特別解析匯報(bào)：線(xiàn)性規(guī)劃求最值

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用特別解析：線(xiàn)性規(guī)劃求最值、目標(biāo)函數(shù)線(xiàn)的平移法：利用直線(xiàn)的截距解決最值問(wèn)題fx-2< 0,表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則 z = x-y的一 一 一 一I例1已知點(diǎn)P(x, y)在不等式組y-100,圖x+2y-2=()(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z = x yx+2y-2> 0取值范圍是().(A) 2, 1(B) 2, 1(C) 1, 2(D) 1, 2解析：由線(xiàn)性約束條件畫(huà)出可行域，考慮z = X - y ,變形為y =x -z ,這是斜率為1且隨z變化的一族平行直線(xiàn).-z是直線(xiàn)在y軸上的截距.當(dāng)直線(xiàn)滿(mǎn)足約束條件且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 取得最大值為2；直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, 1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z = x

2、-y取得最小值為1 .故選(C).注：本題用“交點(diǎn)法”求出三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0, 1), (2, 1), (2, 0),然后再代入目標(biāo)函數(shù)求出z=x-y的取值范圍為-1,2更為簡(jiǎn)單.x y _ 0例2已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足約束條件4 x y十520,則z = 2x+4y的最小值為(x <31 z 分析：將目標(biāo)函數(shù)變形可得 y = -x+-z ,所求的目標(biāo)函數(shù)的最小值即一組平行直1 y = - x + b在經(jīng)過(guò)可行域時(shí)在 y軸上的截距的最小值的 4倍。2解析：由實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足的約束條件，作可行域如圖所示：文案大全當(dāng)一組平行直線(xiàn) L經(jīng)過(guò)圖中可行域三角形 ABC區(qū)域的點(diǎn)C時(shí)，在y軸上的截距最小，

3、又C(3,-3),故 z=2x+4y 的最小值為 zmin = 2父 3+4 父(3) = 6。二、數(shù)行結(jié)合，構(gòu)造斜率法：利用直線(xiàn)的斜率解決最值問(wèn)題fx_y_2< 0),例3設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xc +2y-4>0,則z的最大值是 .x2y-3< 0,解析：畫(huà)出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC(如圖2), z=Y = Xl。表示兩點(diǎn)x x - 00(0,0) P(x, y)確定的直線(xiàn)的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的最大值.由圖2可以看出直線(xiàn) OP的斜率最大，故P為x + 2y4=0與2y3=0的交一 一3 33點(diǎn)，即A點(diǎn).PI1,-.故答案為3.I 2

4、)2注：解決本題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)z=_y二0的x x -0幾何意義，當(dāng)然本題也可設(shè) 衛(wèi)=t,則y = tx,即為求 xy = tx的斜率的最大值.由圖 2可知，y=tx過(guò)點(diǎn)A時(shí),t最大.代入y =tx ,求出t =',23即得到的最大值是3.2 2, 一，. x例3.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足不等式組x解析：所給的不等式組表示圓 x2 y24的右半圓(含邊界),P(-1,-3),斜率為 z的直線(xiàn)族.問(wèn)題的幾何意義:求過(guò)半圓域x2+y2 M4(x之0)上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(1,3)的直線(xiàn)斜率的最大、最小值.由圖知，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A(0, 2)的直線(xiàn)斜率最大，zmax = 2"(3) = 5

5、.過(guò) 0 ( -1)點(diǎn)P所作半圓的切線(xiàn)的斜率最小.設(shè)切點(diǎn)為B(a,b),則過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)方程為ax+by=4 .又1-2十3娓(a2+b2=4a = c2./6 -3B在半圓周上，P在切線(xiàn)上，則有a b 4解得I 5 因此zmin=f。-a - 3b = 4.6 . .1 63b =5三、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離型(或距離的平方型)，構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離公式法解決最值問(wèn)題x y -1 三 0例5 已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x y +1 2 0 ,則w = x2 + y2 4x 4y + 8的最值為 .y -12222斛析：目標(biāo)函數(shù) w=x +y 4x4y+8 = (x2) +(y2),其含義是點(diǎn)(2,2)與可行域

6、內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方。由實(shí)數(shù)x、y所滿(mǎn)足的不等式組作可行域如圖所示:1-1x+y-1=062,2)可行域?yàn)閳D中L ABC內(nèi)部(包括邊界)，易求B (-2, -1 ),結(jié)合圖形知，點(diǎn)(2,2)到點(diǎn)B的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最大值，, 一 一、2， 一、2 一32Wmax=(22) +(12) =25；點(diǎn)(2,2)到直線(xiàn)x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最小值,fx-y+2>0,例6 已知<x + y4>0,，求z = x2+y2 10y+25的最小值.2x-y-5< 0,解析：作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo) A (1,3)、B (3, 1)、C (7, 9).而z = x

7、2+(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)M(0, 5)的距離的平方，過(guò) M作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)，易，一一 ，一 一， 一 一，一I29知垂足N在線(xiàn)段AC上，故z的最小值是 MN =9 . 2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等.注：充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如兩點(diǎn)間的距離(或平方)四、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離型例7已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足2x+y之1,求u =x2+y2+4x2y的最小值。解析：目標(biāo)函數(shù) u =x2+y2+4x 2y = (x + 2)2+(y-1)2-5 ,其含義是點(diǎn)(-2,1)與可行域內(nèi)的點(diǎn)的最小距離的平方減 5。由實(shí)數(shù)x、y所滿(mǎn)足的不等式組作可行域如圖所示(-2,1)1y2x+y=1式可求得d J

8、2 (-2) 1-1|一 ,5點(diǎn)(-2,1)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的最小距離為其到直線(xiàn)2x+y=1的距離，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公4.5,216，故 d 5 = 5 =一55jx -y +2> 0,例 8 已知 <x + y4>0,，求 z = x2 + y210y+25 的最小值.、2x -y -5< 0,解析：作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo) A (1,3)、B (3, 1)、C (7, 9).而z = x2十(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)M (0, 5)的距離的平方，過(guò) M作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)，易知垂足N在線(xiàn)段AC上，故z的最小值是 MN2 _9一 2五、變換問(wèn)題研究目

9、標(biāo)函數(shù)y -x例9 (08年山東)已知x + y M2 ,且z =2x+ y的最大值是最小值的 3倍，a等于()六、綜合導(dǎo)數(shù)、函數(shù)知識(shí)類(lèi)例10（ 06山東）.已知函數(shù)f （x）的定義域?yàn)?/c）,部分對(duì)應(yīng)值如下表,f'(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y = f （x）的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)a, b滿(mǎn)足f（2a+b）<1,貝ij b +3的a 33 7 ( ,5 3取值范圍是（x-204f(x)111分析：本題的關(guān)鍵是如何從函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象中找到原函數(shù)的基本性質(zhì)，將其與所給的函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)。由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間上2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0, +8）為單調(diào)遞

10、增函數(shù)。結(jié)合題中提供的函數(shù)的數(shù)據(jù)可得-2<2a + b<4,另外注意到 t2的幾何意義，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題可求解。a 3解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間 卜2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0,）為單調(diào)遞增函數(shù)，又 f （2） =1, f（0） = 1, f （4） =1,故2<2a + b<4,而a,b均為正 (-3,-3)數(shù)，可得可行域如圖,b . 3 , , 一、一 故最大為點(diǎn)（0,4）,b-的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)和（-3,-3）連線(xiàn)的斜率的取值范圍,a 3.4 3 7 .此時(shí)為=一,取小為點(diǎn)（2, 0）,此時(shí)為0 3 3七、在日常應(yīng)用中解決最值問(wèn)題例.（20

11、09山東卷文）某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件.已知300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A類(lèi)產(chǎn)品設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為 50件,B類(lèi)產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為 元. 答案 2300解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)x天，乙種設(shè)備需要生產(chǎn)y天，該公司所需租賃費(fèi)為z元?jiǎng)tz=200x+300y ,甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) A,B兩類(lèi)產(chǎn)品的情況為下表所示設(shè)備A類(lèi)產(chǎn)品(件)(>50)B類(lèi)產(chǎn)品(件)(>140)租賃費(fèi)(元)甲設(shè)備510200乙設(shè)備6203005x 6y _ 50

12、則滿(mǎn)足的關(guān)系為“0x + 20y 2 140即：x>0, y >0x 2y _14x_0, y_06x y = 10 ,、一作出不等式表布的平面區(qū)域 ，當(dāng)z = 200x +300 y對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)過(guò)兩直線(xiàn) 55 " 的交點(diǎn)x 2y=14(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=200x+300y取得最低為2300元.附：線(xiàn)性規(guī)劃常見(jiàn)題型及解法求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍x< 2LI *右x、y滿(mǎn)足約束條件（ y W 2d + y 22,則z=x+2y 的取值范圍是A、 2,6B、2,5C、3,6D、（ 3,5A解：如圖，作出可行域，作直線(xiàn)l : x+2y = 0,x + y =2 x=2

13、向右上方平移，過(guò)點(diǎn)A ( 2,0 )時(shí)，有最小值2,過(guò)點(diǎn)B ( 2,2 )時(shí)，有最大值6,故選A二、求可行域的面積2x y -6 _0 一I一，一一 ，一一例2、不等式組x+y-3W0表布的平面區(qū)域的面積為（1）。了 M2解：如圖作出可行域，SzX ABC即為所求，由S梯形OMBC減去SBM O M A 即可 °三、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例3、滿(mǎn)足|x| + |y| w 2的點(diǎn)(x , y)中整點(diǎn)都是整數(shù))有(13個(gè) )x + y <2 (x>0,y >0)解：|x| + |y| W2 等價(jià)于 5一廠(chǎng)2 (xj0, y<0)-x y _ 2 (x< 0, y

14、 _0),-x-y - 2 (x<0,y< 0)橫縱坐標(biāo)作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部（包括邊界），容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13.四、求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍Jx y - 5 ¥例4、已知x、y滿(mǎn)足以下約束條件（x y+ 50,使 x<3z=x+ay（a>0） 取得 最小值的最優(yōu)解有無(wú) 數(shù)個(gè)，a的值為（）A、一 3B、3C、 一 1D、1函數(shù) z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后解：如圖，作出可行域，作直線(xiàn)l : x+ay = 0,要使目標(biāo),貝U z=x 2+y 2x -2y + °/2x + y - 2=與直

15、線(xiàn)x+y = 5重合，故a=1 ,選D五、求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值2x y-2-0例5、已知x、y滿(mǎn)足以下約束條件x-2y +4之03x - y - 3 蕓 03x - y - 3的最大值和最小值分別是()A、13, 1B、13, 2C、13 , 4 D、斤，25-55解：如圖，作出可行域,x 2+y 2是點(diǎn)(x , y)到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A ( 2,3 )到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO| 2=13 ,最小值為原點(diǎn)到直線(xiàn)4一2x + y 2=0的距離的平萬(wàn)，即為一，選Co5六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍例6、已知|2x y+m|<3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)(0,0 )和(一1,1 ),則m的取值范圍是()A、( -3,6 )B、( 0,6 )C、( 0,3 ) D、( -3,3 )八2x - y m 3 0解：|2x y + m| v 3等價(jià)于,2x - y m - 3 ： 0m 3 3 一、,一由右圖可知，故0v mv 3,選Cm-3 二 0七、比值問(wèn)題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z=Y二a時(shí)，可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)