線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

1、§ 9線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 教學(xué)要求：掌握線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義，并能夠判斷向量組的線性相關(guān)性知識(shí)要點(diǎn)：一、定義與例子：定義9.1對(duì)向量組弘弘廠宀，如果存在一組不全為零的數(shù) <,使得上14 +心兔=Q那么，稱向量組 ?-線性相關(guān).如果這樣的匸個(gè)數(shù)不存在，即上述向量等式僅當(dāng)時(shí)才能成立，就稱向量組九口廠線性無(wú)關(guān).含零向量的向量組 山】一：厶一定線性相關(guān)，因?yàn)閘O+Oflj+Oo + +0 備其中，MM不全為零.只有一個(gè)向量二組成的向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是一H,線性相關(guān)的充分必要條件是考慮齊次線性方程組如眄+涼說(shuō)2 *- 0彳角內(nèi)+呀花+曲菇耳二0柑可+ +陽(yáng)握冠二0（*）它可

2、以寫成二.，或婀+兩閔+心備二。其中由此可見，向量組-線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組 也就是說(shuō)，向量組込廠線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(*) 有非零解.(*)只有零解.例1向量組2(2是線性無(wú)關(guān)的解：設(shè)有U使x坷+ 0即<1、<2 )2+花T丿J ;得齊次線性方程組r 2、(p x23r1 1 >解此方程組得陷-"-,所以向量組r 4線性無(wú)關(guān).證明向量組例 2 設(shè)向量組 -線性無(wú)關(guān)，又設(shè)-J -_-1 ,也線性無(wú)關(guān).證明：設(shè)有使（石+右）坷+陽(yáng)+ 馳+偽+6肉=0因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，故有& +有=0飛+& 二 0Ag+Aj = 0此線性方

3、程組只有零解I】1,也即向量組線性無(wú)關(guān).定理9.1向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余I個(gè)向量線性表示.證明：必要性 設(shè) 二 線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)- '<,使得.不妨設(shè)t 11 ,則有均=（令碣+ （-勒總即T可以由其余二個(gè)向量線性表示.其實(shí)，在向量等式：+-，：- 中，任何一個(gè)系數(shù)小的向量二都可以由其余< 1個(gè)向量線性表示充分性 設(shè)向量組：；：！中有一個(gè)向量能由其余 ；：1個(gè)向量線性表示.不妨設(shè)則因?yàn)橐?#39;七不全為零，所以線性相關(guān).二、向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)判別定理：設(shè)矩陣的列向量組為,矩陣J的列向量組為丄其中矩陣J是通過(guò)對(duì)矩陣

4、做行初等變換后得到 的.我們有以下定理： 定理9.2向量組與向量組J有相同的線性相關(guān)性證明：記 .那么,當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)向量組線性相關(guān).當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)向量組 線性相關(guān).由于齊次線性方程組或者只是對(duì)調(diào)了的第個(gè)方程與第個(gè)方程的位置，或者只是用非零數(shù) 】承的第：個(gè)方程,或者只是把的第.個(gè)方程的丨倍加到第個(gè)方程上去,這連個(gè)方程組一定是同解的，所以,對(duì)應(yīng)的向量組L，有相同的線性相關(guān)性.定理9.3如果向量組 &線性相關(guān)，那么'；L,''八!也線性相關(guān).證明：向量組 二倉(cāng)也線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)' -使石珂+右碼+4聳-o于是石

5、兔+易閔+&$+0%口+0亀二0但是，二- 仍不全為零，因此，向量組f r線性相關(guān).推論9.4線性無(wú)關(guān)向量組的任意一個(gè)非空部分組仍是線性無(wú)關(guān)向量組定理9.5設(shè)有 ' 維向量組蟲：曲二一知J二12申如果向量組 線性無(wú)關(guān)，那么，向量組J也線性無(wú)關(guān).推論9.6 "維向量組的每一個(gè)向量添加個(gè)分量成為1維向量.如果，維向量組線性無(wú)關(guān),那么，：維向量組也線性無(wú)關(guān).反言之,如果：維向量組線性相關(guān)，那么，“維向量組也線 性相關(guān).定義9.2在門窘型的矩陣中,任取 行 - 列丄',位于這些行列交叉處的 廠個(gè)元素，不改變它們?cè)?中所處的位置次序而得的:階矩陣行列式，稱為矩陣的階子式

6、.切H小機(jī)X”型矩陣 丄的上階子式共有 "丿W 個(gè).定理9.7 設(shè) '維向量組亠二構(gòu)成矩陣廣的I巧JS】an2 "'知丿則向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣中存在一個(gè)不等于零的階子式.推論9.8】個(gè)】維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它們所構(gòu)成的】階矩陣的行列式不等于零.推論9.9當(dāng)心時(shí),匸個(gè)】維向量K :!必線性相關(guān).思考題：1、舉例說(shuō)明下列各命題是錯(cuò)誤的(1) 若向量組 "線性無(wú)關(guān)，則 可由已 線性表示；若有不全為零的數(shù)-'一；使入坷兒務(wù)+石A+幾久=5則 ; ?線性相關(guān)， -! T也線性相關(guān); 若只有當(dāng)一，全為零時(shí)，等式粗+3十漏+才能

7、成立；匸 ?線性無(wú)關(guān)，- -J"-匕也線性無(wú)關(guān)； 若f 線性相關(guān)，-V - 也線性相關(guān)，貝y有不全為零的數(shù) ;： 一:，使風(fēng)+覦+入亀二切+易瓦+幾厲=0同時(shí)成立.2、判斷下列向量組是否線性相關(guān)(1)1025<-1>20“ 7、2-15心二-13A = 6<2；<20；-2-3JTr34-19161rb設(shè)向量組：線性無(wú)關(guān)，討論向量組二+4二+如二亠®的線性相關(guān)性4、 設(shè)向量組-七：線性無(wú)關(guān)，：丄線性相關(guān)，貝上 必可由向量組 Jj：*.線 性表示.5、選擇題(1) '維向量組 二二心|線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A. 存在一組不全為零的數(shù)上，使1一分 小;B. 二士！中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)；C. 亠二':址中存在一個(gè)向量，它不能由其他向量線性表示；D. ':宀中任意一個(gè)向量都不能被其他向量線性表示(2) 已知向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組A. =7二1 +止良+匕,m _ v也線性無(wú)關(guān)；B. '兒'! '： 7 也線性無(wú)關(guān);C. :巴+二廠坷二-二也線性無(wú)關(guān);D. 壽+二°廠坷7也線性無(wú)關(guān)