楊勁芳：猜出精彩

1、猜出精彩“商不變規(guī)律”案例片段的比較分析杭州市學軍小學 楊勁芳【主題闡述】猜想，已經(jīng)成為學生當今學習數(shù)學的一種重要方式。從心理學角度看，猜想是一項思維活動，是學生有方向的猜測與判斷，包含了理性的思考和直覺的推斷；從學生的學習過程來看，猜想是學生有效學習的良好準備，它包含了學生從事新的學習或?qū)嵺`的知識準備、積極動機和良好情感。在數(shù)學學習中，猜想作為一種手段，目的是為了驗證猜想是否正確，從而使學生積極參與學習的過程，讓學生主動地獲取知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。然而在實際教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)：有些老師將“猜想”過程淺嘗輒止、一曝十寒；有些老師請學生“猜想”，卻有名無實、匆匆過場；或是偏廢結果、虎頭蛇

2、尾信口開河的猜想、缺少思索的猜想、牽強附會的猜想等問題不自覺地困擾著“猜想”這種教學方式的實施，充其量僅能稱之為“猜”，而并非“猜想”。由此，筆者提出這樣的觀點：數(shù)學是一門理性的科學，數(shù)學學習不能一味追求熱鬧的“猜”，數(shù)學學習的過程需要讓學生靜靜思考、大膽假設、慢慢揣摩后的“猜”?！菊n堂觀察】下面筆者結合人教版四上商不變規(guī)律一課中幾個片斷為例，談談基于教師層面對小學數(shù)學猜想過程有效性的有關思考。片段一：過于開放，猜測目標混沌模糊。教學伊始，教師從復習積的變化規(guī)律入手。1.出示：根據(jù)已知算式寫出得數(shù)：1321273 （133）21 13（217）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）ab2

3、4 （a3）（b3） （a2）（b2）學生計算并口答。（略）師：誰來說說因數(shù)與積的變化規(guī)律？一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大或縮小幾倍，積也要擴大或縮小相同的倍數(shù)；兩個因數(shù)同時擴大或縮小幾倍，積要擴大或縮小兩個倍數(shù)的乘積；一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變。2.拋出問題：兩個因數(shù)的不同變化會帶來積的變化。請你們猜一猜，在除法算式里，被除數(shù)、除數(shù)的變化會引起商怎樣的變化？生1：我想這個與因數(shù)、積的變化規(guī)律差不多。除數(shù)不變，被除數(shù)擴大或縮小幾倍，商也擴大或縮小幾倍；生2：如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小幾倍，商也擴大或縮小幾倍；生3：我不同意。如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小幾倍，商應該縮

4、小或擴大幾倍；（其余學生開始紛紛議論。）老師見狀問：怎樣來說明自己的猜測是對的？生：我們可以舉例說明。生4：我覺得還可以研究被除數(shù)和除數(shù)同時增加和減少的情況。師打斷：那么請大家針對自己剛才的猜測進行舉例說明。（學生舉例說明，花了十來分鐘時間還未進入商不變的研究。）因為問題比較大，其中包含了較多的要素，學生猜測的角度不一樣而帶來混亂的局面：有學生在整段時間里忙于猜測各種假設，缺少對假設的舉例體驗。有學生陷入了“被除數(shù)變化，除數(shù)不變或除數(shù)變化，被除數(shù)不變而引起商的變化”中，對新知“商不變”沒有任何猜測探究。有學生因為缺少與舊知的對比，陷入被除數(shù)、除數(shù)的“增加”和“減少”的變化中，無從猜測。思考：數(shù)

5、學猜想實際上是一種數(shù)學想象，是人的思維在探索數(shù)學規(guī)律、本質(zhì)時的一種策略。它是建立在已有的事實經(jīng)驗基礎上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。目標明確、任務清晰、空間廣闊的探究任務是學生在探究中獲得數(shù)學猜想的基點。上面的案例中教師對于舊知乘法規(guī)律不加工細化，遷移到除法后又過于開放，導致學生從多角度猜測商的變化規(guī)律。看似全面，卻長時間進入不了主題“商不變”的研究。再加上在過于開放的問題的追問下，學生猜測目標只能停留在混沌模糊階段。片段二：急于牽引， 猜測行為一曝十寒。片段一之后的匯報交流中，總算有部分學生提出了被除數(shù)和除數(shù)均發(fā)生變化的猜想。猜想1：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大幾倍，商也會擴大幾

6、倍。猜想2：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大幾倍，商會縮小幾倍。猜想3：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大幾倍，商會擴大兩個倍數(shù)的乘積。猜想4：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大幾倍，商會縮小兩個倍數(shù)的乘積。連續(xù)四位同學都沒“猜”對，老師的眉頭緊縮了生5（怯怯舉起小手）：老師，我覺得商可能會不變。師（大喜）：你為什么覺得商會不變？生5：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大，那么商不是擴大，就是縮小，除此之外第三種情況就是不變了。師生陷入尷尬思考：類似這樣的教學場景在課堂中可能并不少見。由于受年齡特點和經(jīng)驗的約束，學生的能力未達到足夠水平，所以他們猜不出來。這時教師腦子中一味想著“猜想”這一環(huán)節(jié)，急于牽引到正確結論中去，讓學生一個接一個猜，未做任何引

7、導和提示，其結果只能將ABCD四個選項全猜一遍。這樣的猜想能提高學生的數(shù)學猜想水平嗎？這絕不是我們課堂追求的“猜想”！片段三：越俎代庖，猜測主體似懂非懂。練習階段，教師出示了一組練習：4804012 （4805）（40）12（480）（408）12 （480）（40）12利用“商不變的規(guī)律”，學生比較輕松地填好答案后，教師要求觀察最后一題，鼓勵大家用不同的方法填寫，但學生無外乎是乘或除以一個相同的數(shù)。師板書：（480）（4040）12問：除數(shù)增加40，要使商不變，請你猜一猜被除數(shù)怎么變？大部分學生異口同聲：被除數(shù)也增加40一分鐘后，學優(yōu)生小A舉起了小手：被除數(shù)增加480。師：我們一起算一算。得

8、出：被除數(shù)和除數(shù)同時加或減去相同的數(shù)，商會變。 被除數(shù)和除數(shù)同時增加相同的倍數(shù)，商不變。師：說得真棒！我們一起來用一用這個規(guī)律吧！課堂上留下的是大部分學生似懂非懂的照搬，后進學生不知所措的茫然思考：自主猜測應該著眼于讓學生思考和尋找探索主題與自己已有知識體驗之間的關聯(lián)，這樣的猜想才有比較清晰的思路，如果教師越俎代庖，直接給出假設，讓學生通過舉例計算來驗證，而不再進行進一步的領悟與反思，學生對于“被除數(shù)和除數(shù)同時增加相同的倍數(shù)，商不變”這一結論的前提條件卻不反思體驗，用少數(shù)學優(yōu)生的猜測替代全部學生的猜測，并非真正意義上的猜想。【反思研究】我們鼓勵學生去猜想，學生的猜想可能是經(jīng)過周密思考的，符合邏

9、輯性，頗像一個大數(shù)學家，但更可能是稚嫩無據(jù)的，只是頑童小技；學生的猜想狀態(tài)可能是積極主動的，但也可能是消極被動的，這都是正常的，教師要在學生的猜想中發(fā)揮“主導作用”，引導他們?nèi)ズ侠砩踔燎螽惖夭孪耄箤W生更具信心地猜想，更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維。借于上述思考，從教師層面將猜想活動做以下調(diào)整。1.明確目標，猜在舊知后。教學伊始，教師從復習積的變化規(guī)律入手。1.出示：根據(jù)已知算式寫出得數(shù)：1321273 （133）21 13（217）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）學生計算并口答。（略）師：因數(shù)發(fā)生變化，積就一定會發(fā)生變化嗎？生：不一定。第三

10、種情況，當一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)時，積不變。2.追問：如果在除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生一定的變化，有沒有可能帶來商的不變？如果保證學生思維方向、思維目標的清晰性，可以大大縮小學生的猜測范圍。片段一中老師把問題直接指向了“商不變”，目標更明確后，學生馬上排除了被除數(shù)和除數(shù)中只有一個變化的情況，學生認為：被除數(shù)不變，除數(shù)變化，商一定變；反之被除數(shù)變，除數(shù)不變，則商也會變。所以要使商不變，那么被除數(shù)和除數(shù)必須要一起變化。接下去在明確了任務和目標后，學生緊緊圍繞“被除數(shù)、除數(shù)均發(fā)生變化”的情況進行猜想，利用“積不變”這一舊知，加以對比溝通，為探究商不變規(guī)律的有效建模打下扎實的基礎

11、。這樣的猜想是有價值的。2.放慢速度，猜在思考后。前面已經(jīng)提到過了，猜想不是天馬行空地亂想。數(shù)學的猜想必須是有一定的科學依據(jù)，有一定的針對性的。否則亂想一次，就用大力氣進行驗證，再亂想一次，再驗證不斷重復，這中間會帶來多少時間和精力的浪費？合理的猜想必須是有依據(jù)的，要引導學生在猜想之前，先經(jīng)過仔細思考，合理推導，大膽又不失慎重地提出自己的合理猜想，然后再進行驗證。如上面片段二中，教師讓學生猜想“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商會怎樣”這一教學過程中，不應僅僅讓學生站起來一個回答一個，不斷重復；相反，此時教師要放慢速度，追問學生：為什么會得到這樣的猜想，有什么依據(jù)，他是怎樣思考的，然后引

12、導其他同學進行討論。在這一過程中，教師也可以不斷點撥、指導，幫助學生調(diào)整思路。那么，在這樣的過程中，一些沒有根據(jù)的“猜想”便會不攻自破，學生也會在這樣的過程中逐漸意識到猜想不是胡思亂想，一定要建立在深思熟慮的基礎上，要進行有根據(jù)的想象。下面是修改后二次教學中的一段實錄：生1：我猜想，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大幾倍，商會擴大兩個倍數(shù)的乘積。師：你能說說為什么會得到這樣的猜想？有什么依據(jù)嗎？生1：因為兩個因數(shù)擴大相同的倍數(shù)，積會擴大兩個倍數(shù)的乘積。生2（反駁）：那是在乘法中，不是在除法里。422，當被除數(shù)和除數(shù)都擴大3倍，變成1262，所以商應該是不變的。生3：我猜想商不變。我根據(jù)減法算式來推斷，如果被

13、減數(shù)和減數(shù)都增加或減少一個相同的數(shù)，差是不變的。生3：我猜想商也應該不變。如果被除數(shù)擴大幾倍，除數(shù)不變，那商是擴大的；反之被除數(shù)不變，除數(shù)擴大幾倍，商會縮小。那么被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同倍數(shù)，商先擴大再縮小，那么商就是不變的。（大部分學生表示認同）學生舉例驗證。放慢速度，給足時間，引導學生通過思考后，引發(fā)猜想，充分暴露原創(chuàng)思維，遠比簡單地總結出“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小幾倍，商不變”更有意義。3.巧設迷障，猜在結論后。老師與學生、學生與學生之間的想法、思路不可能完全一致。教師應該允許學生暫時模模糊糊，似懂非懂，甚至出錯。利用學生的錯例巧設迷障，讓學生把方法越辯越明，把思維越辯越清。如上面片段

14、三中，請學生填數(shù)：（480）（40）12生填：（4802）（402）12 （4803）（403）12 （4805）（405）12 （4809）（409）12問：我們常說“乘法是求幾個相同加數(shù)的簡便運算”。你們能把（4802）和（402）改寫成其他運算嗎？生1：（480480）（4040）12師：那么（4803）（403）12該怎樣改成（480）（40）12的形式呢？生2：4803就是480再加上2個480，403就是40再加上2個40.所以（4803）（403）12就是（480960）（4080）12師：請把（4805）（405）12和（4809）（409）12改寫成加法的形式。待學生初步感知后，再提供一組習題請學生填一填：123（12）（36） 102（1050）（2）204（2060）（4） 243（24）（39）得出商不變的規(guī)律后，一些學生會提出“被除數(shù)和除數(shù)同時加或減去相同的數(shù)，商不變”這樣的猜想。針對這樣的典型錯誤，安排上述練習，引導學生觀察被除數(shù)和除數(shù)“乘和加”的相同點與不同點，是對發(fā)現(xiàn)規(guī)律的進行一步提升，對商不變規(guī)律還似懂非懂的學生通過這一環(huán)節(jié)可以在類似題組中得到新的啟示，進一步明晰“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)”也就是“被除數(shù)和除數(shù)同時