四邊形存在性問(wèn)題2

1、四邊形存在性問(wèn)題2四邊形的存在性（習(xí)題）? 例題示范例 1：如圖 1，以一塊等腰直角三角板的兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知 OA=OB=3，過(guò)點(diǎn) A，B 的拋物線對(duì)稱軸為直線 x=1，拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn)為 D（1）求該拋物線的解析式（2）如圖 2，如果將三角板的直角頂點(diǎn) C 在 x 軸上滑動(dòng)，一直角邊所在直線過(guò)點(diǎn) B，另一條直角邊所在直線與拋物線的交點(diǎn)為 E，其橫坐標(biāo)為 4，試求點(diǎn) C 的坐標(biāo)（3）如圖 3，點(diǎn) P 為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)， M 為 x 軸上方拋物線上一點(diǎn)， N 為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) M ，使得以A，P，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)

2、 M 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由yBDCOAxE圖 2yBDAO (C)x圖 1yBDAOxyBDAOx2yBDAOx圖 3第一問(wèn)：研究背景圖形【思路分析】將已知線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，可知A， B 兩點(diǎn)坐標(biāo)；再結(jié)合拋物線對(duì)稱性，利用對(duì)稱軸直線x=1，可以求得 D 點(diǎn)坐標(biāo)由三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線解析式【過(guò)程示范】解：（1） OA=OB=3A(3，0)， B(0，3)又對(duì)稱軸為直線 x=1D(- 1，0)可設(shè)拋物線解析式為 y=a(x+1)(x- 3)將 B(0， 3)代入，可得 a=- 1y=- x2+2x+3第二問(wèn)：整合信息、分析特征、設(shè)計(jì)方案【思路分析】要求 C 點(diǎn)坐標(biāo)，已知其在 x 軸上，縱坐標(biāo)為

3、0，求出橫坐標(biāo)即可已知點(diǎn) B(0，3)，點(diǎn) E 坐標(biāo)（由橫坐標(biāo)可得），點(diǎn) C 為y直角頂點(diǎn)；考慮直角特征在坐標(biāo)系下的用法過(guò)點(diǎn)E 作 x 軸垂線，構(gòu)造三等角，利用 BCO 與 CEF 的相似關(guān)系， 建等B式求解【過(guò)程示范】DF（2）如圖，過(guò)點(diǎn) E 作 EF x 軸于點(diǎn) FCOAx3E將 x=4 代入 yx22x3 ，可得 E(4， - 5)設(shè)點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 m ，則 C(m，0) 當(dāng)點(diǎn) C 在 y 軸的左側(cè)時(shí)， m0，如圖OC=- m，CF=4- m由 BOC CFE ，可得3mm 54解得， m1219， m2 219m4 OC=m， CF=m- 4由 BOC CFE ，可得3m4 5m解

4、得， m1 219， m2 219m0 C2 (2 19，0)第三問(wèn)：正方形的存在性【思路分析】正方形存在性問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化成等腰直角三角形存在性來(lái)研究，當(dāng)?shù)妊苯侨切未_定后，將等腰直角三角形沿底邊翻折即可得到正方形以及第四個(gè)頂點(diǎn)的位置要使以 A， P，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求 M 點(diǎn)坐標(biāo)先分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，研究不變特征：定點(diǎn)： A動(dòng)點(diǎn)： P（拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)） ，M （x 軸上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)）， N 為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)注意到 A，P，M 三點(diǎn)相關(guān)的信息較多，所以先考慮 APM 是等腰直角三角形調(diào)用等腰直角三角形處理套路來(lái)確定 A， P， M 的位置，即可求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)yBDFC

5、OAxE4【過(guò)程示范】（3）存在若以 AP，AM 為正方形的兩邊， 則 PAM=90且 PA=AM ：yyBBMMGADFOxDGAOFxPP過(guò)點(diǎn) M 作 MF x 軸于點(diǎn) F ，則 MFA AGPMF =AG=2- x2+2x+3=2解得， x=12M1(1 2，2 )， M2(12，2 )若以 MP ，MA 為正方形的兩邊，則 PMA=90且 MP=MA ：過(guò)點(diǎn) M 作 MF x 軸于點(diǎn) F ， MH 垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)H ，則 MFA MHPMF =MH ，AF =HP當(dāng) M 在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)， yBHMPDAOGFx設(shè) MH =t，則 AF=2- t；M(1+t， t)5 - (1+t)2+

6、2(1+t)+3=t解得， t1=1 17， t2 = 117 （舍去）22M3(117， 117 )22當(dāng) M 在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，yPBMHDAxFO G同理可得， M4( 317 ，1 17)22若以 PM ，PA 為正方形的兩邊，則 MPA=90且 PM=PA：yBNMPDAOGx過(guò)點(diǎn) M 作 MN 垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)N，則 AGP PNM ，設(shè) PG=MN =n，則 M (n+1，n+2) - (n+1)2+2(n+1)+3= n+2解得， n=1 或 n=- 2（舍去）可得 M 5(2， 3)綜上， M 點(diǎn)坐標(biāo)可以為 M (1 2，2)，M(12 ，2)，126M3(117， 1217 )

7、，M 4( 317，117 )，M5(2，3)222? 鞏固練習(xí)1. 如圖，拋物線 y=ax2+bx- 4 與 x 軸交于 A(- 4，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C（1）拋物線的解析式為 _（2）點(diǎn) P 是拋物線上第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)四邊形 ABCP 的面積最大時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _（3）點(diǎn) M 在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N 是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形 MNBC 是菱形時(shí)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)是7yAOBxCyAOBxCyAOBxC2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò) A，B，C 三點(diǎn)，已知點(diǎn) A(- 3，0)， B(0，3)，C(1，0)（1）求此

8、拋物線的解析式（2）點(diǎn) P 是直線 AB 上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A， B 重合），過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，垂足為 F ，交直線 AB 于點(diǎn) E，作 PDAB 于點(diǎn) D8動(dòng)點(diǎn) P 在什么位置時(shí)， PDE 的周長(zhǎng)最大？求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)連接 PA，以 AP 為邊作圖示一側(cè)的正方形 APMN ，隨著點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點(diǎn) M 或 N 恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)， 求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P 的坐標(biāo)（結(jié)果保留根號(hào)）yBPMDEAFCOxNyBACOx3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2- 2x+c的圖象與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 在原點(diǎn)的左側(cè)，

9、點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (3，0)，與 y 軸交于點(diǎn) C(0，- 3)，P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式9（2）當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形 ABPC 的最大面積（3）若點(diǎn) D 是 y 軸上 C 點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E 是直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，則是否存在點(diǎn) P，使以 P， C，D，E 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yAOBxCyAOBxCyAOBxC? 思考小結(jié)1. 結(jié)合平行四邊形、菱形、正方形的存在性問(wèn)題，考慮10存在性問(wèn)題的處理框架：分析特征：既要分析題目本身的定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、定線及其他不變特征；又要考慮圖形形成

10、因素，兩者結(jié)合后考慮分類注：圖形形成因素，往往是指與該圖形相關(guān)的判定；將菱形轉(zhuǎn)化為等腰三角形通過(guò)翻折得到，實(shí)質(zhì)是利用了判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；將正方形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的存在性問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是利用了判定：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形畫圖求解：分析各種狀態(tài)的可能性，畫出符合題意的圖形通常先嘗試畫出其中一種情形，分析解決后，再類比解決其他情形結(jié)果驗(yàn)證：回歸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，畫圖或推理，驗(yàn)證結(jié)果2. 將菱形存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問(wèn)題的操作流程：將菱形轉(zhuǎn)化為等腰三角形：從菱形 4 個(gè)點(diǎn)中選擇 3 個(gè)點(diǎn)，往往選擇條件最多的 3 個(gè)點(diǎn)，然后考慮這 3 個(gè)點(diǎn)組成等腰三角形的可能性等腰三角形還原為菱形：沿當(dāng)前確定的等腰三角形的底邊翻折，先確定大致位置， 然后根據(jù)菱形是特殊的平行四邊形，利用平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等，來(lái)求解第 4 點(diǎn)坐標(biāo)11【參考答案】1.（ 1）