勾股定理的證明的方法

1、【證法1】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是 a + b ,所以面積相等.即22121一 2. 22整理得 a b =ca b 4 ab = c 4 ab【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積-ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上,AaEbBB、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.v RtAHAE 叁 R tAEBF,丁. /A

2、HE = /BEF.v /AEH + /AHE = 90o,丁. /AEH + /BEF = 90o.丁. /HEF = 180o 90o= 90o.一四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的 正方形.它的面積等于cab等于2.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.v RtAEAD 公 RtACBE, . /ADE = /BEC.v /AED + /ADE = 90o,. /AED + /BEC = 90o. Z DEC = 180o90o= 90o. A DEC是一個(gè)等腰直角三角形， 12它的面積等于2c .又: /DAE = 90o, /EBC = 90o.V RtAG

3、DH 0 Rt A HAE ,丁. /HGD = /EHA.v /HGD + /GHD = 90o,丁. /EHA + /GHD = 90o.又: /GHE = 90o,丁. /DHA = 90o+ 90o= 180o.,2. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于（a+b）.(a +b 2 =4 Jab +c222,22a b = cab三角形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀v RtADAH 0 RtAABE,. / HDA = /EAB.v /HAD + /HAD = 90o,/EAB + /HAD = 90o,DCAEB【證法3（趙爽證明）以a、b為直角邊（

4、b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等直角三角形，則每個(gè)直角1 . ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. ef = fg =GH =HE = ba , / HEF = 90o. EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于（b -a 24黑 1ab +(b -a 2 =c2 2【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積AD / BC.a ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 2（a *b）.1211Oa，b=2 ab c2.22 2'222. a +b=c .a、b （b>a）,斜

5、邊長為c.再使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上【證法5】（項(xiàng)明達(dá)證明）做一個(gè)邊長c的正方形.把它們拼成如圖所示多邊形,做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩直角邊長分別為Ea過點(diǎn)Q作QP / BC,交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BM，PQ,垂足為M ;再過點(diǎn)F作FNXPQ,垂足為N.v /BCA = 90o, QP/BC,. /MPC = 90o,V BMXPQ, 二 /BMP = 90o, BCPM 是一個(gè)矩形，即 / MBC = 90o.v /QBM + /MBA = /QBA = 90o,/ABC + /MBA = /MBC = 90o； /QBM = /ABC, 又: /BMP = 90o, / BCA

6、 = 90o, BQ = BA = c,RtABMQ 0 Rt A BCA.同理可證RtAQNF叁 RtAAEFEGbC【證法6】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長 分別為a、b ,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的 一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC 的延長線交DF于點(diǎn)P.V D、E、F 在一條直線上,RtAGEF 叁 RtAEBD, 丁. /EGF = / BED,v /EGF + /GEF = 900. /BED + / GEF = 90° /BEG =180o90o= 90o.又= AB = BE = EG = GA = c, ABEG是一

7、個(gè)邊長為c的正方形./ABC + /CBE = 90o.v Rt A ABC 2 RtAEBD,/ABC = /EBD.丁. /EBD + /CBE = 90o.即 / CBD= 90o.又 v / BDE = 90o, / BCP = 90o, BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.c2 = S 2 - ab222_1a2 b2 =S 2 -ab, 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則22,22a b = c【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD

8、.過 C 作 CLXDE, 交AB于點(diǎn)M ,交DE于點(diǎn)L.v AF = AC, AB = AD,Z FAB = /GAD, A FAB 0 A GAD ,1 2av A FAB的面積等于2,A GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半，2矩形ADLM的面積=a .同理可證，矩形 MLEB的面積=b2.=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積22,22,22c = a +b ，即 a +b = c .【證法8】（李銳證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 形，把它們拼成如圖所示形狀，使a、b （b>a）,斜邊的長為c.做三個(gè)邊長分別為 a、b、c的正方A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表

9、示面積的編號(hào)（如圖）ZTBE = ZABH = 90 o,/ TBH = /ABE .又 /BTH = /BEA = 90 o, BT = BE = b , RtAHBT 9 RtAABE.，HT = AE = a .GH = GT HT = ba.又 /GHF + /BHT = 90 o, / DBC + / BHT = / TBH +/GHF = /DBC./ BHT = 90 o, DB = EB ED = ba, / HGF = / BDC = 90 o, RtAHGF RtABDC.即 S7 = S2.過Q作QM，AG ,垂足是 M .由/ BAQ = 可知 Z ABE= /QAM,

10、而 AB = AQ = c ,/ BEA = 90 o, 所以 Rt A ABE 9RtAQAQI .又 RtAHBT 色 Rt A ABE .所以 RtAHBTRt A QAM .即S8 =S5V正方形ADEB的面積由 Rt A ABE 0 Rt A QAM ,又得 QM = AE = a , / AQM = / BAE .Z AQM + / FQM = 90 o, Z BAE + /CAR = 90 o, Z AQM = /BAE, Z FQM = /CAR.又./ QMF = /ARC = 90 o, QM = AR = a， RtAQMF 里 Rt A ARC 即 S4 = S6 .

11、222 c2 =Si +S2 +S3 +S4 +S5 a2 =Si +S6b2 =S3 +S7 +S8 ? ? ?又S7=$S8=S52. 2a b = S1s6S3S4 =S6S7 S8 = Si S4 s3s2S5 = c2即 a2 +b2 =c2.【證法9】（辛卜松證明）ab2ab c2 abb2ab2 abc2labc ?GT 于 F, AF 交 DT 于 R.過 B 作 BPXAF, 直，垂足為E, DE交AF于H.v /BAD = 90o, / PAC = 90o,丁. /DAH = /BAC.又 v / DHA = 90o, / BCA = 90o,AD = AB = c , R

12、t A DHA 0 Rt A BCA.DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形，所以 RtA APB 0 Rt A BCA.即 PB =垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD .把正方 形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為（a + b f = a2 + b2 + 2ab ； 把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，212a b = 4 ab c2則正方形ABCD的面積為2=2ab+c .a2 +b2 +2ab = 2ab+c2a2+b2=c

13、2【證法10】（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （b>a）,斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AFLAC, AF交CA = b, AP= v Rt A DGT又 v / DGT = 90o, / DHF = 90o,/GDH = /GDT + /TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形.GF = FH = a . TFXAF, TF = GTGF = ba .二 SiS2S3s4S5b2 -1 ab2，. TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP

14、=a + （ b a）. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為1 I，=a b r b - a 1 a b - a 1S5=S8 * S92S3S4 二 b1, c-2ab -S8= b2 -Si -S8把代入，得c2 =S1 S2 b2 -S1 -S8 s8 s92=b +S2 +S9 = b2 +a2.a2 b2 ; c2.【證法11(陳杰證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b (b>a),斜邊的長為b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀, 字表小面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a,連結(jié)DA、DC, 則 AD = c.v EM

15、= EH + HM = b + a , ED = a, DM = EM ED =（b+aa = h又: /CMD = 90o, CM = a, /AED = 90o, AE = b, RtAAED 0 RtADMC. 丁. /EAD = /MDC, DC = AD = c. v /ADE + ZADC+ /MDC =180o, /ADE + /MDC = /ADE + /EAD = 90o, 丁. /ADC = 90o.E、H、Mc.做兩個(gè)邊長分別為a、 三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)作AB / DC, CB / DA ,貝U ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形.v /BAF + /FAD = /DAE + / FAD = 90o, 丁. /BAF=/DAE.連2g FB,在 A ABF 和 A ADE 中，v AB =AD = c , AE = AF = b , / BAF= / DAE , A ABF 0 A ADE.丁. /AFB = /AED = 90o, BF = DE = a.點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上.在 RtA ABF 和 RtA BCG