高二平面向量典型例題(老師)

1、精選文檔【典型例題】類型一、平面對(duì)量的相關(guān)概念例1. 下列說(shuō)法中正確的是 非零向量與非零向量共線，向量與非零向量共線，則向量與向量共線； 任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)； 向量與不共線，則與所在直線的夾角為銳角； 零向量模為0，沒(méi)有方向； 始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行； 兩個(gè)向量相等，它們的長(zhǎng)度就相等； 若非零向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線。【答案】【解析】 向量共線即方向相同或相反，故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的；相等向量是共線的，故四點(diǎn)可能在同始終線上； 向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角或銳角；零向量不是沒(méi)有方向, 它的方

2、向是任意的； 向量是否共線與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān)； 兩個(gè)向量相等，它們的長(zhǎng)度相等，方向相同；共線向量即平行向量，非零向量與是共線向量，可能A、B、C、D四點(diǎn)共線，也可能AB、CD平行?！究偨Y(jié)升華】從向量的定義可以看出，向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量可將代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化。零向量是一特殊向量，它好像很不起眼，但又處處存在。因此，正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系值得我們重視。對(duì)于平行向量或共線向量，它們可以在同始終線上，也可以所在直線相互平行，方向可以相同也可以相反；相等向量則必需大小相等、方向相同。 舉一反三：【變式1】推斷下列各命題是否正確,并說(shuō)明理由: (1) 若,則；

3、(2) 單位向量都相等；(3) 兩相等向量若起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同；(4) 若，,則； (5) 若,則； (6) 由于零向量方向不確定,故它不能與任意向量平行.【答案】(1) 錯(cuò)；模相等,方向未必相同；(2) 錯(cuò)；模相等,方向未必相同；(3) 正確；因兩向量的模相等,方向相同,故當(dāng)他們的起點(diǎn)相同時(shí),則終點(diǎn)必重合；(4) 正確；由定義知是對(duì)的；(5) 錯(cuò)；向量不能比較大小；(6) 錯(cuò)；規(guī)定:零向量與任意向量平行.【變式2】在復(fù)平面中，已知點(diǎn)A（2，1），B（0，2），C（2，1），O（0，0）.給出下面的結(jié)論：直線OC與直線BA平行；.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【

4、解析】，OCAB，正確；，錯(cuò)誤；，正確；，正確. 故選C.類型二、平面對(duì)量的加減及其線性運(yùn)算例2. 如圖，已知梯形中，且，、分別是、的中點(diǎn)，設(shè)，試以、為基底表示、.【解析】連結(jié)，則； ，；又.【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)上是平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，由于，是兩個(gè)不共線的向量，那么平面內(nèi)的全部向量都可以用它們表示出來(lái).本題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形中的線段的相等、平行關(guān)系，結(jié)合平行向量、相等向量的概念，向量的線性運(yùn)算，變形求解.舉一反三：【變式1】在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若，則=_.【答案】【解析】由圖知 ， 且。+×2得：，.【變式2】ABC中，點(diǎn)D在AB上，平分，若，則（ ）A. B

5、. C. D. 【答案】【變式3】如圖,為平行四邊形邊上一點(diǎn),且,設(shè)，若，求的值. 【解析】 又而， 由解得.【變式4】若是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（ ）ABCD【答案】B【變式5】已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）【答案】A【解析】由于為邊中點(diǎn)，所以由平行四邊形法則可知：，又，所以.例3.設(shè)兩個(gè)非零向量不共線，（1）若求證：，三點(diǎn)共線.（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線.【解析】（1）證明：；共線，又它們有公共點(diǎn)，三點(diǎn)共線.（2）和共線，存在實(shí)數(shù)，使，即，是不共線的兩個(gè)非零向量，.【總結(jié)升華】證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可以用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩

6、向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.向量共線的充要條件中要留意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要留意待定系數(shù)與方程思想的運(yùn)用.舉一反三：【變式1】已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)ABC，若，則（ ）A點(diǎn)P在ABC外部 B點(diǎn)P在線段AB上C點(diǎn)P在線段BC上 D點(diǎn)P在線段AC上【答案】D 【解析】，即，點(diǎn)P在線段AC上.【變式2】若、是兩個(gè)不共線的向量,，,已知A、C、D三點(diǎn)共線,求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】，,A,C,D三點(diǎn)共線,共線,令,不為零, , 【變式3】已知向量、不共線，假如，那么（ ）Ak=1且與同向 Bk=1且與反向Ck=1且與同向 Dk=1且與反向【答案】

7、D 【解析】且、不共線，存在唯一實(shí)數(shù)使=，故選D.【高清課堂：平面對(duì)量的概念與線性運(yùn)算401193例2】【變式4】已知向量，且則肯定共線的（ ）（A） 、B、D （B） A、B、C （C） B、C、D （D）A、C、D【答案】A 類型三、平面對(duì)量的基本定理、坐標(biāo)表示及綜合應(yīng)用例4設(shè)向量，若，求使成立的實(shí)數(shù)和的值.【解析】由題知：， ， ，解得， 由 得， 即.【總結(jié)升華】考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平行垂直的坐標(biāo)表示是考試命題的主要方式之一,預(yù)備把握公式,機(jī)敏運(yùn)用.舉一反三：【變式1】已知，若,是共線向量,求實(shí)數(shù)的值;【解析】由已知有: ，,解得.【變式2】設(shè)向量a=（1，2），b=（2，3）。若向量

8、與向量c=（4，7）共線，則=_.【答案】2【解析】， ，. 故填2.【變式3】如圖，在ABC中，ADAB，則_.【答案】 【解析】 建系如圖所示:令B（xB，0），C（xC，yC），D（0，1），則.【變式4】若平面對(duì)量、滿足,平行于x軸，則=_.【答案】（1，1）或（3，1）【解析】設(shè)=（x，y），則=（x+2，y1），由題意得或.=（1，1）或（3，1）.【高清課堂：平面對(duì)量的概念與線性運(yùn)算401193例3】【變式5】若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（ ）A8或2 B6或4 C4或6 D2或8【答案】A例5A，B，C是不共線三點(diǎn)，點(diǎn)O是A，B，C確定平面內(nèi)一點(diǎn)，若取最小值時(shí)，O是ABC的（ ）A重心 B垂心 C內(nèi)心 D外心【答案】A【解析】設(shè)O（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）則 則當(dāng)且時(shí)，故選A.【總結(jié)升華】關(guān)注三角形的“心”，包括三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心和旁心.舉一反三：【變式1】在中，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在的（ ）上A.角平分線 B. 中線 C.中垂線 D. 高【答案】D；【解析】，即，所以點(diǎn)在的高上.【變式2】平面ABC及一點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是ABC的（ ）A重心 B垂心 C內(nèi)心 D外心【答案】選D.【解析】由得 即，同理，故選D.【變式3】平面內(nèi)及一點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是的（ ）（A）重心 （B）垂心 （C）內(nèi)