第六章多元函數(shù)微分學(xué)

1、第六章 多元函數(shù)微分學(xué)第六章 多元函數(shù)微分學(xué)大綱要求數(shù)一1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.4. （數(shù)一）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法.5. 掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.6. 了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).7. （數(shù)一）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式.9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌

2、握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題.數(shù)二1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會求全微分，了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最

3、大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題數(shù)三1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會求全微分,會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應(yīng)用問題§1多元函數(shù)極限與連續(xù)一、基本概念1、多元函數(shù)定義 設(shè)是平面上的一個點集稱映射為定義在上的二元函數(shù)，通常記為

4、 ，（或，）其中點集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量數(shù)集稱為該函數(shù)的值域幾何意義 的圖形是一張曲面.多元函數(shù)的極限定義 設(shè)二元函數(shù)的定義域為，是的聚點如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點時，都有 成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作 ， 或 （）為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限注意 所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在但是反過來，如果當(dāng)以不同方式趨于時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)在該點的極

5、限不存在下面用例子來說明這種情形考察函數(shù)顯然，當(dāng)點沿軸趨于點時，；又當(dāng)點沿軸趨于點時，雖然點以上述兩種特殊方式(沿軸或沿軸)趨于原點時函數(shù)的極限存在并且相等,但是并不存在這是因為當(dāng)點沿著直線趨于點時,有，顯然它是隨著的值的不同而改變的例 計算下列極限（1） （2） 解 =2、多元函數(shù)的連續(xù)定義 設(shè)函數(shù)在開區(qū)域（閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是聚點，且如果,則稱函數(shù)在點連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)的每一點連續(xù)，那么就稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，或者稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)我們指出：一元函數(shù)中關(guān)于極限的運算法則，對于多元函數(shù)仍然適用，根據(jù)多元函數(shù)極限運算法則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的商在分母

6、不為零處仍連續(xù)，多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。與一元初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子表示的，由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合而得到。由以上可知，一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或者閉區(qū)域。與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在上有界，且在上一定有最大值和最小值這就是說，在上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD, 有性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值

7、和最小值之間的任何值二、典型例題例1 證明下列極限不存在（1） （2） 【證明】（1）取直線，讓點沿直線趨于點，此時有.則重極限不存在.（2）設(shè)P(x,y)沿直線趨于點（0，0） ，所以上述極限不存在。例2 求下列極限（1）.（2） （3） 【解】1. 由于，而，由夾逼原理知.2方法1 將分子有理化原式又而，于是原極限方法2 當(dāng)，時，則原式.3方法1 由于，即為有界量，而，即為無窮小量，則原式.方法2 由于（當(dāng)，時），由夾逼原理知.習(xí)題6-11、 求下列函數(shù)的定義域。（1）（2）（3）2、求下列各極限。（1）（2）（3）3、證明下列極限不存在：（1）（2）§2偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、基本概

8、念1、偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量, 如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作, , 或 幾何意義 設(shè)為曲面上的一點，過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為，則導(dǎo)數(shù)即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點處的切線對軸的斜率同樣，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率注意 對于多元函數(shù)來說，偏導(dǎo)數(shù)在某點存在，不能保證函數(shù)在該點連續(xù)這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于時，函數(shù)值趨于,但不能保證點按任何方式趨于時，函數(shù)值都趨于 例如，函數(shù)在點對的偏導(dǎo)數(shù)為同樣有但是我們在第一節(jié)中已經(jīng)知道這函

9、數(shù)在點并不連續(xù)2、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), ,那么在D內(nèi) 、都是的函數(shù)如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：= , =,= , =其中第二、三個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可得三階、四階、以及階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例1 設(shè)，求證：【證明】 因為 , ,所以 例2 證明函數(shù)，滿足方程+=0 ，其中.【證明】 =·=, =+·=+由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以=+,=+.因此定理 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等3、 全微

10、分定義 如果函數(shù)在點的全增量可表示為，其中、不依賴于、而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點可微分，而稱為函數(shù)在點的全微分，記作，即由于，而意味著函數(shù)連續(xù)，因此有下面結(jié)論。如果函數(shù)在點可微分， 則函數(shù)在點處連續(xù)定理1（必要條件） 如果函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在，且函數(shù)在點的全微分為=+定理2（充分條件） 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分例3 計算函數(shù)的全微分【解】 因為 , , ,所以 =( ) +4、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）設(shè)在點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而在相應(yīng)點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 （A）（2）設(shè)在點x 處可導(dǎo)，在相應(yīng)點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在

11、點x 處可導(dǎo)，且 （B）（3）設(shè)在點處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而在相應(yīng)點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （C）注意1、公式（A）(C)不必刻意去記，但要徹底理解.可用圖示法 設(shè)可導(dǎo),在相應(yīng)點有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則2、函數(shù)對某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu) （i）項數(shù)=中間變量的個數(shù)， (ii) 每一項函數(shù)對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù). 3、抽象半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)是重點又是難點，應(yīng)注意對求完偏導(dǎo)后仍是的函數(shù)，復(fù)合關(guān)系不變。例4 設(shè)，而，求和?！窘狻?由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t，有 5、全微分形式不變性 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果、又是、的函數(shù)、，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為由

12、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，將公式代入上式，得由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或者中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。6、多元隱函數(shù)求導(dǎo)（1） 由一個方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（i）設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)，且由方程確定隱函數(shù)，則 (ii) 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)，且由方程確定隱函數(shù)，則方法:公式: 等式兩邊求導(dǎo)： +=0, +=0.（2） 由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由四個變量兩個方程所構(gòu)成的方程組，一般是其中兩個變量確定為另兩個變量的二元函數(shù). 設(shè)由所確定方法:等式兩邊求導(dǎo) 在條件下，解關(guān)于 的線性方程組。例5 設(shè)，求,和【解】 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項，得 在的條

13、件下， ， 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)，用同樣方法在的條件下可得 二、典型例題例1、 證明在點 (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在, 但偏導(dǎo)數(shù)在點 (0,0) 不連續(xù), 而在點 (0,0) 可微 .【證明】（1）因為 所以 故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; （2）同理 （3）當(dāng)時， 當(dāng)沿射線趨于（0，0）時， 極限不存在，所以在點（0，0）不連續(xù)； 同理，在點（0，0）也不連續(xù)。 （4）由于 因此，函數(shù)在點可微。例2、設(shè)則在點（ ）（A）不連續(xù)； （B）連續(xù)但不可導(dǎo)； （C）可導(dǎo)但不可微； （D）可微.【解】 由于，則在連續(xù)，故（A）不正確.由偏導(dǎo)數(shù)定義知，但 不存在，因為與有關(guān)，故在點不可微，應(yīng)選（

14、C）.例3、二元函數(shù)在點（0，0）處可微的一個充分條件是（ ）（A）. （B），且.（C）.（D），且.【解法1】 排除法 因為連續(xù)和可導(dǎo)都不是可微的充分條件，則（A）（B）都不正確；（D）也不正確，例如對 ，且.但在點不可微，因為在點不連續(xù)，故應(yīng)選（C）。【解法2 】 直接法 由知 則 ，同理則在點處可微，故 應(yīng)選（C）。例4、設(shè),求和.【解】 由于 則 不存在；而例5、已知 【解】 由偏導(dǎo)數(shù)定義得例6、設(shè),則 【答案】 .例7、（抽象函數(shù)）設(shè)【答案】例8、設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 【答案】例 9、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 【答案】 例10、設(shè)方程確定函數(shù)，其中可微，求?！窘狻糠?/p>

15、法一：方程兩邊分別對求偏導(dǎo) ， ， 方法二：令，有 由隱函數(shù)求偏導(dǎo)的公式得 方法三：對方程兩邊求微分，有 于是 ， 所以 ，例11、設(shè)【解】所給的方程組中含有五個變量從所求的結(jié)果中明顯看出是因變量，是自變量，究竟是因變量，還是自變量呢?在這種所求偏導(dǎo)是一階，而又有一變量的屬性不太明確的情況下，用全微分形式不變性來處理比較簡便 的兩邊求全微分，得 習(xí)題6-21、函數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點處存在偏導(dǎo)數(shù)的（ ） (A)充分但非必要條件 (B)必要但非充分條件 (C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件2、設(shè)函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)和都存在，則（ ） (A)存在 (B)及都存在 (C)在點(，)處必連

16、續(xù) (D)在點(，)處必可微3、二元函數(shù)在點(0，0)處（ ） (A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在 (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在4、若，則（ ） (A) (B) (C) (D)5、下列所給條件中，使復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t成立的是（ ） (A)zf(u，v)且u(x，y)，v(x，y)都可偏導(dǎo) (B)zf(u，v)可偏導(dǎo)，u(x，y)，v(x，y)都可微 (C)zf(u，v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)，v(x，y)都可偏導(dǎo) (D)zf(u，v)可偏導(dǎo)，u(x，y)，v(x，y)都連續(xù)6、已知函數(shù)zf(x，y)在點(1，2)處可微，且f(1，2)1，設(shè)函數(shù)(x

17、)f(x，2f(x，2x)，則'(1)等于（ ） (A)25 (B)50 (C)75 (D)1007、設(shè)二元函數(shù)U(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且dUP(x，y)dxQ(x，y)dy，則等于（ ） (A)2 (B)1 (C)0 (D)18、已知函數(shù)對任何x與y成立，則等于（ ） (A)2x2y (B)2x2y (C)xy (D)xy9、設(shè)uf(r)，而，f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于 10、設(shè)函數(shù)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且方程確定隱函數(shù)zz(x，y)，則等于 11、由方程所確定的函數(shù)zz(x，y)在點(0，1，1)處的全微分dz等于 12、設(shè)，其中yy(x)是由方程確定的隱函

18、數(shù)，且y(1)1，則z"(1)等于 13、設(shè)方程F(x，y，z)0確定隱函數(shù)zz(x，y)若已知F(x，y，z)可微，且，z(1，1)1和，則14、設(shè)函數(shù)f(x，y)滿足條件，且f(x，0)1，則f(x，y)等于 15、設(shè)zz(x，y)由方程確定，f可微，則等于 16、 設(shè)zxf(xy)yg(xy)，其中f與g有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則等于 §3多元函數(shù)極值一、 基本概念1、 極值定義 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點，如果都適合不等式（或），則稱函數(shù)在點有極大值（或極小值）定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：

19、定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則在處是否取得極值的條件如下：(1) 時具有極值，且當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值；(2) 時沒有極值；(3) 時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組，求得一切實數(shù)解，即可以得到一切駐點第二步 對于每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)，B和C第三步 定出的符號，按定理2的結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值例1 求函數(shù)的極值【解】 先解方程組 求得駐點為（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(1,0) 處

20、，又，所以函數(shù)在處有極小值；在點(1,2) 處，所以(1,2)不是極值；在點(-3,0) 處，所以(-3,0)不是極值；在點(-3,2) 處，又所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值(-3,2)=312、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法上面所討論的極值問題對于函數(shù)的自變量除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，并無其它條件，這類極值稱為無條件極值但在實際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題稱為條件極值拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點，可以先構(gòu)造輔助函數(shù) 其中為某一常數(shù)求其對與的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程聯(lián)立由這方程組解出，及，則其中，就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點的坐標(biāo)注

21、意 （1）此方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形（2）如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定例2 求表面積為的長方體的最大體積【解】設(shè)長方體的三棱長為，則問題就是在條件下，求函數(shù) 的最大值構(gòu)造輔助函數(shù)求其對、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到再與條件方程聯(lián)立求解因都不等于零，所以可得，由以上兩式解得.將此代入式，便得 這是唯一可能的極值點因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積為最大，最大體積二、典型例題例1、求由方程所確定函數(shù)的極值.【解法1】由得在上式中令得，將，代入

22、原方程得和.即駐點為和等式兩端分別對求導(dǎo)得，.從而可得 .等式 兩端對求導(dǎo)得從而可得 .則（1）在點處，且，則函數(shù)在該點取極大值，極大值.(2) 在點處，且，則函數(shù)在該點取極小值，.【解法2】 將方程配方得.從而有 .由此可見，時取得極大值為，取得極小值例2、求函數(shù)在約束條件和下的最大和最小值.【解】令 由 得 故，所求最大值為最小值為例3、設(shè)某廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為(千只),其利潤函數(shù)為,如果現(xiàn)有原料15000公斤(不要求用完),生產(chǎn)兩種產(chǎn)品每千只都需要原料2000公斤,求1) 使利潤最大的和最大利潤. 2) 如果原料降至12000公斤,求這時利潤最大的產(chǎn)量和最大利潤. 【解】 1）

23、由 得即點為唯一可能取得極值的點，由該問題已知最大值存在，則最大值只能在點取到，（萬元）2）如果原料降至12000公斤，問題變?yōu)闂l件極值，令,由 得即點為在條件下唯一可能取得極值的點，由該問題已知該最大值存在，則最大值只能在點取到，習(xí)題6-31、和是函數(shù)zz(x，y)在點處取得極值的( ) (A)必要條件但非充分條件 (B)充分條件但非必要條件 (C)充要條件 (D)既非必要也非充分條件2、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（ ） (A)在處導(dǎo)數(shù)等于零 (B)在處的導(dǎo)數(shù)大于零 (C)在處的導(dǎo)數(shù)小于零 (D)在處的導(dǎo)數(shù)不存在3、設(shè)在全平面上有則能保證成立的條件是（ ） (A

24、) (B) (C) (D)4、 設(shè)，則下面結(jié)論正確的是（ ） (A)點(0，0)是f(x，y)的極大值點 (B)點(2，2)是f(x，y)的極小值點 (C)點(2，2)是f(x，y)的極大值點 (D)點(0，0)是f(x，y)的駐點，但不是極值點5、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(0，0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則（ ） (A)點(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極大值點 (B)點(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極小值點 (C)點(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點 (D)題設(shè)條件不足以判定點(0，0)是否函數(shù)f(x，y)的極值點6、函數(shù)在圓域上的最大值與最小值分別是（ ） (A)200，25 (B)180，0

25、 (C)205，15 (D)190，107、曲面到原點(0，0，0)的距離d（ ） (A)1 (B)2 (C) (D)48、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x，y單位時，總成本為，若兩種產(chǎn)品的銷售價格分別為4，8時，產(chǎn)品能全部售出，則該工廠能取得的最大利潤為（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)69、某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與原材料A，B，C的數(shù)量x，y，z(單位均為噸)滿足Q0.05xyz，已知A，B，C的價格分別是3，2，4(百元)若用5400元購買A，B，C三種原材料，則使產(chǎn)量最大的A，B，C的采購量分別為：（ ） (A)6，9，4.5(噸) (B)2，4，8(噸) (C)2，3，6(噸

26、) (D)2，2，2(噸)10、已知函數(shù)的全微分，并且. 求在橢圓域上的最大值和最小值.§4 多元函數(shù)微分的幾何應(yīng)用、方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)一）一、空間曲線在某點處的切線和法平面方程 （1）設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 曲線上一點，則曲線在該點的切線與法平面方程分別為 （2）設(shè)空間曲線的一般式方程為 則曲線在處切線和法平面方程分別為其中為雅可比行列式.例1 求曲線,在點 (1,-2,1)處的切線及法平面方程【解】 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項，得 由此得 從而 故所求切線方程為 法平面方程為 ,即 二、空間曲面在其上某點處的切平面和法線方程 （1）設(shè)曲面為顯式方程 ，則過上一點的切平面與法線方程分別為其中為對應(yīng)的平面上的一點. （2）設(shè)曲面為隱式方程 ，則過上一點的切平面和法 線方程分別為例2 求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程【解】 () =, 所以在點(1,2,3)處此球面的切平面方程為 即 法線方程為即 由此可見，法線經(jīng)過原點(即球心)三、方向?qū)?shù)的概念 設(shè)是平面上以為始點的一條射線，是與同方向的單位向量，射線的參數(shù)方程為方向?qū)?shù)定義 設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，為從點 出發(fā)的射線，為上且含于內(nèi)的任一點，以表示與兩點間的距離。若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點沿方向的