自主招生數(shù)學(xué)不等式第三講

1、自主招生學(xué)案：不等式第三講（2013年12月24日棗莊八中陳文）考點(diǎn)三：重要不等式一、考點(diǎn)分析： 自主招生考試中所考的重要不等式主要包括絕對值不等式、均值 不等式、柯西不等式、琴生不等式等。二、不等式求解的常見題型：1、利用不等式證明結(jié)論。2 利用不等式解決數(shù)學(xué)建模問題。3 借助不等式求最優(yōu)解問題。4.不等式的綜合問題。三、例題詳解及梯度訓(xùn)練：（一）絕對值不等式從不等式的背景可以看到，許多不等關(guān)系都涉及距離的長短、面積或體積的大小、重量的大小等等，他們都要通過非負(fù)數(shù)來表示，因此，研究含有絕對值的不等式具有重要意乂。定理1： 如果a, b都是實數(shù)，則|a |-|b|_|a _b|勻a| |b|等

2、號是否成立依賴 與ab的符號。定理2： 如果a, b, c都是實數(shù)，那么|a-c閆a-b|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）_0時，等號成立例1.如圖，一條公路的兩側(cè)有六個村莊，要建一個火車站，要求到六個村莊的路程 之和最小，應(yīng)該選在哪里最合適？如果在P的地方增加了一個村莊，并且沿著地圖的虛線修了一條小路，那么這時車站設(shè)在什么地方好？（2010年浙江大學(xué)）1梯度訓(xùn)練：1若對一切實數(shù)x,都有|x-5|+|x-7|>a,則實數(shù)a的取值范圍是（）A. a<12 B. a<7 C. a<5 D. a<2（2011 年復(fù)旦大學(xué)）2.|x-5|+|x-7|+|x-6|+|x

3、-8|> a，則 a 的取值范圍如何?（二）平均值不等式設(shè)a （0, =）（i =1,2,，n），記這n個數(shù)的調(diào)和平均值Hn =算術(shù)平均數(shù)A =nn 1-i =1 ai幾何平均值nai ,i daii £n方幕平均數(shù)Xn則Hn -Gn - An -Xn，當(dāng)且僅當(dāng)印=a?二=時等號成立。11例 2.設(shè)正數(shù) a，b， c滿足 a+b+c=1，求證：（a ）（b）.（c 'ab1000 。27（2008年南京大學(xué)）2（2008年山東大學(xué)）f(Xn)。推廣1:推廣2:梯度訓(xùn)練：1 n1 n1設(shè)n為正整數(shù)，求證：（一）:：: （1）。nn +12x1212.已知已知函數(shù) f(x)

4、,f(1)=1,f(),令 x1,xn1ax+b2321(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：x1x2.xn 丄2e3三、柯西不等式對于任意的兩組實數(shù)a1, a2,., anft bi ,b2,.bn(n _ 2)，有nnn（遲abj2蘭（遲a2）（遲b2）當(dāng)且僅當(dāng)丸a=%d為常數(shù)，i=i,2，n ）時成立4i 4i 4i當(dāng)都為正實數(shù)時，等號成立的條件可以改寫為例3.證明柯西不等式。ai a2_ 01bi b2 bn(2009年華東師范大學(xué))#梯度訓(xùn)練：1.設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a2 2b2 3c 3.求證:abc392712（2008年西安交通大學(xué)）1 21 2 1 22.設(shè)a，b，c為正實數(shù)，

5、且 a+b+c=1，求（a ） （b ） （c ）的最小值。 abc（2008年南開大學(xué)）(四)排序不等式設(shè)aA < a2 <. < anb乞b?空乞bn為兩組實數(shù)，c1,c1,., cn為b1,b,., bn的任意排列，貝Ua1bna2bnA . anbi< a1c1a2c2.ancn乞 a1b1a2b2. - anbn當(dāng)且僅當(dāng) aa2二二an或d =b2二二bn時，等號成立例4.有10個人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第i( i=1,2，10)個人的水桶需要t分鐘，假定這些1各不相同。問只有一只水龍頭時，應(yīng)如何安排10個人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的

6、總時間等于多少？梯度訓(xùn)練： 設(shè)a1, a2,., an是n個互不相等的正整數(shù)，求證:12232a1 -n5（五）琴生不等式1. 凸函數(shù):（1）下凸函數(shù)：一般地，設(shè)f （X）是定義在（a, b）區(qū)間上的函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的任意兩個數(shù)Xi,X2都有f （空 竺）空丄兇，則稱f（幻是（a, b）內(nèi)的下凸函數(shù).2 2（2）上凸函數(shù)：一般地，設(shè)f （x）是定義在（a，b）區(qū)間上的函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的 任意兩個數(shù)x1, x2都有fQ x2） - f（Xl） f（X2），則稱f（乂）是（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù).2 22. 凸函數(shù)常用的性質(zhì)：性質(zhì)1：（琴生不等式）：對于（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)f （X），有f（ Xi X2 Xn）f （Xi） f（X2） f （Xn）nn性質(zhì)2：（加權(quán)琴生不等式）：對于（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)f （x），若q + a2 + . + an =1，則f（aiXi a?X2 . anXn） f（xj 玄鳥恨）.a.f（x.）注：對于上述