A)34,a23411001010100110234010000100001故方程組也有非零解,其同解方程組為對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有1a1111a1122a222aa0333a33a0a4444a4a00a故方程組有非零解4,【詳解1】10B02x1乂20,3x1x30,4x1乂40,由此得基礎(chǔ)解系為(1,2,3,4)t,所以所求方程組的通解為xk,其中k為任意常數(shù)【詳解2】方程組的系數(shù)行列式1233(a10)a1a112a2A33a444a當(dāng)A0,即a0或a10時，方程組有非零解當(dāng)a0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有1111111122220000A3333