選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程-知識點(diǎn)總結(jié)

1、Xgx(0)的作用下,點(diǎn)P(x,y)ygy(0),簡稱伸縮變換2.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)(一)坐標(biāo)系1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換對應(yīng)到點(diǎn)P(x,y),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換如下圖,在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆日針方向,這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系那么不可.但

2、極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為；以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(,).一般地,不作特殊說明時,我們認(rèn)為0,可取任意實數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時,它的極坐標(biāo)為(0,)(R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時,極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確定的3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取

3、相同的長度單位,如下圖：(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(,)(0),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo),xcos222xy互化公式y(tǒng)siny,tan(x0)x在一般,f#況下,由tan確定角時,可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓CDxr(02)圓心為r,0,半徑為r的圓2rcos(-)圓心為r,半徑為r的圓2Oi2rsin(0)圓心為r,半徑為r的圓2OJ2rsin(0)過極點(diǎn),傾斜角為的直線/T(1) (R)或(R)(2) (0)和(0)過點(diǎn)a,0,與極軸垂

4、直的直線oSQ)*cosa(一)22過點(diǎn)a,與極軸平行的直2線1守)i.士-*sina(0)注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即,2,都表,只示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程,點(diǎn)M(%,工)可以表示為5(-,-2)或(一,一2)或(,一)等多種形式,其中,只有(,)的極坐標(biāo)滿足萬程444444445.圓與直線一般極坐標(biāo)方程(1)圓的極坐標(biāo)方程假設(shè)圓的圓心為M(0,0),半徑為r,求圓的極坐標(biāo)方程.設(shè)P(,)為圓上任意一點(diǎn),由余弦定理,得PM2=OM2+OP2-2OM-OPco

5、s/POM,那么圓的極坐標(biāo)方程是：020C0S(2)直線的極坐標(biāo)方程假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,0),且極軸到此直線的角為a,求直線l的極坐標(biāo)方程.設(shè)直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(p,隊由正弦定理,得：OP_OMsinZOMP=sinZOPM整理得直線l的極坐標(biāo)方程為sin0Sin06、圓相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a0):(2) 2acos(3) 2acos2asin2asin(6)2acos()2asin2acos()6、直線相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為:cosacosa(4)sina(5)sina(6)acos()M圖5asinsincos()參數(shù)方程1

6、.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)xf(t),并yg(t)且對于t的每一個允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如xf(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t),那么xf(t)就是曲線

7、的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,yyg(t)的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程,參數(shù)方程的形式不一定唯一.應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題,關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù),如果選用的參數(shù)不同,那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同.3 .圓的參數(shù)如下圖,設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)M從初始位置M0出發(fā),按逆時針方向在圓O上作勻速圓周運(yùn)動,xrcos設(shè)M(x,y),那么(為參數(shù)).yrsin這就是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程,其中的幾何意義是OM0轉(zhuǎn)過的角度.圓心為(a,b),半徑為r的圓的普通方程是(xa)2(yb)2r2,xarcos它的參數(shù)萬程為：(為參數(shù)).ybrsin4 .橢

8、圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中央,x2y2xacos,.一焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2、1(ab0),其參數(shù)方程為(為參數(shù)),abybsin其中參數(shù)稱為離心角;22焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是與3iab0,其參數(shù)方程為abxbcosyasin為參數(shù),其中參數(shù)仍為離心角,通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0,2.0到2的范圍內(nèi),在其他任何一點(diǎn),兩個角的數(shù)值都不相等.但當(dāng)時,相應(yīng)地也有02,在其他象限內(nèi)類似.2注：橢圓的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角,要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角分開來,除了在四個頂點(diǎn)處,離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外即在5 .雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中央,焦點(diǎn)在x軸上的線的

9、標(biāo)準(zhǔn)2x2a2yb21(a0,b0),其參數(shù)方程xasecybtan為參數(shù),其中0,2)且焦點(diǎn)在y軸上的線的標(biāo)準(zhǔn)2y2a2xb21(a0,b0),其參數(shù)方程xbcot為參數(shù),其中yacsc(0,2)ea以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角.6.拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),開口向右的拋物線y22pxp0的參數(shù)方程為2pt22ptt為參數(shù).7.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)Mox0,y.,傾斜角為的直線l的普通方程是ytan(x%),而過Mox.,y.,傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為XoV.tcost為參數(shù).tsin直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)Mox.,y.,傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為xX.y

10、y.tcost為參數(shù),其中t表示直線l上以定點(diǎn)M.為起點(diǎn),任一點(diǎn)Mx,y為終點(diǎn)的有向線段tsinUJUJIUM0M的數(shù)量,當(dāng)點(diǎn)M在M.上方時,t0；當(dāng)點(diǎn)M在M.下方時,t0；當(dāng)點(diǎn)M與M.重合時,t=0.我們也可以把參數(shù)t理解為以M.為原點(diǎn),直線l向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo),其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同.其中參數(shù)t是以定點(diǎn)PX0,y0為起點(diǎn),對應(yīng)于t點(diǎn)Mx,y為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量,又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離.根據(jù)t的幾何意義,有以下結(jié)論.設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn),它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,那么|AB=|tBtA=JtBtA24tAtB.線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的

11、參數(shù)值等于LB.2三例題鑒賞例12021湖北23本小題總分值10分選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程2222在直角坐標(biāo)xOy中,圓C1:xy4,圓C2:x2y4.I在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓Ci,C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓Ci,C2的交點(diǎn)坐標(biāo)用極坐標(biāo)表示；n求出C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.CN31解本圓,的極坐標(biāo)方程為尹=2.IJfUG的極坐標(biāo)方程p4cos0.喇P.2,得a=2.吁士三.故圓G與圓Q交點(diǎn)的坐標(biāo)為2,擊,3-三,6分在工極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.D斛法一:由卜=#8s3等g與G文點(diǎn)的直用生標(biāo)分別為.V3tG-g.故圓G與G的公共弦的參載方程為W二:一、后.

12、10分或奉題方程與成；二;-gwy.O解法二將*=1代入卜=8皿得/皿.=卻從而i.y-psin&1p=xcos9于是回G與G的公共弦的參數(shù)方程為二乙1g5分例2坐標(biāo)系與參數(shù)方程直線2cos1與圓2cos相交的弦長為V3解析：化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)得直線x1,圓x12y21,由勾股定理可得相交弦長為2=3.22例3(陜西文17)直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)A,Bx3cos分別在曲線C1：(為參數(shù))和曲線C2：1上,那么|AB|的最小值為1.ysin【分析】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法,把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程.2222【解】曲線G的方程是(x3)2y1,曲線C2的方程是xy1,兩圓外離,所以|AB|的最小值為舊02111.x1tcos例4(浙江理科)直線l:,(t為參數(shù),為l的傾斜角,且0)與曲線ytsinC:x*2cos(為參數(shù))相交于a、B兩點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)ysin(1)求ABF的周長；(2)假設(shè)點(diǎn)E(1,0)恰為線段AB的三等分點(diǎn),求ABF的面積.2x2解：(1)將曲線C消去可得：y1,直線l過曲線C的左焦點(diǎn)F(1,0),2由橢圓的定義可知ABF為|AB|AF|BF|AF|BF|AF|BF|(|AF|AF|)