橢圓的簡單幾何性質練習題

1、課時作業(yè)（八）學業(yè)水平層次一、選擇題1.（2015人大附中月考）焦點在x軸上，短軸長為8,離心率,3,為匕的橢圓的標準方程是（）5B，J110064A.高+i110036C.，/12516D-l259【解析】本題考查橢圓的標準方程.由題意知2b=8,得b=4,所以b2=a2c2=16,又e=一=，解得c=3,a=5,a5又焦點在x軸上，故橢圓的標準方程為占+3=1,故選C.25162.橢圓的短軸的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形，則它的離1B.3心率為（）1A-21C-42D-T【解析】由題意知a=2c,.e=-=丁=二.a2c2【答案】A3曲線1+=1與占T+:)=1(0<k<9)

2、的關系是()2599k25kA.有相等的焦距，相同的焦點B.有相等的焦距，不同的焦點C.有不等的焦距，不同的焦點D.以上都不對【解析】“八x2y2，一,由線點+5=1的焦距為x22c=8,而曲線-r+9-ky27=1(0<k<9)表木的橢圓的焦距也是8,但由于焦點所在的坐25k標軸不同，故選B.【答案】Bx2y24.已知O是坐標原點，F(xiàn)是橢圓7+3=1的一個焦點，過F且與x軸垂直的直線與橢圓交于M,N兩點，則cos/MON的值為B.513()5A.13D.2：1313【解析】由題意，a2=4,b2=3,故c=Ja2b2=#43=1.不妨設M(1,y0),N(1,一Vo),J2V0所

3、以7+可=1,433角牛倚y0=±2'所以|MN|=3,|OM|=|ON|由余弦定理知cos/MON|OM|2+|ON|2|MN|22|OM|ON|廠2+32513二、填空題5.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點,且過C、D的橢圓的離心率為【解析】如圖，AB=2c=4,點C在橢圓上，CB+CA=2a=3+5=8,-e=2c412a-8-2x2y26.設AB是橢圓了+薩=1的不垂直于對稱軸的弦,M為AB的中點，O為坐標原點，則kABkoM=【解析】設A(x/y1),B(X2,y),則中點x1+x2M-y1+y22，陽N2f得kAB=,x2-x1.yi

4、77;yiylylkoM=.，kABkoM=22,x2+x1x2x2b2x2+a2y2=a2b2,b2x2+a2y2=a2b2,22.0°cccc-y2y2a2-得b2(x2x2)+a2(y2y2)=0,即勺號=x2x1b2【答案】2y27.(2014天津局二檢測)已知P(m,n)是橢圓x2+y=1上的一個動點，則m2+n2的取值范圍是y2人【解析】因為P(m,n)是橢圓x2+y=1上的一個動點，所以on2m2+-2_=1,即n2=22m2,所以m2+n2=2m2,又一1WmW1,所以1W2m2w2,所以1wm2+n2w2.【答案】1,2三、解答題8.(1)求與橢圓卷+?=1有相同的

5、焦點，且離心率為J的橢圓945的標準方程；(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8,兩個頂點坐標分別是(一6,0),(6,0),求焦點在x軸上的橢圓的標準方程.【解】(1)C=q9-4=yJ5,所求橢圓的焦點為(-鄧,0),西，0).設所求橢圓的方程為三十巳=1(a>b>0).ab,e=a=,c=5,.a=5,b2=a2c2=20,x2y2所求橢圓的方程為工t+zt=1.2520(2)因橢圓的焦點在x軸上，x2y2設匕的標準方程為了十1=1(a>b>0),2c=8,"=4,又a=6,.b2=a2c2=20.入，、,x2y2.二橢圓的萬程為TT+TT=1.3620x

6、2y2,-9.(2014河澤局二檢測)設橢圓+亍=1(a>b>0)與x軸交于點A,以OA為邊作等腰三角形OAP,其頂點P在橢圓上，且/OPA=120°,求橢圓的離心率.【解】不妨設A(a,0),點P在第一象限，由題意，點P的橫坐標是£，設p2,y,由點p在橢圓上，得a2b2-,23一i,y2=j2,，故tan/a2b2-a3-即P2，2b，又/OPA=120，所以/P0A=30C2b3POA=十，所以a=3b,所以a3273b2-b22陋3b=.能力提升層次1.(2015福州高二期末)設橢圓的兩個焦點分別為F/F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF

7、2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是(A.£B./2-1【解析】設橢圓方程為一+2=1(a>b>0),abb2由題得|PF2|=a=2c,a2c2即=2c,得離心率e=，21,故選B.【答案】Bx2y22.（2014清遠高二期末）“m=3”是“橢圓+=1的離心一1,率為,的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件x2y21【解析】橢圓7+m=1離心率為£，4一十4m1一1,2,得16=3，當0Vm<4時，2=2，得m=3,一Um4當m>4時，N/；mx2y2即“m=3”是“橢圓7+411的離心率為2”的充分不必要條

8、件.【答案】Ax2y2.，一3 .（2015濟南歷城局二期末）已知橢圓a2+亍=1（a>b>0）的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上，且BF±x軸，直線AB交y軸于點P.若AP=2PB,則橢圓的離心率是.【解析】由AP=2PB,得|AO|=2|FO|(O為坐標原點)，即a=2c,-1則離心率e=.1【答案】24 .(2014青海省西寧)已知點A,B分別是橢圓+1的3620左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PAXPF.(1)求點P的坐標；(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.【解】(1)由已知可得A(6,0),B(6,0),F(4,0),設點P的坐標是(x,y),則AP=(x+6,y),FP=(x4,y).x2y2-+TT=1,由已知得3620x+6x4+y2=0,3.一則2x2+9x18=0,解得x=2或x=-6.3-由于y>0,只能取x=2，于是y=35所以點P的坐標是萬，、3(2)直線AP的方程是x，3y+6=0.設點M的坐標是(m,0),_|m+6|一一則M到直線