對(duì)數(shù)學(xué)未來的思考

1、對(duì)數(shù)學(xué)未來的思考我們依然站在不斷擴(kuò)展的地平線的門口讓我們想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 )這位在所有時(shí)代都是最卓越數(shù)學(xué)家之一的他正在提問：對(duì)于數(shù)學(xué)的未來你們看到了什么？這位古代數(shù)學(xué)家剛剛計(jì)算了球的外表積與體積 ,或者一段拋物弓形的面積 ,伸了伸懶腰 ,坐在位于西西里東海岸他家鄉(xiāng)敘古拉的沙灘上 ,凝視著天邊。他感到困惑：在數(shù)學(xué)上 ,他或者其他任何人還能再做點(diǎn)別的什么？他的最大雄心之一是要計(jì)算任意幾何體的體積和外表積；然而他還不知道該怎么下手。他使用的工具是純粹幾何的 ,基于希臘數(shù)學(xué)家們的數(shù)百年的研究并在他出身的數(shù)十年前由Euclid編寫在他的名著?原本?中的那些知識(shí)。

2、鑒于數(shù)學(xué)工具的十分缺乏 ,局限了Archimedes 的視野。他得不出分?jǐn)?shù)相加、相乘的快捷方法。為此 ,人們得花上千年時(shí)間等待十進(jìn)制由印度和阿拉伯傳到歐洲并使其開展。十進(jìn)制的引進(jìn)所帶來的符號(hào)簡(jiǎn)化在其力所能及的范圍是革命性的。 將Archimedes 留在敘拉古的沙灘上 ,讓他去思考數(shù)學(xué)的未來還有些什么吧 ,現(xiàn)在我們?nèi)ピ煸LIssac Newton 爵士1642 -1727。23 歲時(shí) ,當(dāng)時(shí)剛?cè)〉脛虼髮W(xué)學(xué)士學(xué)位 ,Newton 便被迫回家度過了18 個(gè)月光陰 ,因?yàn)槟菚r(shí)正值大瘟疫 ,使大學(xué)關(guān)了門。在這短短的時(shí)間里 ,Newton 有了許多根本的發(fā)現(xiàn) ,數(shù)學(xué)上他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理及微積分的初期形式

3、 ,在物理上那么發(fā)現(xiàn)了白光的組成及萬有引力定律 ,現(xiàn)在我們?nèi)?huì)一會(huì)年事已高的Newton 并問一問他那個(gè)同樣對(duì)Archimedes 提出的問題：什么是數(shù)學(xué)的未來？他可能會(huì)很快回應(yīng)道 ,簡(jiǎn)單的答復(fù)是 ,繼續(xù)建造微積分 ,借助于微積分 ,Newton 可以把任何幾何形狀的體積和外表積用積分來表示 ,并能計(jì)算到任意精確度 ,這 Archimedes是所不能想象的, Newton 思考著這樣的事實(shí) ,即用萬有引力定律和他自己的力學(xué)三根本定律他會(huì)說我的定律 ,他能夠以解微分方程的方法來算出運(yùn)動(dòng)物體的軌跡 ,而這些方程表現(xiàn)了力的平衡 ,那么 ,他自問道我們能用微分方程去描述其他的自然法那么 ,從而能以開展

4、解出這些方程的工具的方法來預(yù)言自然的進(jìn)程嗎？但即便是Newton的視野也不可防止地有所局限。從這時(shí)起到Gauss 1777 -1885在數(shù)論中的根本開展花去了一百年 ,而到開展微幾何的復(fù)雜性和Riemann 流形那么又多花了五十年。當(dāng)我們離現(xiàn)代越近那么未來便越容易預(yù)測(cè)了 ,David Hilbert1862 -1943是一位對(duì)數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域都有本質(zhì)性的奉獻(xiàn)的人。他在巴黎召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)1900上列出一系列著名的數(shù)學(xué)問題 ,在這整個(gè)20 世紀(jì)對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極大的影響 ,比如在數(shù)論、集合論、幾何、拓?fù)湔摷捌⒎址匠讨?。在最近的五十年?,我們親自體察了在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中的巨大進(jìn)展。在

5、我所從事的偏微分方程PED這一領(lǐng)域中 ,我們現(xiàn)在有了一個(gè)巨大的知識(shí)主體 ,使我們能夠去理解 ,預(yù)測(cè)并計(jì)算許多重要的物理和技術(shù)過程。例如 ,當(dāng)我們測(cè)量一個(gè)固體的外表溫度 ,我們就可通過解稱之為熱傳導(dǎo)方程的偏微方程去推導(dǎo)出物體內(nèi)部的溫度 ,如果從外部加熱一個(gè)冰塊 ,它開始融化 ,我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹R(shí)使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的 ,以及在融化了的體積中的水溫。梁桿方程同樣能預(yù)言當(dāng)承受壓縮力時(shí)一個(gè)彈性梁是如何變化。當(dāng)加在梁上的壓力超過一個(gè)臨界值時(shí) ,它就會(huì)突然翹曲 ,形變?yōu)樵S多狀態(tài)中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。不管我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹R(shí)有多么豐富 ,仍然有許多東西我們不知

6、道。舉例來說 ,我們不知道氣體動(dòng)力方程是否有一個(gè)數(shù)學(xué)解 ,這個(gè)方程是用來確定飛機(jī)周圍和發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的氣流的。我們沒有適宜的知識(shí)來處理預(yù)測(cè)水的運(yùn)動(dòng)方程的解 ,從而我們對(duì)海洋的渦流缺乏了解 ,這些及其他許多的根本問題仍然期待得到數(shù)學(xué)的解答 ,在未來十年中它們?nèi)允巧钊胙芯康闹黝}。數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域無疑也處在同樣的不確定狀態(tài)：雖然取得巨大進(jìn)展 ,依然有許多根本問題沒有解決。相對(duì)于早先的世紀(jì)而言我們處在一個(gè)充滿冒險(xiǎn)和刺激的地位：我們已經(jīng)開展了許多重要的研究領(lǐng)域 ,已經(jīng)有了許多強(qiáng)有力的計(jì)算和理論的工具。數(shù)學(xué)家們?cè)谖磥碓S多年里可以繼續(xù)忙于用現(xiàn)在的工具去尋找新方法 ,用來解決在數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)即科學(xué)和工程領(lǐng)域中出現(xiàn)的問題

7、。然而數(shù)學(xué)史說明 ,由現(xiàn)在去預(yù)言長(zhǎng)遠(yuǎn)未來的發(fā)現(xiàn)是多么徒勞。確實(shí)如此 ,在今天難以想象的數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域 ,會(huì)完全料想不出地冒出來。 因此我不去預(yù)測(cè)下個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)的未來而在這里舉出科技中三個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域的例子 ,在那里數(shù)學(xué)是以誠(chéng)相待非常重要的成份出現(xiàn)的。這三個(gè)領(lǐng)域是材料科學(xué) ,生命科學(xué)和數(shù)碼技術(shù)。材料科學(xué)中的數(shù)學(xué)材料科學(xué)所關(guān)心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料 ,了解并預(yù)言材料的性質(zhì)以及在一定時(shí)間段內(nèi)控制和改良這些性質(zhì)。不久以前 ,材料科學(xué)還主要是在冶金 ,制陶和塑料業(yè)中的經(jīng)驗(yàn)性研討 ,今天卻是個(gè)大大增長(zhǎng)的知識(shí)主體 ,它基于物理科學(xué) ,工程及數(shù)學(xué)。所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子結(jié)構(gòu)

8、。例如 ,聚合體是由簡(jiǎn)單分子組合成的物質(zhì) ,而這些分子是些重復(fù)的結(jié)構(gòu)單元 ,稱之為單體。單個(gè)的聚合體分子可以由數(shù)百至百萬個(gè)單體構(gòu)成并具有一個(gè)線性的 ,分枝或者網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài) ,其性質(zhì)取決于加工它的方式譬如 ,先加熱 ,逐漸冷卻 ,高壓。聚合體的交錯(cuò)纏繞的排列提出了一個(gè)困難的建模問題。但是 ,在一些領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當(dāng)可靠 ,這些模型非常復(fù)雜 ,故而迄今只取得很少幾個(gè)結(jié)果 ,它們對(duì)聚合體加工可能有用 ,聚合體的較簡(jiǎn)單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué) ,但附加了要記憶的一些條件。對(duì)材料科學(xué)家來說 ,解的穩(wěn)定性與奇點(diǎn)是重要的結(jié)果 ,但甚至對(duì)于這些較簡(jiǎn)單的模型

9、仍缺少數(shù)學(xué)。 復(fù)合材料的研究是另一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域 ,如果我們?cè)谝环N材料顆粒中攙入另一種材料 ,得到一種復(fù)合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料 ,例如汽車公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能提高汽車的制動(dòng)氣流和防撞裝置的效果。最近十年來 ,數(shù)學(xué)家們?cè)诜汉治?,PDE及數(shù)值分析中開展了新的工具 ,使他們能夠估計(jì)或計(jì)算混合物的有效性質(zhì)。但是新復(fù)合物的數(shù)目不斷增長(zhǎng) ,同時(shí)新的材料也不斷被開發(fā)出來 ,迄今所取得的數(shù)學(xué)成就只能看作一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的開始。甚至對(duì)已經(jīng)研究了好些年的標(biāo)準(zhǔn)材料仍面臨著大量的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。例如 ,當(dāng)一個(gè)均勻的彈性體在承受高壓時(shí)

10、會(huì)破裂。破裂是從何處又是怎樣開始的 ,它們是怎樣擴(kuò)展的 ,何時(shí)它們分裂成許多裂片 ,這些都是有待研究的問題。生物學(xué)中的數(shù)學(xué)在生物學(xué)和醫(yī)藥科學(xué)中也出現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要方面需要統(tǒng)計(jì), 模型識(shí)別以及大范圍優(yōu)化法 雖不太熱卻是長(zhǎng)期挑戰(zhàn)的是生物學(xué)其他領(lǐng)域中的進(jìn)展, 比方在生理學(xué)方面, 拿腎臟作個(gè)例子吧, 腎的功能是以保持危險(xiǎn)物質(zhì)( 如鹽) 濃度的理想水平來標(biāo)準(zhǔn)血液的組成。如果一個(gè)人攝入了過多的鹽 ,腎就必須排出鹽濃度高于血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個(gè)小管 ,稱作腎單位 ,負(fù)有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入腎中的職責(zé) ,他們是通過與血管接觸的一種傳輸過程來完成的 ,在這個(gè)過程

11、中滲透壓力過濾起了作用。生物學(xué)家已把這過程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了 ,但過程的精確過程卻還只是勉強(qiáng)弄明白了。腎臟的運(yùn)作過程的一個(gè)初級(jí)數(shù)學(xué)模型 ,雖然簡(jiǎn)單 ,卻已經(jīng)幫助說明了尿的形成以及腎臟做出的抉擇 ,比方是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿 ,然而我們僅僅是在了解這種機(jī)理的非常初級(jí)的階段。一個(gè)更加完全的模型可能會(huì)包含 PDE 、 隨機(jī)方程、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、濾波論及控制論 ,或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學(xué)、鈣骨力學(xué)、聽覺過程、細(xì)胞的附著與游離對(duì)生物過程是非常重要的 ,如發(fā)炎與傷口愈合以及生物流體biofluids是生理學(xué)中其他一些學(xué)科 ,在那里現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究已經(jīng)取得了一些

12、成就；更多的成就會(huì)隨后而至。數(shù)學(xué)將要取得重要進(jìn)展的其他領(lǐng)域 ,包括有一般性的生長(zhǎng)過程和特殊的胚胎學(xué)、細(xì)胞染色、免疫學(xué)、反復(fù)出現(xiàn)的傳染病 ,還有環(huán)保工程如植物中的大范圍現(xiàn)象及動(dòng)物群體性的建模。當(dāng)然我們決不能忘記還有人類的大腦 ,自然界最棒的計(jì)算機(jī) ,還有它所具有的感覺神經(jīng)元、動(dòng)作神經(jīng)元以及感情和夢(mèng)想！多媒體中的數(shù)學(xué)大約五十年前建成了第一臺(tái)計(jì)算機(jī) ,從而開始了一場(chǎng)可從外表上看1760 年到1840年發(fā)生在英國(guó)的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的計(jì)算機(jī)革命。我們現(xiàn)在親自證實(shí)了這場(chǎng)計(jì)算機(jī)革命的完全沖擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機(jī)構(gòu)及工程業(yè) ,與計(jì)算和通訊技術(shù)的進(jìn)步相配的是數(shù)字信息的萌芽狀態(tài) ,它已為多媒體鋪出了一條路 ,其

13、產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照像、繪畫、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件 ,所有這些都由一個(gè)單獨(dú)站址發(fā)送。多媒體的數(shù)學(xué)包括了一個(gè)大范圍的研究領(lǐng)域 ,它包含有計(jì)算機(jī)可視化 ,圖像處理 ,語音識(shí)別及語言理解、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和新型網(wǎng)絡(luò)。這些會(huì)有廣泛的應(yīng)用 ,應(yīng)用于制造業(yè)、商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化 ,還有娛樂業(yè) ,這只點(diǎn)出了幾個(gè)而已。多媒體中的數(shù)學(xué)工具可能包括隨機(jī)過程、Marko 場(chǎng)、統(tǒng)計(jì)模型、決策論、PDE 、數(shù)值分析、圖論、圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領(lǐng)域中的一些 ,目前似乎還處在某種程度的監(jiān)護(hù)下 ,如人造生命和虛擬世界。 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)正在成為許多工業(yè)部門的強(qiáng)大工具

14、：完全在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì) ,在鍵盤上一敲后產(chǎn)品便在遠(yuǎn)處的工廠里實(shí)現(xiàn)了。這種技術(shù)能成為數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究的工具嗎？萬維網(wǎng)WWW已經(jīng)成為多媒體最強(qiáng)勁的動(dòng)力。它未來的輝煌取決于許多新的數(shù)學(xué)思想和算法的開展 ,目前仍處在孩提時(shí)期。隨著多媒體技術(shù)的擴(kuò)展 ,對(duì)于保護(hù)私人數(shù)據(jù)的通訊文本的需要也與日俱增。開展一個(gè)更加平安的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)家們的任務(wù)了。為此 ,他們必定要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何及動(dòng)力系統(tǒng)方面的新進(jìn)展 ,當(dāng)然還有其他一些領(lǐng)域。在物質(zhì)的與生命的科學(xué)和在技術(shù)的開展中 ,數(shù)學(xué)繼續(xù)起著與日俱增的重要作用。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)

15、向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。教師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的局部 ,我常采用范讀 ,讓幼兒學(xué)習(xí)、模仿。如領(lǐng)讀 ,我讀一句 ,讓幼兒讀一句 ,邊讀邊記；第二通讀 ,我大聲讀 ,我大聲讀 ,幼兒小聲讀 ,邊學(xué)邊仿；第三賞讀 ,我借用錄好配朗讀磁帶 ,一邊放錄音 ,一邊幼兒反復(fù)傾聽 ,在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。正如Archimedes 站在敘拉古的海灘上一樣 ,這里我們正站在一個(gè)新世紀(jì)和一個(gè)新千年的門檻上。我們只能推測(cè) ,新的理論最終會(huì)解決一切向數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的問題 ,無論它是來自我們生活的世界還是來自數(shù)學(xué)本身。在過去的幾個(gè)民紀(jì)里我們獲得了驚人的大量知識(shí) ,但正如Archimedes 和Newton 一樣 ,我們依然在不斷擴(kuò)展的數(shù)學(xué)地平線的門口。“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼 ,從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂 ,“教書先生那一行當(dāng)怎么說也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書 ,最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識(shí)那般