空間點陣空間點陣到底有多少種排列形式？按照每個陣點的周圍環(huán)境

1、-空間點陣空間點陣到底有多少種排列形式？按照“每個陣點的周圍環(huán)境相同的要求, 在這樣一個限定條件下，法國晶體學(xué)家布拉菲(A. Bravais )曾在1848年首先用數(shù)學(xué)方法證明，空間點陣只有14種類型。這14種空間點陣以后就被稱為布拉菲點陣?？臻g點陣是一個三維空間的無限圖形，為了研究方便，可以在空間點陣中取 一個具有代表性的根本小單元，這個根本小單元通常是一個平行六面體， 整個點 陣可以看作是由這樣一個平行六面體在空間堆砌而成，我們稱此平行六面體為單 胞。當(dāng)要研究某一類型的空間點陣時， 只需選取其中一個單胞來研究即可。 在同 一空間點陣中，可以選取多種不同形狀和大小的平行六面體作為單胞，如圖1

2、-8所示。一般情況下單胞的選取有以圖1-8空間點陣及晶胞的不同取法圖1-9面心立方陣胞中的固體物理原胞圖 1-10 晶體學(xué)選取晶胞的原那么下兩種選取方式：1固體物理選法在固體物理學(xué)中， 一般選取空間點陣中體積最小的平行六面體作為單胞， 這 樣的單胞只能反映其空間點陣的周期性， 但不能反映其對稱性。 如面心立方點陣 的固體物理單胞并不反映面心立方的特征，如圖 1-9 所示。2 晶體學(xué)選法由于固體物理單胞只能反映晶體結(jié)構(gòu)的周期性， 不能反映其對稱性， 所以在 晶體學(xué)中，規(guī)定了選取單胞要滿足以下幾點原那么如圖 1-10 所示： 要能充分反映整個空間點陣的周期性和對稱性； 在滿足的根底上，單胞要具有盡

3、可能多的直角； 在滿足、的根底上，所選取單胞的體積要最小。根據(jù)以上原那么，所選出的 14 種布拉菲點陣的單胞見圖 1-12 可以分為兩 大類。一類為簡單單胞，即只在平行六面體的 8 個頂點上有結(jié)點，而每個頂點 處的結(jié)點又分屬于 8 個相鄰單胞，故一個簡單單胞只含有一個結(jié)點。另一類為 復(fù)合單胞 或稱復(fù)雜單胞 ，除在平行六面體頂點位置含有結(jié)點之外，尚在體心、 面心、底心等位置上存在結(jié)點，整個單胞含有一個以上的結(jié)點。 14 種布拉菲點 陣中包括 7 個簡單單胞， 7 個復(fù)合單胞。圖1-11單晶胞及晶格常數(shù)根據(jù)單胞所反映出的對稱性，可以選定適宜的坐標(biāo)系，一般以單胞中某一頂 點為坐標(biāo)原點，相交于原點的三

4、個棱邊為 X、Y、Z三個坐標(biāo)軸，定義X、丫軸之 間夾角為丫，丫、Z之間夾角為a，Z、X軸之間夾角為B，如圖1-11所示。單 胞的三個棱邊長度a、b、C和它們之間夾角a、B、丫稱為點陣常數(shù)或晶格參數(shù)。 六個點陣常數(shù)，或者說三個點陣矢量 a、b、c描述了單胞的形狀和大小，且確定 了這些矢量的平移而形成的整個點陣。也就是說空間點陣中的任何一個陣點都可 以借矢量a、b、c由位于坐標(biāo)原點的陣點進行重復(fù)平移而產(chǎn)生。每種點陣所含的平移矢量為：簡單點陣：a、b、c底心點陣：a、b、c、 (a + b) /2體心點陣：a、b、c、(a + b + c) /2面心點陣：a、b、c、 (a + b) /2、(b +

5、 c)/2、(a + c) /2所以布拉菲點陣也稱為平移點陣(8)(11)(12)(13)(14)圖1-12 14種布拉菲點陣晶體根據(jù)其對稱程度的上下和對稱特點可以分為七大晶系，所有晶體均可歸納在這七個晶系中，而晶體的七大晶系是和14種布拉菲點陣相對應(yīng)的，如圖1-12和表1-2所表1-2七大晶系和十四種布拉菲點陣A*林號陣A ft H|對戕標(biāo)號p1C 0 Qa：bct a 3 x y(H)簡隼車斡在心鼻斡pC1I0 0 00 Q 0« *Z Zo»y« wxfl(1：)(n)伙方p1C 0 0(7)謎單三角10 4 0打-3-y>o*(e)馨方1簡單亞交I面

6、心it交eF11240 0 00 0 0 * 丄"» 丄12 10 Q 0、丄丄03 2ft 0 01 0oi 212e丄A2 2(14)(»)(H)間E網(wǎng)方PI:q a g1 ii000 i2 22a b-c« a fl V so(4 )(O瞬越立方it心立方pIF440 0 0A 1110 o o» “ . v2 110 * D £ £ 芻 0I 2I2Q丄丄t 2atf-ff-y*so*CD(：)(1)示。所有空間點陣類型均包括在這14種之中，不存在這14種布拉菲點陣外的其 它任何形式的空間點陣。例如在圖1-12中未列

7、出底心四方點陣，從圖1-13可以 看出，底心正方點陣可以用簡單正方點陣來表示， 面心正方可以用體心正方來表 示。如果在單胞的結(jié)點位置上放置一個結(jié)構(gòu)基元，那么此平行六面體就成為晶體結(jié) 構(gòu)中的一個根本單元，稱之為晶胞。在實際應(yīng)用中我們常將單胞與晶胞的概念混淆起來用而沒有加以細致的區(qū)分§1-2常見的晶體結(jié)構(gòu)及其原胞、晶胞1簡單晶體的簡單立方simple cubic, sc它所構(gòu)成的晶格為布喇菲格子。例如氧、硫固體?；獮閱我辉咏Y(jié)構(gòu)的晶體叫簡單晶 體。其特點有:三個基矢互相垂直；_"_.，重復(fù)間距相等， 為a，亦稱晶格常數(shù)。其晶胞二原胞；體積二/ ；配位數(shù)第一近鄰數(shù)=6 見圖1-

8、7圖1-7簡單立方堆積與簡單立方結(jié)構(gòu)單元2) 簡單晶體的體心立方 (body-ce ntered cubic, bcc ),例如，Li , K, Na, Rb, Cs, a Fe, Cr, Mq W Ta, Ba等。其特點有：晶胞基矢-F ：,并且一丁乳 廠-啟，其慣用原胞基矢由從一頂點指向另外三個體心點的矢量構(gòu)成：見圖1-9 b 坷=嗖(J +j +E); a2 二j +E);(1-2)其體積為，.：；配位數(shù)=8;1；一見圖1-8圖1-8體心立方堆積與體心立方結(jié)構(gòu)單元kU.I心立方晶胞、慣用原胞b3簡單晶體的面心立方 face-ce ntered cubic, fee ,例如，Cu, Ag,

9、 Au, Ni, Pd, Pt, Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al 等。晶胞 基矢，并且八.' 每面中心有一格點其原胞基矢由從一頂點指向另外三個面心點的矢量構(gòu)成見圖1-10 b:可與0+F；禺 £+咼=丁+?(1-3)其體積二'宀；配位數(shù)=12。 宀一川，見圖1-10圖1-10面心立方結(jié)構(gòu)晶胞a與面心立方慣用原胞b4) NaCI 結(jié)構(gòu)(Sodium Chloride structure )，復(fù)式面心立方互為fcc ，配位數(shù)=6 圖1-11 a表1-1 NaCl結(jié)構(gòu)晶體的常數(shù)a (a(i)LiH4.08AgBr5.77MgO4.2PbS5.92MnO

10、4.43KC16.29NaCI5 63KBr5.595) CsCI 結(jié)構(gòu)(Cesuim Chloride structure )，復(fù)式簡單立方(互為sc)，配位數(shù)=8(圖1-11 b )。表1-2 CsCI結(jié)構(gòu)晶體的常數(shù)a (a)a U)BeCu2.7LiHg3.29A1N12.S8NH+C13. £7CuZn2.54TIBr3.57CuPd299Csd4.11CsCI結(jié)構(gòu)NaCl結(jié)構(gòu)圖1-11 NaCI結(jié)構(gòu)和CsCl結(jié)構(gòu)6) 金剛石結(jié)構(gòu)(Diamond structure ),兩套fee格子相互沿對角線位移 1/4 處套合。如 C (a=3.567?), Si(5.431 ? ),

11、 Ge(5.657? ), Sn (6.46 ?);配位數(shù)=4;原胞=fcc布喇菲格子+兩不等價的C原 子圖 1-12a圖1-12金剛石結(jié)構(gòu)和閃鋅礦結(jié)構(gòu)7閃鋅礦結(jié)構(gòu)Cubic 乙nc Sulfide structure,在金剛石結(jié)構(gòu)中，兩套不等價的格子分別由不同的原子而非C原子占據(jù)圖1-12b。見下表：表1-3閃鋅礦結(jié)構(gòu)物質(zhì)的晶體常數(shù)a 黃A (A)CuF4.25AlAs5.66SiC4.35GaAs5.155CuCl5.41ZnS5.41A1P5.45CdS5.E2GaAs兩個'及'晶面方向不等價，前者為As面而后者為Ga面；它們在許多物理、化學(xué)性能上都不一樣例如，腐蝕速度就

12、六方密堆積結(jié)構(gòu)S1-L3不一樣。8六角密堆積hep，由一層層互錯的原子層堆而成，重復(fù)周期為二層：ABABABAB;如 Mg, Ce, Co, Zr, Zn, Gd, Cd, Y, Ti,Be, Tl, Se, Te 等。其基矢.：.：_/,-:o fee 也是一種緊密堆積，不同的是，fee的重復(fù)周期為三層：ABCABCABCABG。配位數(shù)=12圖 1-13 。,B'1'廣ZnS有另一種結(jié)構(gòu)，即纖維鋅礦結(jié)構(gòu)與hep很相似，其中A=Zn; B=S;其配位數(shù)也是12,所不同的 是，原子間距不全相等。0 0 Ba Ti圖 1-14鈣鈦礦結(jié)構(gòu)9) 鈣鈦礦(perovskite struc

13、ture )§1-3 14種布喇菲格子和7大晶系布喇菲格子代表晶體基元在空間周期排列的重復(fù)特征，這種微觀的平移對稱性可導(dǎo)致宏觀上的其它對稱性，包括轉(zhuǎn)動、鏡面、反演點對稱性。1轉(zhuǎn)動：宏觀上，轉(zhuǎn)動對稱性具有一次、二次、三次、四次及六次軸對稱性旋轉(zhuǎn)對稱性。角也必定與原格子重合。同理讓轉(zhuǎn)軸通過 B點，A點繞軸旋 轉(zhuǎn)-9角后至A'點，格子也完全重合。二證明：在布喇菲格子中任選 兩近鄰點，A-B;讓轉(zhuǎn)軸通過A點，B點繞軸轉(zhuǎn)9角后至B'點，整 個格子應(yīng)完全與原來的重合。顯然，轉(zhuǎn) -9平移對稱性要求 AB/A'B', 并B'A'=mAB m為整數(shù),故有

14、 B'A'二AB+2ABcosa 二AB1-2cos 9 , =180 ° 即 cos 9 =1-m/2; -ivcos 9 <1, m只能取-1, 0, 1, 2 及3,及180° ,這分別對應(yīng)于 一次、六次、四次、三次及二次軸對稱性。于是，9只能分別取360° 60° , 90 ° , 120 °2 以這些對稱性為特征，可分出七類晶系其英文版見附錄二：表1-4 7大晶系和14種布喇非格晶持征布喇菲格子點群國際符號a b c簡單三斜無轉(zhuǎn)軸1JTriclinica /S # 7既無對稱軸也無對稱命單斜a b c簡

15、單單斜屋心單斜2,j?s,2/niMonoclinica=90ay一個二諛旋轉(zhuǎn)軸，鏡面對稱直工h * £簡單正交;底心正交,222F mm2 ,Orthorhombica = x =90°體心正交;面心正交三個互相垂直ffJ-ffc®轉(zhuǎn)軸三角a = b = c三角3 , T, 32 ,3m fTl / mTrigonala = p = y 90°亍三次旋轉(zhuǎn)軸四方a =方#疔簡單四肓;體心四方4,耳*4 /耕,422#4初孤可刖2*4 ImmmTetragonala A =尸 90 J個四次旋轉(zhuǎn)軸I A®a = b c六角6,66/%62乙個六茨旋轉(zhuǎn)軸HEKagonala=jS= 90=120 9= i? = *簡單立方;體心立方;23，刑 3 , 432 ，曠3 擁,m 3 m四個三次旋轉(zhuǎn)軸Cubica = = 90°面心立方關(guān)于晶體對稱性的操作見附錄三。問題1:為什么沒有底心四方和面心四方？因為這會構(gòu)成另 一簡單四方和體心四方問題2: 為什么體心立方不是三角點陣？提示，從對稱 性考慮問題3： 為什么沒有體心三角？因為這會構(gòu)成另一套三 角