第七章 矩陣函數(shù)

1、 第七章 矩陣函數(shù)在定義了矩陣范數(shù)之后，便可以度量線性空間中矩陣的大小和矩陣間的接近程度，進而引入極限的概念，并基于此建立矩陣分析理論。本章將介紹矩陣序列和矩陣級數(shù)的定義和收斂性判斷，并給出矩陣函數(shù)的定義和計算方法。7.1 矩陣序列與極限本章中數(shù)域均指(或)，所討論矩陣均為方陣，非方陣的情況按照相應(yīng)的范數(shù)也可類似定義。我們把階矩陣序列，簡記為，其中，顯然，一個階矩陣序列中各矩陣的所有對應(yīng)位置構(gòu)成個數(shù)列，其中。定義1 設(shè)矩陣序列 ()，其中，若個數(shù)列都收斂，即存在數(shù)，使得則稱矩陣序列是收斂的，并把矩陣稱為的極限，或稱矩陣序列收斂于，簡記為 或若這個數(shù)列中至少有一個不收斂，則稱矩陣序列是發(fā)散的。例

2、1 討論階矩陣序列和的斂散性，其中，。解 因為，故有，即矩陣序列是收斂的。又因為數(shù)列的極限不存在，故矩陣序列是發(fā)散的。若把向量看做是特殊的矩陣序列，則向量序列收斂的定義類似可得。由定義1可知，一個矩陣序列的收斂等價于個數(shù)列的收斂，但用初等分析的方法來研究未免有些繁瑣，因此可以借助矩陣范數(shù)將矩陣序列的斂散性與一個數(shù)列的斂散問題等價。定理1 階矩陣序列收斂于矩陣的充要條件是，其中范數(shù)為任一種矩陣范數(shù)。證明 由矩陣范數(shù)的等價性可知，必存在實數(shù)，使得對于任意的矩陣都有故有即可通過矩陣的范數(shù)來進行定理證明。必要性。 設(shè)，由定義1可知，對于每一個都有，即于是即故有對于矩陣的任意范數(shù)都有充分性。 因為，則有

3、。因此，對于每一個都有此即于是根據(jù)矩陣范數(shù)的等價性可知，定理1對于任何一種矩陣范數(shù)都成立。定理2若矩陣序列收斂，則其極限是唯一的。證明 假設(shè)矩陣序列收斂極限不唯一。不妨設(shè)階矩陣序列收斂于矩陣，同時收斂于矩陣，且。則至少存在一組，使得，其中。即對于數(shù)列來說有且這與收斂數(shù)列極限的唯一性相悖，故假設(shè)不成立，得證矩陣序列收斂極限唯一。由于矩陣序列收斂的充分必要條件是各元素組成的數(shù)列收斂，而數(shù)列的極限是唯一的，因此矩陣序列的極限也是唯一的。定理3若矩陣序列收斂，則此矩陣序列有界。即存在正數(shù)，使得對一切都有。證明 設(shè)序列收斂于，即，亦即對，存在，使得時，有從而其中，。取，即有利用數(shù)列收斂的概念和定理1，容

4、易得到矩陣序列如下的性質(zhì)。(1) 設(shè)，其中，則(2)設(shè)，其中，則(3) 設(shè)，且，則(4) 設(shè)，且均可逆，則矩陣序列也收斂，且證明 (1) 因為故 (2) 由于又由已知條件可知，再由有界，故知即(3) 由(2)，令，則，故有。再將看成，看成，則有。(4) 因為此時，()，設(shè)為的伴隨矩陣，則有故注：性質(zhì)(4)中的的可逆性是不可少的，因為的可逆不能保證一定可逆。例2 討論矩陣序列的收斂性及其極限的可逆性。解答 顯然每個都是可逆的，且。而的極限為它是不可逆的。定理4 設(shè)且，則矩陣序列收斂。證明 先證對角線上元素序列收斂。由已知條件有，對任意的，有取，即第個位置為1，其余位置均為，代入上式得(設(shè))，故的

5、極限存在。 再證一般的元素序列收斂()。將上面的換成，得故收斂。再由和都收斂知收斂，因此存在?，F(xiàn)在考慮由矩陣的冪所構(gòu)成的矩陣序列的收斂性。定理5 設(shè)矩陣，則的充要條件是。證明 設(shè)的標準形為且存在可逆變換，使得。其中特征值所對應(yīng)的塊具有如下形式且表示矩陣的互異特征值的個數(shù)，表示特征值所對應(yīng)的代數(shù)重復(fù)度，且有，表示特征值所對應(yīng)的子塊的個數(shù)，表示特征值所對應(yīng)的第個子塊的維數(shù)。于是顯然，的充要條件是。又因為我們把子塊分解成兩項 （7-1）其中，這個矩陣有一個很好的性質(zhì)，即的冪次每增加1次，主對角線上方這排1就向右上方平移一次，特別有于是由二項式定理有 （7-2）其中 于是的充要條件是，而的充要條件是。

6、因此的充要條件是。推論 設(shè)矩陣，若存在矩陣范數(shù)，使得，則。例3 判別矩陣序列的斂散性。(1) ， (2) ，(3) 解 (1) 因為矩陣的特征值為，故有，因此由定理5有序列收斂，且。(2) 有時也不必求出矩陣的所有特征值才能確定與1的大小關(guān)系。由于，由定理5的推論知序列收斂，且。(3) 簡單求解得矩陣的特征值分別為，因此有。所以序列發(fā)散。由定理5的證明過程，不難得出當(dāng)時，矩陣序列發(fā)散。因為，則至少存在一個，則由的具體形式可知其對角線元素構(gòu)成的數(shù)列發(fā)散，故矩陣序列發(fā)散，從而發(fā)散。例4 設(shè)矩陣，試判斷序列的斂散性。解 簡單求解得矩陣的特征值分別為，則有矩陣的譜半徑，此時利用定理5及其推論無法判斷序

7、列的斂散性，但可按照定理5的證明思路來分析。首先求得矩陣的標準形為即存在可逆陣，使得，從而有因此有所以發(fā)散。例5 設(shè)矩陣，則討論取何值時序列收斂于。解 求得矩陣的特征值分別為，故有的譜半徑。由本節(jié)定理5有，當(dāng)時，矩陣序列收斂于。7.2 矩陣冪級數(shù)本節(jié)我們將給出矩陣級數(shù)的定義，并利用矩陣序列極限的概念討論級數(shù)收斂及其相應(yīng)的性質(zhì)。這些內(nèi)容會給矩陣函數(shù)的研究，微分方程的求解等問題帶來方便。7.2.1 矩陣級數(shù)的概念和性質(zhì)定義1 設(shè)(或)是一個矩陣序列，則稱其無窮和為矩陣級數(shù)，常簡記為。對于任意正整數(shù)，定義矩陣級數(shù)的前項部分和為若由構(gòu)成的矩陣序列收斂，且有，則稱矩陣級數(shù)收斂，且有。若矩陣序列發(fā)散，稱矩

8、陣級數(shù)發(fā)散。定義2 設(shè)為(或)中的矩陣級數(shù)，若對某矩陣范數(shù)，正項數(shù)項級數(shù)收斂，則稱矩陣級數(shù)絕對收斂。根據(jù)矩陣范數(shù)的等價性可知，這里的矩陣范數(shù)是任意的。定理1 矩陣級數(shù)，()收斂的充分必要條件是對任意的，數(shù)項級數(shù)收斂，其中。證明 必要性。 設(shè)收斂，即其部分和序列收斂。根據(jù)矩陣序列收斂的充要條件可知，各分量序列收斂，即級數(shù)收斂。充分性。 設(shè)對任意的，級數(shù)收斂，即數(shù)列收斂，其中。由矩陣序列收斂的充要條件可知部分和序列收斂，即收斂。注：定理給出了矩陣級數(shù)收斂的另一種定義。即設(shè)是(或)空間中的矩陣級數(shù)，則若個數(shù)項級數(shù)都收斂，則稱矩陣級數(shù)收斂。定理2 矩陣級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是對任意的，正項數(shù)項級數(shù)

9、收斂，其中。證明 必要性。 設(shè)絕對收斂，即收斂，由矩陣范數(shù)的等價性知收斂，而由正項級數(shù)的比較判別法得收斂。充分性。 設(shè)對任意的，收斂，則對任意的，存在，使得當(dāng)時，有故因此收斂，所以絕對收斂。推論 若矩陣級數(shù)絕對收斂，則收斂。例1 設(shè)，判斷矩陣級數(shù)的斂散性。解 因為數(shù)項級數(shù)，故有矩陣級數(shù)為收斂的，且有。例2 設(shè)，判斷矩陣級數(shù)的斂散性。解 因為每個位置所確定的矩陣級數(shù)都絕對收斂，且有， ，則有矩陣級數(shù)絕對收斂，且。矩陣級數(shù)也有和矩陣序列極限類似的運算性質(zhì)，性質(zhì)如下。(1) 收斂矩陣級數(shù)的和唯一。(2) 若，其中()，則。(3) 若非奇異，收斂(或絕對收斂)，則也收斂(或絕對收斂)，且 。這幾個性質(zhì)

10、的證明，請讀者參考矩陣序列極限性質(zhì)的證明，自行完成。定理3 設(shè)矩陣級數(shù)絕對收斂于，矩陣級數(shù)絕對收斂于，其中()，則這兩個矩陣級數(shù)的積也絕對收斂，且其和為。證明 由絕對收斂的定義知級數(shù)和收斂，故級數(shù)收斂，又由于由比較判別法知絕對收斂。記，則于是由和知。7.2.2 矩陣冪級數(shù)下面對矩陣冪級數(shù)作深入討論，它是研究矩陣函數(shù)的重要工具。定義3 設(shè)，稱形如的矩陣級數(shù)為方陣的冪級數(shù)。根據(jù)矩陣范數(shù)絕對收斂的定義，我們有定理4 設(shè)變量的冪級數(shù)的收斂半徑為，為階方陣，則若的譜半徑，則矩陣冪級數(shù)絕對收斂；若的譜半徑，則冪級數(shù)發(fā)散。證明 設(shè)是方陣的標準形，則存在可逆矩陣，使得其中，其中，表示矩陣的標準型中子塊的個數(shù)，

11、表示的標準型中第個子塊的維數(shù)。于是且由（7-1）至（7-2）的推導(dǎo)有所以且其中，則當(dāng)時，冪級數(shù)都絕對收斂，故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散。推論1 若矩陣的某一范數(shù)在數(shù)項冪級數(shù)的收斂域內(nèi)，則矩陣冪級數(shù)絕對收斂。例3 證明對任意(或)，矩陣冪級數(shù)都絕對收斂，從而收斂。證明 由于的數(shù)項級數(shù)的收斂域為整個空間，即其收斂半徑為，因此對任意的方陣必有成立，由定理4可知矩陣冪級數(shù)必然絕對收斂，從而收斂。若一個矩陣級數(shù)收斂，且收斂到矩陣，則稱為矩陣級數(shù)的和。以后記例3中矩陣級數(shù)的和為，即同理可證對任意的方陣，矩陣冪級數(shù)和都絕對收斂，從而收斂。分別記兩矩陣級數(shù)的和為和。 通常稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，和

12、為矩陣三角函數(shù)。定理5 設(shè)，則矩陣冪級數(shù)絕對收斂的充要條件是，且其和為。證明 必要性。 由于所給矩陣冪級數(shù)絕對收斂，則收斂，故。由本章7.1節(jié)定理5可知，。充分性。 因為冪級數(shù)的收斂半徑，則由本節(jié)定理4知，當(dāng)時，矩陣冪級數(shù)收斂。 因為，所以非奇異，并且。令，()則從而即，()因此，原級數(shù)的和為。例4 求矩陣冪級數(shù)的和。解答 設(shè)由于，故。由定理5知，所求冪級數(shù)收斂，且其和為。因此，。7.3 矩陣多項式矩陣多項式與矩陣函數(shù)均為矩陣理論中非常重要的概念，本節(jié)將給出矩陣多項式的相關(guān)概念和性質(zhì)。矩陣的最小多項式在矩陣相似、若當(dāng)標準型、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的應(yīng)用，本節(jié)將給出矩陣多項式和最小多項式

13、的概念和一些性質(zhì)，并給出Cayley-Hamilton定理。以下討論的矩陣都是復(fù)數(shù)域上的n階方陣。7.3.1 矩陣的化零多項式定義1 設(shè)是關(guān)于變量的次多項式，其中系數(shù)，則對任意方陣，稱是關(guān)于方陣的矩陣多項式；且多項式的次數(shù)也稱為矩陣多項式的次數(shù)，記為。顯然的值也為復(fù)數(shù)域上的n階方陣。下面給出矩陣多項式的幾個性質(zhì)。性質(zhì)1 設(shè)分別為上關(guān)于變量的多項式，則對任意的方陣有：（1），其中，；（2），其中，。性質(zhì)2 設(shè)為上關(guān)于變量的多項式，則對任意給定的可逆陣，有：。性質(zhì)3 設(shè)為上關(guān)于變量的多項式，若方陣為分塊對角陣，即有其中，分為較更低階方陣，則有性質(zhì)4 設(shè)為上關(guān)于變量的多項式，若為方陣關(guān)于特征值的特征

14、向量，即，則也為的關(guān)于的特征向量。即。定義2 設(shè)，如果多項式滿足，則稱是矩陣的化零多項式。容易看出，如果，則對任意的多項式，令，都滿足，可見化零多項式不唯一。定理1 任何方陣都存在化零多項式。證明 設(shè)，由于的維數(shù)為，所以這個向量必線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)：，使得：作多項式，且不恒為零，則有，即中任意的，都存在化零多項式。定理2 （Cayley-Hamilton定理） 設(shè)矩陣，且為的特征多項式，即有則。證明略顯然，若，是的次數(shù)大于或等次的多項式，則由多項式的帶余除法可知可以表示為方陣的特征多項式和某多項式的乘積，再加上一個次數(shù)小于的余式的形式：由Cayley-Hamilton定理有即利用

15、矩陣的化零多項式可以將階方陣的多項式的次數(shù)降為不超過階的多項式，簡化了矩陣多項式的計算。例1 設(shè)矩陣，試計算如下矩陣多項式的值，其中。解 矩陣的特征多項式，則由Cayley-Hamilton定理，即：。因多項式所以，。例2 已知，試利用Cayley-Hamilton定理求。解 矩陣的特征多項式為，由Cayley-Hamilton定理有多項式，所以，即。7.3.2 矩陣的最小多項式定義3 設(shè)方陣，則在的所有化零多項式中，次數(shù)最低的首一多項式稱為的最小多項式，記為。定理3 設(shè)方陣，則的任一化零多項式都能被其最小多項式整除。證明 由多項式的帶余除法有其中，或。故有所以，即也是的化零多項式。又因為是的

16、最小多項式，可知是的所有化零多項式中次數(shù)最低的，故有，即。定理4 方陣的最小多項式是唯一的。證明 設(shè)都是的最小多項式，可知都是的零多項式，則由定理3可知且所以有。又由于都是首一多項式，所以，即。定理5設(shè)矩陣為分塊矩陣，且有則的最小多項式等于（）的最小多項式的最小公倍式。證明 設(shè)的最小多項式為（），的最小多項式為，的最小公倍式是，由整除知。因此即整除。又因為 則對于每一個有，即整除。而是的最小公倍式，故整除，綜上有。定理6 階塊的最小多項式是。證明 顯然的特征多項式為，由Cayley-Hamilton定理知為的化零多項式，且首系數(shù)為1。則由定理3可知最小多項式是必是的一個因子，注意到，而所以的最

17、小多項式為。定理7 設(shè)，則的最小多項式是的最后一個不變因子。證明 因為與矩陣相似，所以，存在存在可逆矩陣，使得： 其中， 。由定理5知，的最小多項式為的最小多項式的公倍式，且由定理6知的最小多項式為，。即：顯然，的最小多項式就是的最小多項式，即。由于一個初等因子決定一個塊，而初等因子是不變因子分解在互不相同的一次因式的方冪。矩陣的個各階不變因子滿足，因此有，又由最小公倍式定義得，且與都是首一的。所以可推得。推論1 設(shè)矩陣有個不同特征值分別為，相應(yīng)的幾何重復(fù)度分別為，所對應(yīng)的各初等因子的冪次分別為，若記，則的最小多項式為：。推論2 相似矩陣具有相同的最小多項式。證明 設(shè)，且與相似，分別是與的最小

18、多項式。由與相似，即存在可逆矩陣使得，則有與具有相同的Jordan標準型。綜合定理7可知與具有相同的最小多項式。 需要指出的是，雖然相似矩陣有相同的最小多項式，但最小多項式相同的矩陣不一定相似。 例如 與的最小多項式都等于，但是它們的特征多項式不同，因此與不是相似的。推論3 矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項式?jīng)]有重根。例3 設(shè)矩陣，其中，求的最小多項式。解 顯然，矩陣的Jordan標準型，因此有有兩個初等因子，分別為和，由本節(jié)定理7的推論1有的最小多項式為。例4 設(shè)矩陣，求矩陣的最小多項式。解 首先求出矩陣的Smith標準形：所以，由定理7知的最小多項式為；例5 設(shè)矩陣，試求的最小

19、多項式。解 顯然矩陣的最小多項式是其零多項式的因式，故可利用矩陣的特征多項式來求解。經(jīng)過簡單運算可得矩陣的特征多項式為因此，的最小多項式有如下六種可能，將帶入上述六式得，所以的最小多項式為。例6 設(shè)階方陣的一個化零多項式為，即有試證明方陣可對角化。證明 顯然多項式有如下因式分解形式則可知的最小多項式為的因式，因為沒有重根，故也沒有重根，由本節(jié)定理7的推論3可知矩陣可對角化。7-4 矩陣函數(shù) 矩陣函數(shù)的概念與通常的函數(shù)概念相類似，是以階方陣為自變量和因變量的一種函數(shù)，是的一種映射。本節(jié)將利用矩陣冪級數(shù)給出矩陣函數(shù)的定義，并給出矩陣函數(shù)的Jordan表示和多項式表示。7.4.1 矩陣函數(shù)的冪級數(shù)定

20、義定義1 設(shè)復(fù)數(shù)域上數(shù)項冪級數(shù)的收斂半徑為，且在收斂域內(nèi)該冪級數(shù)收斂于函數(shù)，即有如果矩陣，且滿足的譜半徑，則顯然矩陣冪級數(shù)收斂，且稱此冪級數(shù)的和為矩陣函數(shù)，記為，即 根據(jù)定義，可以得到在形式上和微積分中的一些函數(shù)類似的矩陣函數(shù)，例如，一些常見的函數(shù)的冪級數(shù)展開式為 相應(yīng)的就有矩陣函數(shù) 通常，我們分別稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，矩陣正弦函數(shù)和矩陣余弦函數(shù)。定理1 設(shè)，為矩陣函數(shù)，則有（1）和可交換，即（2） 函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（或差），即（3） 函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的積，即（4） 若，則。 證明略定理2 矩陣指數(shù)函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：(1) 若，則;(2) ；(3) 證明 （

21、1）因為矩陣加法滿足交換律，所以只需證明即可。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的表達式可得，(2) 在（1）中令,則得,所以，(3) 設(shè)的特征值為，則的特征值為，因此定理3 矩陣三角函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：(1) (2) ，(3) (4) 若，則證明 (1) 因為，將分為偶數(shù)和奇數(shù)，則有 (2) 同(1)證可得， 兩式相加得兩式相減得，(3) 因為，所以，又因為，所以，(4) 若，得 同理可證 7.4.2矩陣函數(shù)的計算在介紹矩陣函數(shù)的計算方法之前，我們先來學(xué)習(xí)一個概念。定義2 設(shè)方陣的最小多項式為其中，為A的r個互不相同的特征值。如果對于任意的特征值，函數(shù)及其導(dǎo)在處都存在，即這m個值都存在，則稱函數(shù)在矩陣的譜上

22、有定義，并稱這些值為在方陣上的譜值。例1 設(shè)，驗證在下列矩陣的譜上是否有定義（1） , （2）,解答 （1）先求出矩陣的最小多項式，,在的譜上有定義,（2）求出矩陣的最小多項式，但不存在，所以，在矩陣的譜上無定義。下面將在矩陣的譜上有定義的概念用于矩陣函數(shù)的計算中。方法1：Jordan標準形法定理4 設(shè)，為矩陣的Jordan標準形，為其相似變換矩陣，且滿足，如果在的譜上有定義，則其中，稱此表達式為矩陣函數(shù)的Jordan表示。證明 設(shè)是方陣的標準形，則存在可逆矩陣，使得其中于是且其中，若冪級數(shù)形式為，則有 （7-3）其中 （7-4）設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則當(dāng)時，級數(shù)收斂到函數(shù)，因此當(dāng)方陣譜半徑時

23、有矩陣冪級數(shù)收斂到，同理矩陣冪級數(shù)收斂到矩陣函數(shù)，其中。因此由式（7-3）有 （7-5）另外，在式（7-4）中若的特征值，則冪級數(shù)是絕對收斂的，且其和為。同理，時，級數(shù)，都絕對收斂，且有其和分別為，其中，。故有 例2 設(shè)，求的Jordan表示，并計算矩陣函數(shù)。解答 首先求出的Smith標準型為故有的Jordan標準形矩陣為設(shè)矩陣，使得，即，建立方程組顯然前兩個方程同解，求解方程得基礎(chǔ)解系為取，其中的選取要保證第三個方程有解，即方程系數(shù)矩陣的值和增廣矩陣的秩要相等，有即矩陣這里選取，并求得第三個方程的一個特解為。故有矩陣，從而的Jordan表示為當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，。用Jordan標準形法求矩陣函數(shù)的步驟如下：1求矩陣的Jordan標準形，并求相似的變換矩陣，使得；2計算；其中3利用求出。可以看利用Jordan標準型的方法計算矩陣函數(shù)，首先要求得方陣的Jor