坐標系與參數(shù)方程_知識點

1、坐標系與參數(shù)方程 知識點一、極坐標與極坐標系1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換的作用下,點P(x,y)對應(yīng)到點,稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是

2、平面坐標系.(2)極坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0, )(R).和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.3.極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是

3、,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面

4、直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由方程組所確定的點都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。

5、應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有