線性代數(shù)復習筆記

1、線性代數(shù)復習筆記 首先，要先搞明白整本書的學習脈絡(luò)及重點： 第一章 先介紹了線性方程組及矩陣的一些根本概念， 從線性方程組的消元法引出 矩陣的初等變換；1. 掌握線性方程組的消元法書 p.4例12. 利用矩陣的初等變換解線性方程，會將矩陣化成行最簡形矩陣。書 p.15 例 1p.16例2定是簡答題 第二章從分析二階矩陣和三階矩陣所確定的行列式結(jié)構(gòu)出發(fā)， 得出 n 階矩陣所確 定的 n 階行列式，并導出求解一類特殊線性方程組的克拉姆法那么；1. 計算二，三階行列式 p.25 課后習題 12. 排列的逆序數(shù)p.26例13靈活運用行列式的性質(zhì)計算行列式的值 p37 習題 5：可做一半的題目4. 會求

2、行列式的每個元的代數(shù)余子式及各行各列的展開式p.46習題15. 掌握克拉默法那么中定理1,定理2的內(nèi)容，會解方程p50.習題1和習題2 第三章 那么討論了矩陣運算、逆矩陣、分塊矩陣、初等矩陣、矩陣的秩等的概念；1. 矩陣的加法和數(shù)乘運算比擬簡單，重點要會矩陣的乘法p.56例5和例62. 特殊矩陣的關(guān)鍵運算方法。3. 轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)，對稱矩陣和反稱矩陣的概念p.66例4,習題4會出推理 題p.69 習題 1,3,4,74. 矩陣的伴隨矩陣p.69習題85. 知道逆矩陣的定義，重點掌握方陣可逆的充分必要條件p.71 例2，例 36. 利用逆矩陣求解線性方程p.72例67. 綜合運用p.73例8 p

3、.75習題7，98 利用初等變換求矩陣的逆矩陣p89 .例19.利用初等變換解矩陣方程 p.90 例 210利用初等變換求矩陣的秩p.95例4 p.96習題4和習題7第四章 利用矩陣秩的概念和及性質(zhì)討論線性方程有解的條件， 隨后又討論了向量 組的線性相關(guān)性，最后再綜合利用前面的知識，討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)。1. 線性方程組有解的條件中掌握定理1，看書 102頁倒數(shù) 3,4段的文字，即是解齊次方程組和非齊次方程組的過程p.102例1p.103例22. 向量的線性運算較簡單p.109習題53. 掌握判定向量線性相關(guān)和無關(guān)的方法。p.116習題4，54. 會求向量組的秩和向量的最大無關(guān)組p.121

4、例 45. 求齊次線性方程的一個根底解系和通解p.128例1兩種方法掌握一種即可。6. 求非齊次方程組的通解 p.131 例 3這個較麻煩，需要記憶解題過程 第五章討論了矩陣的特征值和特征向量， 需要學習矩陣可對角化的條件， 以實對 稱矩陣可對角化為重點。1. 求向量的內(nèi)積，長度和夾角p.149習題12. 用施密特正交化方法將向量組正交化p.147例2和例33. 根據(jù)正交矩陣定義6判定正交矩陣p.149習題34. 求矩陣的特征值和特征向量p.157習題25. 利用特征值和特征向量的定義解題 p.151 例16. 利用矩陣相似和矩陣可對角化解題p.160例1和p.161例27掌握實對稱矩陣對角化

5、的方法p.167習題1和習題2第六章討論了二次型化為標準型的三種方法及正定二次型的判定，和用正交變換 化二次型為標準型。1會實對稱矩陣和實對稱矩陣對應(yīng)的二次型的相互轉(zhuǎn)化p.174習題1和p.175習題32. 化二次型為標準型，掌握其中一種方法即可。p.181習題13. 二次型的正定型的判斷，掌握定義 1的內(nèi)容。p.184例3線性代數(shù)總結(jié)1假設(shè)|A|=0那么A不可逆，rAvn,Ax=O有非零解，0是A的特征值，A 的列行向量線性相關(guān)。2.逆矩陣的求法：A1(A；E)I初等行變換1(EA )1 d b ad be c aatbtCTdt3.矩陣方程的解法：設(shè)法化成I AX(II)XA BA 0時,

6、(I)的解法：構(gòu)造A0 初等行變換*(EX)*當B為一列時， 即為克萊姆法那么(II)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxt bt，用I的方法求出XT，再轉(zhuǎn)置得X1 “ 2是Ax 0的解12也是它的解(2)是Ax 0的解對任意k,k也是它的解 .,齊次萬程組1, 2,k是Ax 0的解對任意k個常數(shù)1, 2, k, 1 12 2 k k也是它的解4線性方程組 是Ax 的解 是其導出組x 0的解是Ax 的解5 1, 2是Ax的兩個解1 2是其導出組匕0的解6 2是Ax的解那么1也是它的解1 2是其導出維x 0勺解1, 2|, k是Ax的解那么112 2k辿是AX的解 12 k 15,矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(

7、at)t a (AB)t BfA (k kA(A B)t AtBt矩陣可逆的性質(zhì):(A1)(AB1B1A1(kA1k1A1A1A1(A1)T (At)1(A1)kAk伴隨矩陣的性質(zhì):(A)(Ak)1An2A，(ABBA，(kAkn1A，(A1)(A)1(AT)(A)T(A)k(£)AA AA AE,6.施密特正交化法：(2,3線性無關(guān))正交化(2, 1 )(11)(3,1 )(1 1)(3 ,2)1 ( 2 2) 22_2_求出A的特征值、特征向量；對n個特征向量單位化、正交化;3_3_7. 用正交變換法化二次型為標準形：構(gòu)造C (正交矩陣)，c；成為正定矩陣的必要條件：aii 0 ； a 0 .最后，需要同學們注重對根本概念的理解與把握，熟練運用根本性質(zhì)及根本運算， 線性代數(shù)中定義性質(zhì)比擬多，同學們應(yīng)整理清楚不要混淆，同時根本運算與根本 方法要過關(guān)