圖像處理去噪課程設(shè)計(jì)

1、全變分去噪算法摘要圖像去噪作為圖像的預(yù)處理階段，有著十分重要的意義。其目的就是去除圖像的干擾信息，保護(hù)圖像的局部特征，改善圖像的質(zhì)量，為圖像的后續(xù)處理（如邊緣檢測，圖像分割，特征提取等）提供可靠的保證，在圖像處理領(lǐng)域占有非常重要的位置。而基于偏微分方程的圖像去噪方法將數(shù)學(xué)與工程緊密結(jié)合，具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力和靈活性，并且以此建立的模型容易修改，近年來在去除圖像噪聲和保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)等信息等方面得到了快速發(fā)展。這種基于PDE的圖像去噪方法主要源于約束最優(yōu)化、能量最小化和變分法，其基本思想是以圖像去噪的貝葉斯理論模型為基礎(chǔ)，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為一個可以運(yùn)用偏微分方程求解的方法求解圖像中相應(yīng)的能量

2、泛函極小值的過程，該極小值形式為一個偏微分方程，對該方程求解，所得到的解就是所要求的去噪復(fù)原圖像。PDE圖像去噪模型應(yīng)用較為廣泛，該模型將圖像的梯度模作為邊緣檢測算子，通過檢測圖像的平坦區(qū)和邊緣區(qū)的梯度大小而自適應(yīng)地選取全變分模型和線性擴(kuò)散模型，將圖像邊緣檢測和圖像去噪兩個原本獨(dú)立地兩個過程有機(jī)地結(jié)合起來。本文將著重介紹基于PDE地圖像去噪方法和TV算法。非線性偏微分方程去噪算法假設(shè)原圖像為：u(x,y)可加性噪聲為：n(x,y)（Enx=0,En2x=2）則噪聲圖像可表示為：u0x,y=ux,y+n(x,y)我們希望通過噪聲圖像得到一個原圖像地估計(jì)，最小化問題為：minimize (uxx+

3、uyy)2(1)約束條件為： u= u0噪聲Enx=0,En2x=2導(dǎo)致的約束：1 (u-u0)2=2(2)此處為圖像區(qū)域的面積(1)式和(2)式就定義了約束最優(yōu)化問題。（由于TV范數(shù)的平移不變性：TVu+c=TVu，c為任意常數(shù)，那么第一個約束實(shí)際上是已經(jīng)滿足的。因此，我們只需要考慮第二個擬合約束。通過引入拉格朗日乘子，可以定義一個新的能量泛函）新的能量泛函：Jux,y= u(x,y)dxdy+2 (ux,y-u0(x,y)2dxdy(3)其中，參數(shù)對平衡去噪與平滑起重要作用。因此，它依賴于噪聲水平。這樣就建立了圖像去噪的TV模型。這是一個泛函求極值問題，即變分問題。偏微分方程（PDE）的推

4、導(dǎo)：TV復(fù)原模型的歐拉-拉格朗日方程為：u-u0-uu=0（5）推到過程如下：根據(jù)（1）式可得泛函中的：F=ux,y+2ux,y-u0x,y2=ux2x,y+uy2(x,y)+2(ux,y-u0(x,y)2,(6)此類泛函求極值的必要條件，即歐拉-拉格朗日方程為：FH-Fpx-Fqy=0其中FH=2(u-u0),Fq=uxu,Fq=Fp=uyu代入（5）式得：u-u0-uu=0（7）對于光滑函數(shù)u，方程（7）中得微分項(xiàng)表示水平線u=u(x0)得曲率，這就揭示了該模型得幾何特性。引用虛擬時間變量t，則有：ut=u-u0-uu,（8）在這里我們選取(t)：=-122ux2+uy2-(u0)xuxu

5、x2+uy2+(u0)yuyux2+uy2dxdy,(9)由于u為分母，為了避免它為零，我們引入一個大于零得小參數(shù)，保證它大于零：u=2+u2只要保持足夠小，就不會影響數(shù)字TV復(fù)原得性能。數(shù)值迭代方法如下：我們讓：xi=ih,yi=jh, i,j=0,1,2N, 并且Nh=1tn=nt, n=0,1,uijn=uxi,yi,tn,uij0=u0ih,jh+ih,jh.迭代的初始條件是選定的，的均值為零并且二范數(shù)為1.迭代公式為：uijn+1=uijn+th-x+xuijn+xuijn2+m+yuijn,-yuijn212+-y+yuijn+yuijn2+m+xuijn,-xuijn212-tn

6、(uijn-u0(ih,jh)(10)其中i,j=1,2,3N邊界條件為：u0jn=u1jn,uNjn=uN-1,jn,ui0n=uiNn=ui,N-1n在這里：xuij=(ui1,j-uij), yuij類似ma,b=(sgna+sgnb2)min(a,b)n=-h22i,j+xuijn2+yuijn2-+xuij0+xuijn+xuijn2+yuijn2-+yuij0+yuijn+xuijn2+yuijn2,圖像質(zhì)量得比較參數(shù)：SNRSNR即信噪比，在這里我們定義信噪比得計(jì)算方法如下：SNR=-20lg(u-gu)（10）其中u表示噪聲圖像，g表示復(fù)原圖像，這里采用上式對SNR進(jìn)行一個估計(jì)

7、。編程實(shí)現(xiàn)TV算法，并對復(fù)原圖像進(jìn)行性能分析在matlab上編程實(shí)現(xiàn)TV復(fù)原算法，得到以下結(jié)果（=20）：噪聲圖像信噪比：SNR=19.9344復(fù)原圖像信噪比：SNR=20.0875對比發(fā)現(xiàn)，復(fù)原噪聲信噪比增大，表明圖像復(fù)原有一定效果，減少了圖像中得噪聲分量改變噪聲得比例后（=5）：改變值為5時發(fā)現(xiàn)，復(fù)原圖像從視覺上比噪聲圖像要好，但信噪比相對卻減小了。這時因?yàn)樵趯D像進(jìn)行光滑處理操作時，糾正圖像所帶來的附加誤差反而比原本噪聲要大，導(dǎo)致信噪比變大，但圖像整體更光滑了。繼續(xù)調(diào)整噪聲比例（=30）：添加噪聲輸入比例，發(fā)現(xiàn)復(fù)原圖像得調(diào)整效果變好，相比之前，信噪比增大的更多，這表明TV算法對高比例噪聲

8、有較好的去除效果，但是當(dāng)噪聲輸入較小時，TV算法效果并不是很好。結(jié)束語本文對偏微分方程去噪算法進(jìn)行了推導(dǎo)和matlab仿真實(shí)現(xiàn)，介紹了TV算法去噪方法，比較了TV算法應(yīng)用于不同程度高斯白噪聲污染圖像時的效果。參考文獻(xiàn)：1. L. Rudin, S. Osher, and E. Fatemi, “Nonlinear total variation based noise removal algorithms,” Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 60, no. 1, pp. 259268, 1992.2. J. Portilla, V. Strela, M

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