平面幾何中的向量方法

1、2.5.1 平面幾何中的向量方法學習目標：會利用向量方法解決平面幾何中的平行、垂直、距離、夾角等問題培養(yǎng)和發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力體會幾何論證的嚴謹、優(yōu)雅，以及它給人的美感和享受，鍛煉自己的抽象思維能力教學重點：平面幾何中的向量方法教學難點：平面幾何中的向量方法教學方法：討論式教具準備：多媒體投影教學過程：（）新課引入：師：由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何意義，所以平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以用向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用（）講授新

2、課：例1證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積注意到， ，我們計算和證明：不妨設a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？生：（探索、研究得出本例的幾何證法如右圖）略師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過

3、程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；把運算結果“翻譯”成幾何關系例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可解：設a，b，則a+b與共線存在

4、實數(shù)m，使得 =m(a+b)又與共線存在實數(shù)n，使得 =n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共線，所以有，解得所以同理于是所以ARRTTC說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)發(fā)誓用向量方法證明平面幾何問題的常用方法例3已知ABC三條高線AD、BE、CF，求證：AD、BE、CF交于一點分析：三角形的三條高分別與對應邊互相垂直，我們可以借此建立平面直角坐標系，然后運用向量的坐標運算解決問題解：如圖，以BC所在直線為x軸，過點A垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系設A、B、C三點的坐標分別為，且BE、CF交于點，則，解得所以，點H在y軸上，即點H在AD上，AD、BE、CF交于一點（）課后練習：課本練習習題2.5B組 （）課時小結:幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運算”來替代“數(shù)和數(shù)的運算”.這就是把點、線等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、線的相應結果如果把代數(shù)方法簡單地表述為形到數(shù)數(shù)的運算數(shù)到形，則向量方法可以簡單的表述為形到向量向量的運算向量和數(shù)到形（）課后作業(yè)：課本練習習題2.5A組 預習課本，思考下列問題：怎樣把物理問題轉化為數(shù)學問