體能測試的數(shù)學建模

1、體能測試的數(shù)學建模1111體能測試時間安排模型摘要：體能測試作為衡量學生身體健康素質(zhì)的指標測試，建立一個合理的指標測試方案將對改進學校機器設(shè)備管理以及學校的人員安排具有重大意義，為學校節(jié)約人力資源，同時也使得學生在最優(yōu)時間內(nèi)完成體能測試項目，節(jié)省時間資源，為此，我們通過運用 LINGO和 MATLAB編寫程序進行求解，制定合理體能測試方案。4 段。在同首先，我們根據(jù)機器測試的時間和機器臺數(shù)求得所需總時間段數(shù)至少為一個班級人數(shù)不進行分組的前提下， 將 56 個班級劃分為 18 個小組（一個小組3 個班），再將人數(shù)最多的班級分為 2 個組，計算出每個小組測試完所有項目所需的時間。然后建立 EXCE

2、L-VBA規(guī)劃模型或 0-1 規(guī)劃模型，將這 20 個小組的時間段放入每天的兩個測試時間段內(nèi)，使得全部放完這 20 個小組的時段所需要的總測試時間段數(shù)最少，并求得最少測試時間段數(shù)恰好為至少 4 段。20 人，共其次，為了節(jié)省學生等待時間，我們將每個班級人數(shù)進行分組，每組為分成 102 組。由于這 20 人最多來自兩個不同的班級， 我們求得完成 20 人的時間只可能為 425 秒、 430 秒、 435 秒這三種情況。這樣將原來問題轉(zhuǎn)化為怎樣用最少時間段數(shù)放入 102 個 435 秒。通過求解分析得到的時間段數(shù)為 4 段，等待時間最長的同學僅需等待 2.6 分鐘，從而說明了分組的必要。最后，通過

3、程序分析給出了每項測試的人均時間應(yīng)該相等的結(jié)論，以及用來配置機器的臺數(shù)，并討論得出場地容量對所需時段和等待時間的影響。 關(guān)鍵詞 ： 等待時間高斯函數(shù)時間等級分組1一、問題重述每個學校都可以通過體能測試來了解各個學生的身體狀況， 以此設(shè)置相應(yīng)的體育鍛煉課程，增強學生的體質(zhì)。某校按照教學計劃安排各班學生進行體能測試， 以了解學生的身體狀況。 測試項目、測試儀器及每個學生的平均測試時間如下圖表 1。在測試時，每個學生測試每個項目前都要錄入個人學號，平均需時 5 秒。儀器在每個學生測量完畢后學號將自動后移一位， 若前后測試的學生的學號相連， 則可省去錄入時間，且同一班學生的學號是相連的。學校安排每天測

4、試的兩個時間段為8： 0012：10 與 13：30 16：45。五項測試的場所最多能容納 150 個學生，且測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見下表 2。學校要求同一班的所有學生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試， 并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學生的等待時間。用數(shù)學符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學問題的算法， 盡量用清晰、直觀的圖表形式為學校工作人員及各班學生表示出測試時間的安排計劃， 并且說明該計劃怎樣滿足學校的上述要求和條件。最后，請對學校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學

5、生是否需要分成幾個組進行測試等。表 1 測量儀器數(shù)量及所用時間測試項目測量儀器（臺）儀器的單位測試時間（秒） 每人所用時間（秒）身高與體重310( 每人 )3.333333333立定跳遠120( 每人 )20肺活量120( 每人 )20握力215( 每人 )7.5臺階試驗2210( 每 5 人)212表 2體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號3132333435363738

6、39404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、問題分析針對問題一，為使整個測試所需時間段最小和學生等待時間最短，我們通過對機器臺數(shù)、每個項目測試時間和場地容量等因素的分析計算，我們將56 個班級總?cè)藬?shù)劃分成 20 個小組，其中最后 2 個班級單獨分為兩個小組。并且，每個小組內(nèi)的班級人數(shù)盡可能的比較接近， 這樣來減少學生等待的時間。 通過程序分析計算得出每個小組測試所需要的最少時間，然后將 20 個小組的時間段進行合理組合，以便得到最少的時間段數(shù)能包含

7、這所有的 20 個時間段。針對問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，保證時間段數(shù)最少的情況下，當考慮每組內(nèi)學生之間的錄入時間時， 由于每個儀器錄入學號的平均需時為5 秒，如果前后測試的學生學號相連就可省去錄入時間，故在測試時盡量減少錄入時間就要使每組學生的學號相連，以達到錄用時間最少的效果，所以我們將同一班級人數(shù)進行合理的分組。如下圖所示：臺階測試 1210 秒五名立定跳遠肺活量握力測試儀身高與體重20秒 /人（一20秒 /人（一15秒/人10 秒/人（三臺）。臺）（二臺）臺）臺階測試 2210 秒五名3圖 1 體能測試示意圖針對問題三，綜合考慮問題一二，在問題一二的程序上，我們對數(shù)據(jù)進行合理的改動，從而

8、比較得出最佳測量儀器數(shù)量；測量場所人員容量，班級的分組情況等。三、模型假設(shè)1、在測試過程中各個測試儀器都能正常工作；2、每個學生在轉(zhuǎn)換測試項目時所用的時間不計；3、每個班級在安排測試的時間前都能保證到達測試地點；4、學生在測試完所有項目測試后能迅速離開，并不再占用場所空間；5、測試不受天氣等各種因素的影響；6、臺階試驗測試儀在測試人數(shù)不足5 人時也可進行測試；7、忽略人員進入和離開測試場地所用時間；四、符號說明1、把身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力、臺階實驗測試分別稱為 A、B、C、D、E項測試；2、 Ti 第 i 輪測試所花費的時間；3、 ni 第 i 個班級。4、 xi 第 i 個班級的

9、人數(shù)5、 t i 表示第 i 個組合所需時間。6、 s j 表示第 j 個時間段長度4五、模型建立及求解由于 56 個班級的總?cè)藬?shù)為2036，假設(shè)每臺機器不停止工作， 所有人完成 A 測試至少需要 2036 103+565=7066.67（s）。同理可得所有人完成B、C、D、F 項測試至少需要的時間分別為41000、41000、 15550、43036 秒。那么，至少需要43036 秒才能讓所有人完成全部的測試項目。由于時間段長上午為15000 秒、下午 11700 秒，因此至少需要 2 天 4 個時間段才能完成所有人的測試項目，即時間段的下屆為4 段。在不對單個班級進行分組的前提下，由于第五

10、項每次可以測5 名學生，且有兩臺機器，則對不同班級的總?cè)藬?shù)，用matlab 編程求得圖形（見附錄一）可得班級人數(shù)與測試完臺階所需人數(shù)與時間的對照：5班級人數(shù)為 x1 時測試臺階實驗所需時間計算公式為：t= x1 *210+5 10定義：在只進行第五項測試時， 把所有人數(shù)可能不同但測試完第五項所需時間相同的班級稱為一個時間等級。 例如：班級人數(shù)為 25 和 35 的兩個班級分別做完第五項測試所用時間均為 635 秒，那么按照，這兩個班級為同一時間等級。命題 1：假設(shè)同一班級的人數(shù)不在進行分組，若每次同時進入測試場地的班級數(shù)為3，且每個班級的人數(shù)不小于17 人時，那么有：同時進入場地的 3 個班級

11、全部完成 B 項、 C 項、 E 項測試所需時間與這 3 個班級完成所有五項測試所需時間相同。證明： 假設(shè)同時入場的班級分別為n1 , n2 , n3 ,其人數(shù)分別為 x1 , x2 , x3 .（ 1） 現(xiàn)讓這三個班級分別去做第B、C、E 項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各自的測試稱為第一輪；（ 2） 第一輪測試完成后，讓 n1 班去做第 C 項測試，讓 n2 班去做 E項測試，讓 n3 班去做 B 項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各自的測試稱為第二輪；（ 3） 第二輪結(jié)束后， 依次類推， 讓 n1 班去做 E 項測試，讓 n2 班去做 B 項測試，讓 n3 班去做 C項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各

12、自的測試稱為第三輪。B 項測試C 項測試E 測試第一輪n1n2n3第二輪n3n1n2第三輪n2n3n1在第一輪中， n1 班的第一個學生在做完B 項測試后，該同學完全可以利用等待該班第二位同學的 B 項測試的時間去進行A 項測試（共需要10+5 秒），而當他測試完B 時，n1 班第二位同學依然在進行B 項測試，而此時 n1 班的第一個同學再去做D項測試，由于n1 班的人數(shù)不小于17，因此 n1 班還有部分同學尚未完成第B 項測試。 n1 班的第二個同學完全按照該班第一個同學的路線進行，以此類推。那么該班級除了后兩位同學，其余均可以在 n1 班全部測完 B 項之前，也完成 A、E 項的測試。倒數(shù)

13、后兩位可以在第二輪開始，即 n1 進行 C 項測試時，離開 n1 班隊列去做完 A、 D項測試，然后回到對列繼續(xù)等待 C項測試。由于 B 項測試的機器為三臺， D 項測試的機器為二臺，完全足夠，并且在第一輪中 n1 和 n2 班分別做 B、 C 項的時間均為 20 秒每人， n2 班的同學的路線與 n1 班相似。對于 n3 班也可以在第一、二、三輪測試的間隙完成A、B 的測試。6另外 B、C測試需要 20 秒，而 E 測試序言 210 秒，但可以同時測試 5 人且有 2 臺機器，那么人均耗時約為 21 秒。并有以上的命題討論我們知道若三個班級的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時間，因此我講 56 個班

14、級分組，每組的班級同時入場。表 3組號班級編號對應(yīng)的人數(shù)第 1 組（52 55 56）（19 17 17）第 2 組（27 35 36）（20 20 20）第 3 組（8917 ）（20 20 20 ）第 4 組（12 24 28）（25 25 24）第 5 組（25 23 5）（30 28 26）第 6 組（32 29 18）（33 32 30）第 7 組（26 20 30）（36 35 33）第 8 組（11 38 43）（37 37 37）第 9 組（21 22 39）（38 38 38）第 10組（40 53 10）（39 38 38）第 11組（42 19 34）（40 39 39）

15、第 12組(1 31 48)(41 41 41)第 13組（46 49 51）（42 42 42）第 14組（47 7 41）（43 42 42）第 15組（6 16 37）（44 44 44）第 16組（4350 ）（44 44 45）第 17組（13 14 15）（45 45 45）第 18組（2 45 44）（45 50 50）第19 組（54）（25 25 25）第 20組（ 33)（17 17 17）按照表 3，可以分一下兩種情況討論：情況一： 若該組中的三個班級人數(shù)為x1、x2、x3 均處于同一時間等級，則完成第一輪測試所需時間為：T1=210 x1 +5（這里 是上取整數(shù)函數(shù)）；

16、10這是因為若班級人數(shù) x1 x2 x3處于同一時間等級，則顯然有：20 max xi210 x1 ；i 1, 210再加上第一位同學錄入學號的5 秒，則完成第一輪總共所需時間為：T1 =210 x1 +510同理可得第二、三輪時間分別為 x2 +5 和 x3+5;T2 =210T3 =21010107則完成三輪測試所需的時間為：3 xi +15T =T1 +T2 +T3 = 210（ 1）i 110由上面的分組我們可以知道除了第 7、19 兩組，其他分組均出在同一時間等級，可按照上述（ 1）式計算完成時間（結(jié)果見表 5）情況二：若三個班級不全處于同一時間等級， 則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，

17、具體情況時具體計算這里不給出計算公式。表 3 中有兩組的班級不同一時間等級，這兩組為第 6 組和第 19 組?，F(xiàn)在分別計算器完成時間：表 4第二項測試第三項測試第五項測試每輪測試所班級編所需時班級編所需時班級編所需時需要的時間號（人間（秒） 號（人） 間（秒） 號（人） 間（秒）（秒）數(shù)）第一267252070530845845輪（ 36）(35)(33)第二306652672520845845輪(33)（36）(35)第三20700306652610551055輪(35)(33)（36）由表 4 得完成三輪測試所需的總時間T=845+845+1055=2745秒。同理可得第 19 組完成三輪

18、測試所需的總時間T=4695秒。表組號班級編號對應(yīng)的人數(shù)測試所需時間第 1 組（52 55 56）（19 17 17）1275第 2 組（27 35 36）（20 20 20）1275第 3 組（8917 ）（20 20 20）1275第 4 組（12 24 28）（25 25 24）1905第 5 組（25 23 5）（30 28 26）1905第 6 組（32 29 18）（33 32 30）1905第 7 組（26 20 30）（36 35 33）2745第 8 組（11 38 43）（37 37 37）2535第 9 組（21 22 39）（38 38 38）2535第 10組（40

19、53 10）（39 38 38）2535第 11組（42 19 34）（40 39 39）2535第 12組(1 31 48)(41 41 41)3165第 13組（46 49 51）（42 42 42）3165第 14組（47 7 41）（43 42 42）31658第 15組（6 16 37）（44 44 44）3165第 16組（4350 ）（44 44 45）3165第 17組（13 14 15）（45 45 45）3165第 18組（2 45 44）（45 50 50）3165第19組（ 54）（25 25 25）1590第 20組（33)（17 17 17）1086現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為：

20、將上述 19 個時間按照某種組合方式全部填入每天的兩個時間段，從而使得所需的總時間段數(shù)最少。設(shè) n 表示所需的時間段總數(shù)， t i 表示表 5 中第 i 個組合所需時間， s j 表示第 j 個時間段長度，其中 i =1，2，.19 ； j =1， 2，. n . 顯然有：s j =15000, 若這個時段為上午時段 ；，若這個時段為下午時 段，11700.進一步假設(shè) 0-1 變量 ci , j :1,若第 i組被分配到第 j 個時間段； j =1，2， . n .ci , j =，反之，其中 i =1，2，.190即得到 0-1 規(guī)劃模型一：minn ,ns.t.ci, j =1;i =1,

21、2,.,19;j 119ci , jtis j ;j =1，2，.n .i 1上述模型中：第一個約束表示每個組能且只能安排在某一時段;第二個約束表示安排進任一時段的所有組的測試總時間必不大于該時段長度。 解得結(jié)果見表 6：表 6組號班級號班級人數(shù)測試時間安排第上午第 1 組（52 55 56）（19 1717） 8:00:00 8:21:15一第 4 組（12 24 28）（25 2524） 8:21:15 8:53:00天第 8 組（11 38 43）（37 3737） 8:53:00 9:35:15第 9 組（21 22 39）（38 3838)9:35:15 10:17:30第12組(1

22、 31 48)(41 41 41)10:17:30 11:10:15第13組（46 49 51）（42 4242） 11:10:15 11:53:00下午第 2 組（27 35 36）（20 2020） 13:30:00 13:51:15第 3 組（8917 ）（20 2020） 13:51:15 14:12:30第 7 組（26 20 30）（36 3533） 14:12:30 14:58:15第14組（47741 ）(43 43 42)14:58:15 15:51:009第上午二天下午第15組（6 16 37）（44 4444）15:51:00 16:43:45第 6 組（32 29 18

23、）(33 32 30)8:00:00 8:31:45第10組（40 53 10）（39 3838） 8:31:45 9:14:00第11組（42 19 34）（40 3939） 9:14:00 9:46:15第16組（4350 ）（44 4445） 9:46:15 10:39:00第17組（13 14 15）（45 4545） 10:39:00 11:31:45第19組（54）（25 2525） 11:31:45 11:58:15第 5 組（25 23 5）（30 2826） 13:30:00 14:01:45第18組（2 45 44）（45 5050） 14:01:45 14:54:30第2

24、0組（33）（17 1717） 14:54:30 15:12:36由結(jié)果可知整個測試所需時間段數(shù)最少為 4 段。由于已知所需時段的下限也是 4，故以上結(jié)果為最優(yōu)方案。對于以上的方案，基于假設(shè) 2、3、4，每個組最后一名離開的同學（在該組中等待時間最長）等待時間完全由分組情況決定，與該組進入次序無關(guān)。當班級人數(shù)較多時， 若不對同一個班級的學生分組會使得學生的等待時間較長。 為了減少學生的等待時間， 可以將同一個班級人數(shù)予以分組進入場地進行測試。 現(xiàn)在考慮對同一班級學生進行分組的情況。命題 2：若每次同時進入場地的人數(shù)為 20 人為最優(yōu)人數(shù)（證明見附錄二） ，且這 20 人學號順序相連， 則完成這

25、 20 人全部的 5 項測試最少需要 425 秒，且可以達到 425 秒。證明：首先證明至少425 秒。因為即使不考慮其他4 項，只做完第五個項目，這20 人就需要 425 秒（見表 1）。其次證明可以達到425 秒。我們假設(shè)這 20 人的學號次序為從1 到 20，則讓學號為1 到 5 的學生測試第一臺臺階試驗機，與此同時學號為6 到 10 的同學測試第二臺臺階實驗機，讓學號為 11 到 15 的同學測試肺活量，讓學號為 16 到 20 的學生測試立定跳遠， 。如第一輪下圖所示：臺階測試臺階測試肺活量立定跳遠學號學號學號學號1611162712173813184914195101520這樣 1

26、1 15 號與 1620 號同時測完（都用了 105 秒）。兩個交換測試項目每次同時測完 ( 都用了 105 秒) ，這兩輪共用了 210 秒，而測試臺階的兩個組由于要用215 秒，因此第二輪進行臺階實驗測試的組還在繼續(xù)測試。過程如第二輪下圖所示：10臺階測試臺階測試肺活量立定跳遠學號學號學號學號16161127171238181349191451020156 10，1620 這兩組在等待了 5 秒后有同時去做臺階實驗測試，由于學號剛好能銜接，不需要輸入學號時間。做完臺階實驗測試的兩組去做剩余項的測試。過程如下圖所示：臺階測試臺階測試肺活量立定跳遠學號學號學號學號161116171227181

27、3381914492015510這樣 4 組恰好同時離開，總共所需時間為：215+210=425.這里指出，這 4 個組完成身高體重測試、 握力測試均是利用間隙時間完成（討論類似于命題 1）。若進入的 20 人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學生學號相連。對于這種情況我們給出命題 3：若進入 20 人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學生學號相連。這時測試完這 20 人只需要 430 或 435 秒。命題 3 的證明類似于命題 2，需要 430 還是 435 秒取決于兩個班學生的銜接位置。由命題 2、3 我們發(fā)現(xiàn)同時入場的 20 人至多來自兩個不同的班級，時間至多需要435 秒。這樣將所有班級人數(shù)以 20 為單位劃分，不足的部分下一個班級的前幾位同學自動銜接。這樣遠問題等價于長度為 435 秒的小段去填上、下午的測試時間段，使得總時間段數(shù)最少。按照以上方法，我們將這 56 個班級劃分成 102 組，我們得到了體能測試方案。在這種情況下，按照論文模型假設(shè)中的 3、4，所有同學中等待時間最長的僅等待了 435-275=160 秒（約 2.6 分鐘）。這樣在保證所用時間段仍為4 個的前提下，通過分11組大大減少