等腰三角形中的“易錯(cuò)題”

1、等腰三角形中的易漏解題于等腰三角形的邊分腰和底邊；角分頂角和底角；因此在已知等腰三角形的邊或角在未指明腰和底邊或頂角和底角的情況下，求其余未知量時(shí)，均須分兩種情況進(jìn)行討論。一、已知等腰三角形的兩邊，在未指明底邊和腰時(shí)，求其周長(zhǎng)須分兩種情況進(jìn)行討論；最后務(wù)必檢驗(yàn)每種情況是否滿足三角形的三邊關(guān)系。例、已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為和4；求其周長(zhǎng)。解：（）當(dāng)腰長(zhǎng)為3，底長(zhǎng)為4時(shí)；有3+3+4=10；其周長(zhǎng)為10；（）當(dāng)腰長(zhǎng)為4，底長(zhǎng)為3時(shí)，有4+4+3=11；其周長(zhǎng)為11。該等腰三形的周長(zhǎng)為10或11。例、已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為和；求其周長(zhǎng)。（2005蕪湖市中考12題）解：（）當(dāng)腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為時(shí)，有3+

2、3<7；顯然不符合三角形的三邊關(guān)系，組不成三角形；（）當(dāng)腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為時(shí)，有7+7+3=17；其周長(zhǎng)為17。該等腰三角形的周長(zhǎng)為17。二、已知等腰三角形的一內(nèi)角,在未指明頂角和底角時(shí)，求其余兩角；須分兩種情況進(jìn)行討論，最后務(wù)必檢驗(yàn)是否滿足三角形的內(nèi)角和定理。例、已知等腰三角形的一內(nèi)角為70°；求其余兩個(gè)內(nèi)角。解：（）當(dāng)頂角為70°時(shí)；其余兩底角為55°，55°；（）當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，其余兩角為70°，40°；該等腰三角形其余兩角為55°，55°或70°，40°。例已知等腰三角形的

3、一內(nèi)角為95°；求其兩個(gè)內(nèi)角。解：（）當(dāng)頂角為95°時(shí)，其余兩角為42.5°,42.5°；（）當(dāng)?shù)捉菫?5°時(shí)，兩角之和為95°+95°180°；不符合三角形的內(nèi)角和定理。顯然不成立。該三角形的其余兩角為42.5°，42.5°。三、已知等腰三角形的一個(gè)外角（未指明頂角還是底角的情況下），應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論。例已知等腰三角形的一個(gè)外角為75°；求其內(nèi)角。解：（）當(dāng)頂角的外角為75°時(shí)，等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為105°，37.5°，37.5°。(

4、2)當(dāng)?shù)捉堑耐饨菫?5°時(shí)，則底角為105°，此時(shí)有105°+105°180°，不符合三角形的內(nèi)角和定理；因而組不成三角形。該等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角為105°，37.5°，37.5°。例、已知等腰三角形的一個(gè)外角為110°；求其內(nèi)角。解：（）當(dāng)頂角的外角為110°時(shí)，三角形的三個(gè)內(nèi)角為70°，55°，55°。（）當(dāng)?shù)捉堑耐饨菫?10°時(shí)，等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為70°，70°，40°。該等腰三角形的內(nèi)角為70°，55

5、°，55°或70°，70°，40°。圖一DCBA四、已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角，求其內(nèi)角時(shí)；應(yīng)分等腰三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論。例、已知等腰ABC腰AB上的高CD與另一腰AC的夾角為30°，則其頂角的度數(shù)為（）。A、60° B、120°C、60°或150°D、60°或120°（2005臨沂市中考題）解：（）如圖一：當(dāng)?shù)妊麬BC為銳角三角形時(shí)，DCBA圖二底角為60°，60°，頂角為60°。（）如圖二：當(dāng)?shù)妊麬BC為

6、鈍角三角形時(shí)，頂角為120°，底角為30°，30°。答案選D說(shuō)明：當(dāng)?shù)妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為0°時(shí)；顯然為等腰直角三角形，只有一種情況。C圖一DBA例8、為了美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長(zhǎng)為10米的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。（2003黑龍江中考題）分析：此題只給了等腰三角形的一邊為10，此邊可為底，可為腰，且還須分銳角三角形和鈍角三角形加以討論，否則易漏解。解：分三種情況，不妨設(shè)等腰ABC中，邊AB10米，過(guò)C點(diǎn)作CDAB，垂足為D，解得CD6（米），BACD圖二（1）如圖一，AB為底時(shí)，A

7、DDB5（米），ACCB（米）（2）當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時(shí)，ACAB10米，AD（米），AB圖三DCBD2米，BC米； （3）當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時(shí)，ACAB10米，AD（米），BC米。綜上所得：該等腰三角形綠地其它兩邊長(zhǎng)為米，米或10米，2米或10米，6米。五、已知等腰三角形一腰上垂直平分線與另一腰的夾角，求底角時(shí)，應(yīng)分等腰三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論。例9、在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小。解：（）、如圖一：當(dāng)?shù)妊麬BC為銳角三角形時(shí)，有AED40°，則A50°，B

8、65°。（2）、如圖二：當(dāng)?shù)妊麬BC為鈍角三角形時(shí)，此時(shí)AED40°，則BAC130°，B25°。綜上所述：底角B的大小為65°或25°。ADBCE圖二ACBDE圖一六、以已知線段為腰作等腰三角形時(shí)，通常要分以該腰不同頂點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論。例10、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)你在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得AOP成為等腰三角形。在給出的坐標(biāo)系中把所有這樣的點(diǎn)P都找出來(lái)，畫上實(shí)心點(diǎn)，并在旁邊標(biāo)上P1，P2，PK。（有k個(gè)就標(biāo)到PK為止，不必寫出畫法）（2005杭州市中考題）圖二P6P5AO圖三OP8P7A

9、圖一OP1P2P3AP4解：（1）如圖一，以O(shè)為頂角頂點(diǎn)，以O(shè)A為腰時(shí)，只須以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，與坐標(biāo)軸分別交于P1（）P2（），P3（），P4（），分別連接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四個(gè)等腰三角形OAP1，OAP2，OAP3，OAP4（2）如圖二，以A為頂角頂點(diǎn)，以O(shè)A為腰時(shí)，只須以A為圓心，以AO為半徑作圓，與坐標(biāo)軸分別交于P5（4,0），P6（0,2），分別連接P5A，P6A，可得到兩個(gè)等腰三角形OAP5，OAP6，（3）如圖三，當(dāng)OA為底時(shí)，作OA的中垂線分別與坐標(biāo)軸相交于P7（,0），P8（0,）。ABCDP1圖一顯然符合條件的P點(diǎn)位置有8個(gè)。例11、在正方形A

10、BCD中，滿足PAB，PBC，PCD，PAD均為等腰三角形的點(diǎn)P有（）個(gè)。A、6個(gè)B、7個(gè)C、8個(gè)D、9個(gè)解：（1）、如圖一，當(dāng)AB，BC，CD，DA分別P3P2CBDA圖二為等腰三角形PAB，PBC，PCD，PAD的底邊時(shí)，P點(diǎn)為正方形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)P1。（2）、如圖二，當(dāng)AB，CD分別為PAB和PCD的腰且A與D為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)而BC和AD分別為PBC和PAD的底邊時(shí)；P點(diǎn)的位置為以A為圓心，以AB為半徑的圓弧與線段AD的中垂線交點(diǎn)P2和P3。（3）、如圖三，當(dāng)AB，CD分別為PAB和PCD的腰且B與C為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)而BC和AD分別為PBC和PAD的底邊時(shí)；P

11、點(diǎn)的位置為以B為P4CBDAP5圖三圓心，以BA為半徑的圓弧與線段AD的中垂線交點(diǎn)P4和P5。與（2）和（3）同理如圖三、四、五得到以當(dāng)AD，BC分別為PAD和PBC的腰而AB和CD分別為PBC和PAD的底邊時(shí)；P點(diǎn)的另外四個(gè)位置為P6，P7，P8和P9。答案選D。七、在等腰三角形中，若三邊的長(zhǎng)度中含有字母要分三種情況討論。ADCBPQ例12、在矩形ABCD中，AB3cm，BC4cm。設(shè)P，Q分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)速度均為1cm/s,設(shè)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t(0<t4)。（1）寫出PBQ的面積S（cm2

12、）與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PBQ為等腰三角形？（3）PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值，若不能，說(shuō)明理由？（2006年臨沂市中考第26題）圖一QMADCBP解：（1）如圖一，自點(diǎn)P向BC引垂線，垂足為M，則PMDC，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，DPBQ1.tt,BP=5-t.ADCBMPQ圖二(2)若BPQ為等腰三角形。如圖二，當(dāng)PBPQ時(shí)，自點(diǎn)P向BC引垂線，垂足為M，則有BMMQ，在RTBMP中，BP5-t， ADCBMQP圖三 當(dāng)BQBP時(shí)，有t=5-t,解得如圖三，當(dāng)BQPQ時(shí)，自點(diǎn)Q向BD引垂線，垂足為N.由RtBNQ

13、RtBCD，得（3）不能。若PBQ為等邊三角形，則PBQ60°，此時(shí)tanPBQ=；而這與由已知在矩形ABCD中，由AB3，BC4得到的結(jié)論tanPBQ=相矛盾；PBQ不能為等邊三角形。圖一ADCB例13、在ABC中，B25°，AD是BC邊上的高，并且AD2BD.DC，則BCA的度數(shù)為，（2005年北京市）析解：這類沒有給出圖形的問題，解決它一般要用分類討論的思想，否則極易造成漏解。BCA的大小有兩種情況：（1）當(dāng)BCA是銳角時(shí)，如圖一，AD是BC邊上的高，圖二BADC則ADBADC90°，由AD2BD.DC得，所以有ABDCAD，則BCAD25°，故BCA90°CAD65°（2）當(dāng)BCA是鈍角時(shí)，如圖二，同理可求得ABDCAD，得BCA115°；綜上，應(yīng)填65°或115°。二、在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1,1）；在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（） A、4個(gè)B、6個(gè)C、8個(gè)D、1個(gè)解：（1）如圖一，以O(shè)A為腰，以O(shè)為頂角頂點(diǎn)時(shí)，只須以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，與坐標(biāo)軸分別交于P1（）P2（），P3（），P4（），分別連接P1