函數(shù)的定義域值域單調(diào)性奇偶性對稱性零點(心血之作)

1、函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、反函數(shù)、伸縮平移變換、零點問題知識點大全1、 函數(shù)的定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；例.（05江蘇卷）函數(shù)的定義域為_2、求函數(shù)定義域的兩個難點問題（1）知道f(x)的定義域（a，b），求f(g(x)的定義域：轉(zhuǎn)化為解不等式a<g(x)<b；（2）知道f(g(x)）的定義域(a，b)，求f(x)的定義域：轉(zhuǎn)化為求g(x)的值域。例3：（1）（2）。例4：設，則的定義域為_變式練

2、習：，求的定義域。2、 函數(shù)的值域1求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍動身，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡潔的復合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且R的分式；分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；利用對號函數(shù)幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含肯定值函數(shù)例：1 （直接法）2 2 3 （換元法）4 4. （法） 5. 6. 6. (分離常數(shù)法) 7. (單調(diào)性)8.，

3、 (結(jié)合分子/分母有理化的數(shù)學方法)9(圖象法) 10(對號函數(shù)) 11. (幾何意義)3、 函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性：（同增異減）設是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。兩個函數(shù)f(x)、g(x)之間的基本性質(zhì)：增+增=增增減=減減+減+減減增=減例：1推斷函數(shù)的單調(diào)性。2函數(shù)對任意的，都有，并且當時，（1）求證：在上是增函數(shù)；若，解不等式 3函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_4.(高考真題)已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）4、 函數(shù)的奇偶性常用性質(zhì)：1 是既奇又偶函數(shù)；2 2奇

4、函數(shù)若在處有定義，則必有； 3 偶函數(shù)滿足；4奇函數(shù)圖象關于原點對稱，偶函數(shù)圖象關于y軸對稱；5除外的全部函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶 奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)6奇偶性的推斷看定義域是否關于原點對稱；看f(x)與f(-x)的關系例：1 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當時，則當時， .2 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；3 已知在（1，1）上有定義，且滿足證明：在（1，1）上為奇函

5、數(shù)；4 若奇函數(shù)滿足，則_5、 函數(shù)的周期性1（定義）若是周期函數(shù)，T是它的一個周期。說明：nT也是的周期。（推廣）若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期對比記憶：說明：f(x)的周期為2a;說明：f(x)關于直線x=a對稱。2若；則周期是2例：1 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為（ ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定義在R上的偶函數(shù)，滿足，在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減，設，則的大小挨次為_3 已知f (x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(2005)= .4 已知是(-)上的奇函數(shù)，當01時，f(x)=x，則f(7.5)=_5設是定義在R上的奇函

6、數(shù)，且對任意實數(shù)x恒滿足，當時求證：是周期函數(shù)；當時，求的解析式；計算：6、 函數(shù)的對稱性我們知道：偶函數(shù)關于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關系式 奇函數(shù)關于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關系式上述關系式是否可以進行拓展？答案是肯定的探討：（1）函數(shù)關于對稱也可以寫成 或 簡證：設點在上，通過可知，即點上，而點與點關于x=a對稱。得證。若寫成：，函數(shù)關于直線 對稱（2） 函數(shù)關于點對稱 或 簡證：設點在上，即，通過可知，所以，所以點也在上，而點與關于對稱。得證。若寫成：，函數(shù)關于點 對稱（3） 函數(shù)關于點對稱:假設函數(shù)關于對稱，即關于任一個值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身

7、不行能關于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會消失關于對稱，比如圓它會關于y=0對稱。兩個函數(shù)的圖象對稱性1、 與關于X軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。2、 與關于Y軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。3、 與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。4、 與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。5、 關于點(a,b)對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于點(a,b)對稱。6、 與關于直線對稱。7、 反函數(shù)1.只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟 （1）解 (2)換 (3)寫定義域。3、關于反函

8、數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若點 (a,b)在y=f(x)的圖象上，則 (b,a)在y=f-1(x)的圖象上；（6）y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點肯定在直線y=x上; 例：設函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像過點，則的圖像必過（A） （B） （C） （D）8、 函數(shù)的平移伸縮變換1、平移變換：（左+ 右- ，上+ 下- ）即對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要

9、變）例：1f(x)的圖象過點(0,1)，則f(4-x)的反函數(shù)的圖象過點（ ）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)2作出下列函數(shù)的簡圖：（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|； （3） y=2|x|；9、 函數(shù)的零點問題1函數(shù)零點概念對函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點2.零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.問題1:函數(shù),有,那么在上函數(shù)有零點嗎?問題2:函數(shù)在區(qū)間有零點嗎?引例除了用零點基本定理,還有其他方法可以確定函數(shù)零點所在的區(qū)間嗎?解法二:幾何解法(1). 可化為畫

10、出函數(shù)和的圖象，可觀察得出C 正確.0xy函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖像的關系(牢記)函數(shù)有零點 方程 有實數(shù)根 函數(shù) 圖像有交點.三、能力提升1.利用函數(shù)圖像求函數(shù)零點問題例1：（1）函數(shù)的零點有 （ ） yxA4 個 B3 個 C2個 D1個變式1：若函數(shù)為，則有 個零點.變式2：若函數(shù)為，則有 個零點.解:由,可化為,畫出和的圖像,可得出B 正確. 有4個零點, 有6個零點. (2)函數(shù)與的圖像在有 個交點,xyo交點的橫坐標之和為 解:函數(shù)與的圖像在有8個交點,由于圖像都關于點對稱,故交點的橫坐標之和為4.（3）:若關于的方程有兩個不同的實數(shù)根,求的取值范圍.OxyOyx解1:設,分別畫

11、兩函數(shù)的圖像,兩圖像有兩個不同的交點即方程有兩個不同的實數(shù)根. 與的圖像，當時，在第一象限平行，其次象限有一個交點，當時只有一個交點在其次象限，當時有兩個交點，故.解2:設,分別畫兩函數(shù)的圖像,兩圖像有兩個不同的交點即方程有兩個不同的實數(shù)根.只有當?shù)男甭市∮?時有兩個交點，即，.2.利用零點性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍探究：在上有三個零點，求a的取值范圍.解：由得xoy令，得或，,得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.xoy變式1：方程在上有實數(shù)解，求a的取值范圍.解：由方程在上有實數(shù)解，即由的圖像可得：變式2：在上有實數(shù)解，求a的取值范圍.解1：由，.變式3：若不等式在上恒成立，求a的取值范圍.解：轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即得.課堂小結(jié) 解決函數(shù)零點存在的區(qū)間或方程根的個數(shù)問題的主要方法有函數(shù)零點定理和應用函數(shù)圖像進行推斷;依據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍主要有分類商量、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換等方法，注意導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和畫出函數(shù)的圖像的應用可以有效解決和零點相關的