平面幾何中的向量方法

1、2.5.1 平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)利用向量方法解決平面幾何中的平行、垂直、距離、夾角等問題培養(yǎng)和發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力體會(huì)幾何論證的嚴(yán)謹(jǐn)、優(yōu)雅，以及它給人的美感和享受，鍛煉自己的抽象思維能力教學(xué)重點(diǎn)：平面幾何中的向量方法教學(xué)難點(diǎn)：平面幾何中的向量方法教學(xué)方法：討論式教具準(zhǔn)備：多媒體投影教學(xué)過程：（）新課引入：師：由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何意義，所以平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題本節(jié)課，我們就通過幾個(gè)具體實(shí)例，來說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用（）講授新

2、課：例1證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積注意到， ，我們計(jì)算和證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和師：你能用幾何方法解決這個(gè)問題嗎？生：（探索、研究得出本例的幾何證法如右圖）略師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性，他把一個(gè)思辨過

3、程變成了一個(gè)算法過程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個(gè)步驟，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可解：設(shè)a，b，則a+b與共線存在

4、實(shí)數(shù)m，使得 =m(a+b)又與共線存在實(shí)數(shù)n，使得 =n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共線，所以有，解得所以同理于是所以ARRTTC說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)發(fā)誓用向量方法證明平面幾何問題的常用方法例3已知ABC三條高線AD、BE、CF，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)分析：三角形的三條高分別與對應(yīng)邊互相垂直，我們可以借此建立平面直角坐標(biāo)系，然后運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題解：如圖，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)A垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且BE、CF交于點(diǎn)，則，解得所以，點(diǎn)H在y軸上，即點(diǎn)H在AD上，AD、BE、CF交于一點(diǎn)（）課后練習(xí)：課本練習(xí)習(xí)題2.5B組 （）課時(shí)小結(jié):幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來替代“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線的相應(yīng)結(jié)果如果把代數(shù)方法簡單地表述為形到數(shù)數(shù)的運(yùn)算數(shù)到形，則向量方法可以簡單的表述為形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形（）課后作業(yè)：課本練習(xí)習(xí)題2.5A組 預(yù)習(xí)課本，思考下列問題：怎樣把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問