IIR數(shù)字濾波器的原理、設計與應用

1、 本科畢業(yè)設計論文題目 IIR數(shù)字濾波器原理、設計方法和應用 系 別物理與電子工程學院年 級09級專 業(yè)電子信息工程班 級1604091學 號160409126學生姓名朱濤指導教師職 稱論文提交日期2021-9-26常熟理工學院本科畢業(yè)設計(論文)誠信承諾書本人鄭重聲明： 所呈交的本科畢業(yè)設計(論文)，是本人在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承當。本人簽名：日期：常熟理工學院本科畢業(yè)設計(論文)使用授

2、權說明本人完全了解常熟理工學院有關收集、保存和使用畢業(yè)設計(論文)的規(guī)定，即：本科生在校期間進行畢業(yè)設計(論文)工作的知識產權單位屬常熟理工學院。學校有權保存并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許畢業(yè)設計(論文)被查閱和借閱；學校可以將畢業(yè)設計(論文)的全部或局部內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編畢業(yè)設計論文，并且本人電子文檔和紙質論文的內容相一致。保密的畢業(yè)設計(論文)在解密后遵守此規(guī)定。本人簽名：日期：導師簽名：日期： 常熟理工學院畢業(yè)設計論文IIR 數(shù)字濾波器的原理、設計與應用摘 要本文首先介紹了數(shù)字濾波器的根本結構特點和表示方法，闡述

3、無限沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器的結構特點，如直接I型、直接II型IIR濾波器以及級聯(lián)型和并聯(lián)型IIR濾波器結構，接著介紹IIR濾波器的設計問題，從模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器、利用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計IIR濾波器，最后利用MATLAB的fadtool工具設計典型的IIR數(shù)字濾波器，并通過編程和濾波器函數(shù)調用實現(xiàn)多種頻率混疊信號的低通、帶通、高通濾波和降噪處理，比照結果分析了濾波器的性能。論文從IIR數(shù)字濾波器原理、設計到應用思路開展課題工作，通過理論學習和編程操作，加深了對IIR數(shù)字濾波器設計和數(shù)字信號處理技術的理解，完成了課題任務，實現(xiàn)了課題的目的和意義。關鍵詞： IIR 濾

4、波器 濾波器設計 數(shù)字信號處理 MATLABIIIR digital filters: Principle, Design and ApplicationAbstractThe thesis firstly introduces the basic stucture characteristcs and expression methods, and mainly describes the structure charactersitcs of IIR digital filters: Direct I typle, Direct II type, Concated type and Par

5、allel type. And then the design method of IIR digital filters by transfer from analog filter, pulse response invariation and bire-linearity invariation method are discussed, and finally some typical IIR digital filters using the fdatool function of MATLAB are designed. We write the programs that cal

6、l for these IIR digital filter functions to realize low pass filtering, band pass filtering, high pass filtering and noise reduction of the multiple frequency co-existing signals, and analyze the performance of the IIR filters. The thesis conducts the work form principle, design and application infr

7、astructure of IIR digital filter, through principle study and programming practice deepens the understuding about IIR digital filter design and digital signal processing technology, and finally finishes the task of thesis issue and realizes the aim meaning of thesis design. Key Words: IIR filte

8、r; filter design; digital signal processing; MATLABII目 錄1 引言11.1 國內外開展現(xiàn)狀11.2 IIR數(shù)字濾波器的應用11.3 選題意義21.4 本文主要研究內容21.5 MATLAB軟件介紹22 IIR數(shù)字濾波器原理32.1 數(shù)字濾波器的結構與表示方法32.2 無限長單位沖激響應濾波器IIR的根本結構62.2.1 直接I型IIR濾波器62.2.2 直接II型IIR濾波器72.2.3 級聯(lián)型結構82.2.4 并聯(lián)型結構93 IIR濾波器的設計113.1 由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器113.1.1 模擬低通濾波器原型113.1.2 巴

9、特沃茲Butterworth低通濾波器的設計113.1.3 切比雪夫Chebyshev濾波器的設計133.1.4 由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器143.2 沖激響應不變法143.2.1 變換原理143.2.2 混疊失真153.3 雙線性變換法164 利用MATLAB數(shù)字信號處理工具箱設計IIR數(shù)字濾波器184.1 MATLAB濾波器設計分析工具簡介184.2 IIR 型Butterworth 濾波器21III4.3 Chebyshev I和ChebyshevII 型的IIR濾波器設計與降噪應用245 總結與展望28參考文獻30致謝31IV1 引言1.1 國內外開展現(xiàn)狀數(shù)字信號技術在不斷提升，

10、以其獨特的影響和滲透入千家萬戶的生活。無論經濟、文化、政治還是其他領域，在這信息化大開展的時代里，最有競爭力的效勞就是利用數(shù)字信號技術輔助信號更好更快的工作。在這廣闊的領域中，濾波是最根本的信號處理方法，這里我介紹的就是IIR數(shù)字濾波器，IIR濾波器的結構為遞歸，有存儲單元少，簡便易行，不容易被外界影響的優(yōu)點。正因為這樣所以可以滿足精度高、穩(wěn)定、靈活等模擬濾波器無法到達的濾波功能。早在60年代，因計算機和集成電路的開展，數(shù)字濾波器實現(xiàn)軟件化，這在當時是沒什么的，但隨計算機小型化、多功能化，以及價格的下降，數(shù)字濾波器顯示了遠比模擬濾波器更強的競爭力，隨便帶著一個編制好的數(shù)字濾波器仿真的筆記本，到

11、哪你都可以隨時登記數(shù)據(jù)，計算結果，查驗圖像。1.2 IIR數(shù)字濾波器的應用IIR數(shù)字濾波器的設計主要是利用模擬濾波器成熟的設計理念來設計，擁有一些典型模擬濾波器優(yōu)良幅度特性。所以適用于消除噪聲降低信噪比，在頻帶信號中別離信號。從信號中濾除你不需要的局部，優(yōu)化信號的質量。數(shù)字濾波重要的學科和技術領域，聲學、通信、數(shù)據(jù)通信、控制系統(tǒng)和雷達都涉及信號，而數(shù)字濾波是根本算法。廣泛用于數(shù)字圖象處理、譜分析以及電信設備、控制系統(tǒng)中。其中應用比較廣泛的有幾個個方面：1語音方面：語音信號分析、語音合成、語音識別、語音增強。2圖像處理：去除噪音和干擾、圖像識別。3日常家電的信號傳輸。4雷達、聲吶、生物醫(yī)學信號處

12、理。5音樂、通信。6其他領域。1.3 選題意義通過學習數(shù)字濾波器的相關原理，實現(xiàn)數(shù)字濾波器的設計通過借助于模擬濾波器設計方法進行，其設計思路是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)G(s)，然后將G(s)按某種方法轉換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，實現(xiàn)波形的產生。同時，也對MATLAB軟件進行熟悉和了解，對MATLAB 7.0軟件中的濾波器設計局部的用法和參數(shù)設置做到先了解再精通，然后運用MATLAB軟件對“IIR數(shù)字濾波器進行設計，并逐步地對各個模塊進行分析、參數(shù)設計與驗證圖像。1.4 本文主要研究內容本文介紹如何應用MATLAB工具箱對IIR數(shù)字濾波器進行濾波器設計，其中包括數(shù)字濾波器和模擬濾波

13、器的設計等內容。通過MATLAB軟件設計的仿真，使我對IIR數(shù)字濾波器有了新的認識，加深了對數(shù)字濾波器工作原理的理解，提高了進一步研究和設計的欲望。本文已經完成的主要工作如下：1詳細分析濾波器濾波原理和方法以及MATLAB工具箱開發(fā)環(huán)境的根本用法。2在對濾波器濾波方法進行了深入的探索研究的根底上，用MATLAB設計完成濾波器并實現(xiàn)功能的設計。 3根據(jù)設計的不同規(guī)格的濾波器，對濾波器進行了性能分析和驗證。4通過討論濾波器中的模擬濾波器的算法，比較各種算法的優(yōu)劣。1.5 MATLAB軟件介紹MATLAB是一種高級矩陣語言，可移植性好，擴展性極強。而MATLAB7.0我所用的軟件工具，包含了大量的算

14、法集合。方便實現(xiàn)各種計算功能，從最簡單的函數(shù)到復雜的工程運算，都可以通過這個軟件進行運算。在這篇論文中，我就是充分發(fā)揮數(shù)據(jù)可視化功能。使用MATLAB模塊集和工具箱中的fdatool工具來創(chuàng)立IIR數(shù)字濾波器。開發(fā)時可以通過控制多個程序和圖像窗口，熟練使用函數(shù)嵌套，條件中斷等編程運算方法來到達特定的運算結果和功能，甚至可以對生成的圖像進行注釋。2 IIR數(shù)字濾波器原理2.1數(shù)字濾波器的結構與表示方法數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成局部，它實際上是一種數(shù)據(jù)流運算過程。它本質上是完成頻率選擇或頻率分辨任務的線性時不變系統(tǒng)，所以，離散時間線性時不變系統(tǒng)通常稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器將一組輸入的

15、數(shù)字序列按照一定的運算后轉變?yōu)榱硪唤M數(shù)字序列輸出，因此，它本身就是一臺數(shù)字式的處理設備。與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分可分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型。由于頻率響應的周期性，頻率變量以數(shù)字頻率來表示，為模擬角頻率，為抽樣的時間間隔，為抽樣頻率，所以數(shù)字濾波器設計中必須給出抽樣頻率。數(shù)字濾波器一般可以通過兩種方法來實現(xiàn)：一種是設計專用的數(shù)字硬件、專用的數(shù)字信號處理器或采用通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)；另一種是直接用計算機，將所需的運算編程執(zhí)行，也就是用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器是離散的時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡可以用差分方程、單位脈沖響應

16、以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程 2.1 那么系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的傳遞函數(shù)為 2.2 由2.1式可知，實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器需要如下的三種根本運算單元：加法器：它有兩個輸入和一個輸出，三個或多個信號的相加由相連的兩個輸入加法器實現(xiàn)；乘法器增益：它是一個單入單出元件，乘以一個常數(shù)表示增益；延遲元件：它把通過它的信號延遲一個樣本，其功能是由移位存放器實現(xiàn)的。這些根本單位采用兩種方法描述，即方框圖和信號流圖法。對于同一個系統(tǒng)函數(shù)對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有多種，每一種算法對應一種不同的運算結構，因而，數(shù)字濾波器的運算結構也有兩種表示方法，如圖2-1所示。圖2.1 根本運算的方框

17、圖法和信號流法表示線性信號流圖本質上與方框圖法等效，只是符號上有差異。比方，一個二階數(shù)字系統(tǒng)的差分方程為： 2.3那么其系統(tǒng)函數(shù)為： 2.4于是可得2.3式的方框圖如圖2-2所示，由圖實現(xiàn)離散時間系統(tǒng)的運算結構。假設利用軟件來實現(xiàn)濾波系統(tǒng)，圖2-2的網(wǎng)絡結構可作為實現(xiàn)該系統(tǒng)的編程根底，如果是硬件實現(xiàn)，該方框圖那么表示了系統(tǒng)的硬件結構。圖2.2 二階數(shù)字濾波器方框圖圖2-3給出了2.3式表示的二階數(shù)字濾波器的信號流圖。在信號流圖中，根本運算單元形成的有向支路節(jié)點連成一個網(wǎng)格，每個節(jié)點可以有幾條輸入支路和幾條輸出支路，與各個節(jié)點相關的節(jié)點變量值等于該節(jié)點的所有輸入量之和，如果一個節(jié)點有兩個以上的輸

18、入支路，該節(jié)點就相當于一個加法器。輸入信號處的節(jié)點稱為源節(jié)點，輸出信號處的節(jié)點稱為匯節(jié)點，源節(jié)點沒有輸入支路，匯節(jié)點只有輸入支路。每一個支路都有輸入信號和輸出信號，輸出信號值等于該支路起點的傳輸函數(shù)與輸入信號Z變換的乘積。如果支路上沒有標明傳輸系數(shù)值，那么其傳輸系數(shù)為1，當支路傳輸函數(shù)為單位延遲時，輸出信號值等于該支路起點處的節(jié)點信號延遲一個樣本。圖2.3 二階數(shù)字濾波器的信號流圖因此，運算結構非常重要，不同的結構會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經濟性以及運算速度等重要的性能。此外，在有限精度下，不同運算結構的誤差、穩(wěn)定性不同。數(shù)字濾波器有無限長單位沖擊響應infinite impulse r

19、esponse，IIR數(shù)字濾波器和有限長單位沖擊響應finite impulse response，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器兩種。從結構上看前者采用遞歸結構，后者采用非遞歸結構，本畢業(yè)設計中將對IIR數(shù)字濾波器進行深入討論。2.2 無限長單位沖激響應濾波器IIR的根本結構如果一個線性時不變系統(tǒng)的沖激響應具有無限長度，那么此系統(tǒng)稱為無限長沖激響應IIR濾波器。無限長單位沖激響應濾波器具有如下特點：1系統(tǒng)的單位沖激響應是無限長的；2系統(tǒng)函數(shù)在有限平面是有極點存在的；3結構上存在著輸出到輸入的反應，即結構上是遞歸的。無限長單位沖激IIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應是一個無限序列，其濾波器的結構采用遞歸結構，其根

20、本網(wǎng)絡結構有直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型三種，其中直接型又分為直接I型和直接II型兩種。2.2.1 直接I型IIR濾波器一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關系可以用如2.1式所示的N階的差分方程來描述。2.1式中，表示將輸入及延時后的輸入組成M節(jié)的延時網(wǎng)絡，把每節(jié)延時抽頭后加權加權系數(shù)，然后把結果相加，就構成一個橫向結構網(wǎng)絡。2.1式第二局部表示將輸出加以延時，組成N節(jié)的延時網(wǎng)絡，再將每節(jié)延時后加權加權系數(shù)，然后把結果相加，最后的輸出把兩局部相加。式2.1包括輸出的延時局部，故是一個有反應的網(wǎng)絡，這種結構稱為直接I型結構，其結構流圖如圖3-4所示。由圖可見，總的網(wǎng)絡是由上面討論的兩局部網(wǎng)絡級聯(lián)組成，第

21、一個網(wǎng)絡實現(xiàn)零點，第二個網(wǎng)絡實現(xiàn)極點，從圖2-4中可以看出，直接I型結構需要N+M級延時單元。圖2.4 直接I型結構IIR濾波器3.2.2直接II型IIR濾波器一個線性時不變系統(tǒng)假設交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，也即是總的輸入輸出關系不變。直接II型IIR濾波器結構又稱為正準型結構。圖2-4直接I型IIR濾波器結果的系統(tǒng)函數(shù)也可以看成是獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號先通過系統(tǒng)函數(shù)得到中間輸出變量，通過系統(tǒng)得到輸出信號，即可得另一種如圖2-5所示的結構。從圖2-5可見，其包含了兩個級聯(lián)的子網(wǎng)絡，第一個實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的極點，第二個實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的零點。兩行串行延時支路有相同的輸入，因而可以

22、把它們合并，得到如圖2-6所示的結構，稱為直接II型結構圖2.5 直接I型濾波器的變型網(wǎng)絡的零點與極點的級聯(lián)次序互換圖2.6 直接II型結構的范型結構3.2.3級聯(lián)型結構把2.2式描述的N階IIR濾波器的函數(shù)的分子和分母進行因式分解，那么可表述成： 2.5其中，為常數(shù)，和分別表示的零點和極點。由于分子、分母是實系數(shù)多項式，而實系數(shù)多項式的根有實根和共軛復根兩種情況。將每一對共軛零點極點合并起來構成一個實系數(shù)的二階因子，并把單個的實根因此看成是二次項系數(shù)等于零的二階因子，那么可以把表示成多個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡的連乘形式，如2.6式所示： 2.6假設每一個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡的系數(shù)函數(shù)的網(wǎng)絡結構

23、均采用前面介紹的直接II型結構，那么可以得到系統(tǒng)函數(shù)的級聯(lián)結構，如圖2-7所示。圖2.7 級聯(lián)結構II濾波器對于級聯(lián)結構型，每個一階網(wǎng)絡只關系到濾波器的一個零點、一個極點，每個二階網(wǎng)絡只關系到濾波器的一對共軛零點和一對共軛極點。調整系數(shù)、只影響濾波器的第j對零點，對其它零點并無影響，同樣，調整分母多項式的系數(shù)、也只單獨調整了第j對極點。這種結構便于準確實現(xiàn)濾波器頻率響應的性能，與直接型結構相比，級聯(lián)型結構便于準確實現(xiàn)濾波器零、極點的調整。3.2.4 并聯(lián)型結構將傳遞函數(shù)展開成局部分式的形式就得到并聯(lián)型IIR濾波器的根本結構，即表示為假設干一階和二階根本網(wǎng)絡與一個常數(shù)之和，如2.7式所示： 2.

24、7其中，同樣也可以表示為二階根本節(jié)的形式，如式2.8， 2.8并聯(lián)型結構如圖2-8所示，其中二階根本節(jié)網(wǎng)絡可以用直接II型結構實現(xiàn)。并聯(lián)型結構可以單獨調整極點位置，但卻不能像級聯(lián)型結構那樣直接控制零點的分布。因為，并聯(lián)型結構各二階網(wǎng)絡的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)額零點，因此，當要準確傳輸零點時，最好采用級聯(lián)型結構。圖2.8 并聯(lián)結構IIR濾波器傳輸函數(shù)為的濾波器的頻率特性為。由于實際的濾波器都是穩(wěn)定系統(tǒng)，所有極點都是在Z平面的單位圓內，單位抽樣響應是一個無限長的衰減序列，所以要截取有限長的一段來做頻率特性分析，截取的長度越長，逼近的程度越高。3 IIR濾波器的設計3.1 由模擬濾波器設計IIR數(shù)字

25、濾波器3.1.1 模擬低通濾波器原型典型的模擬低通濾波器的技術指標如圖3-1a所示，其中為模擬濾波器的幅度響應，和分別為通帶頻率和阻帶頻率，和分別為通帶和阻帶的容限。在通帶內要求，有時，具體的技術指標由通帶的最大衰減和阻帶的最小衰減給出。通帶及阻帶的衰減和分別定義為：和。第二種指標用參數(shù)和來描述通帶和阻帶的要求，如圖3-1b所示，其中，。圖3.1 模擬低通濾波器的技術指標3.1.2巴特沃茲Butterworth低通濾波器的設計巴特沃茲低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為 3.1式中，N為正數(shù)，代表濾波器的階次，稱為截止頻率。當時，有即，所以又稱為巴特沃茲低通濾波器的3dB帶寬。巴特沃茲低通濾波器具有

26、如下特點：1當時，即在處無衰減。2當時，或，為通帶最大衰減。即不管N為多少，所有的曲線都通過-3dB點，或者說衰減3dB，這就是3dB不變性。3在的通帶內有最大平坦的幅度特性，即N階巴特沃茲低通濾波器在處，的前2N-1階導數(shù)為零，因而巴特沃茲濾波器又稱為最平幅度特性濾波器。隨著由0到，單調減小，N越大，減小的越慢，通帶內特性越平坦。4當，即在過渡帶及阻帶中，也隨增加而單調減小，但是，故比通帶內衰減的速度要快的多，N越大，衰減速度越大。當，即頻率為阻帶截止頻率時，衰減為。巴特沃茲低通濾波器的幅度特性如圖3-2所示。圖3.2 巴特沃斯濾波器的幅頻特性113.1.3切比雪夫Chebyshev濾波器的

27、設計切比雪夫濾波器有兩種類型。切比雪夫型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調下降。切比雪夫型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調下降。本段主要介紹切比雪夫型和低通濾波器的設計。1切比雪夫型濾波器切比雪夫型濾波器的幅度平方函數(shù)為 3.2其中，為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。為N階切比雪夫多項式，它的定義為：或。這些多項式可以通過迭代產生 k1，。而切比雪夫型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 3.3其中，N為偶數(shù)時，N為奇數(shù)時。給定通帶和阻帶的截止頻率和，通帶和阻帶波動和或參數(shù)和，設計一個切比雪夫型濾波器步驟如下：求選擇性因子k和判別因子d；用下面的公式確定濾波器階數(shù)組成有理函數(shù)其中，取N個在

28、s左半平面的極點組成系統(tǒng)函數(shù)。2切比雪夫型濾波器切比雪夫型濾波器的幅度平方函數(shù)為 3.4切比雪夫 型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 3.5而極點位于 3.6式中，k=0,1,N-1是切比雪夫型濾波器的極點。零點位于軸上，在這些頻率上，。設計切比雪夫型濾波器的一種方法就是首先設計一個對應的切比雪夫型濾波器，然后通過上面的變換實現(xiàn)。3.1.4由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器在各種原型模擬濾波器的設計根底上，如果能建立模擬濾波器與數(shù)字濾波器的映射關系，那么可以很好地利用模擬濾波器的研究成果來設計數(shù)字濾波器。把模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器后，就能使數(shù)字濾波器“模仿模擬濾波器的特性，從而到達由模擬濾波器設

29、計數(shù)字濾波器的目的。通常使用以下映射方法：沖激響應不變法和雙線性變換法等。3.2沖激響應不變法3.2.1變換原理沖激響應不變法的根本準那么是，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應序列和h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應，將模擬濾波器的單位沖激響應加以等間隔抽樣，使h(n)正好等于的抽樣值，即滿足 3.7其中T是抽樣周期。如果令是的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的z變換，利用抽樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換之間的關系，即得 3.8由式中看出，沖激響應不變法將模擬濾波器的s平面變換到數(shù)字濾波器的z平面，從s到z的變換關系為,其映射關系。s平面每一條寬度為的水平帶都將重疊地映射到整個z平面上，而每

30、一個水平帶的左半平面映射到z平面單位圓以內，右平面映射到單位圓以外，而s平面虛軸軸映射到單位圓上，虛軸上每一段長為的線段都映射到z平面單位圓上一周。由于s平面每一條水平帶都要重疊地映射到z平面上，這正好反映了Hz與的周期延拓之間的變換關系，故沖激響應不變法從s平面到z平面的映射不是簡單的單值映射關系，這正是采用該方法設計的數(shù)字濾波器頻率響應產生混疊失真的根本原因。3.2.2混疊失真由3.8式可知，數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應間的關系為： 3.9數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓函數(shù)。所以，如果模擬濾波器的頻率響應限帶于抽樣頻率之內，即 3.10那么數(shù)字濾波器的頻率

31、響應將無失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即 3.11但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真。這樣，數(shù)字濾波器的頻率響應就不同于原模擬濾波器響應而有一定失真?？梢哉f混頻是沖激響應不變法的最大缺點。只有當模擬濾波器在以上的頻率衰減很大時，這個失真才小，這時采用沖激響應不變法設計的數(shù)字濾波器才滿足精度要求。為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施:1選用具有銳截止特性的模擬濾波器；2提高采樣頻率FsFs=1/T。因此，沖激響應不變法適用于根本上是限帶的濾波器，如衰減特性較好的低通和帶通濾波器，對高通、帶阻

32、濾波器那么不適宜。3.3雙線性變換法雙線性變換法方法的變換原理如圖3-3所示，它與前述沖激響應不變法的根本思路一樣，不直接設計數(shù)字濾波器，而是先設計一個模擬IIR濾波器，然后映射成一個等效的數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器設計參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器設計參數(shù)模擬濾波器模擬濾波器設計方法雙線性變換法雙線性變換法圖3.3 雙線性變換法原理圖這樣，就可以把z平面的數(shù)字濾波器的設計轉化為s平面的等效模擬濾波器的設計。s平面和z平面的映射關系為 3.12將及代入式，得到數(shù)字頻率與等效的模擬頻率之間的映射關系為 3.13由于數(shù)字頻率與模擬頻率之間的變換關系不是線性關系，所以上式被稱為頻率預畸變換法。雙線性變換法的設

33、計步驟如下：1給定數(shù)字濾波器的幅度響應參數(shù)。2用頻率預畸公式將數(shù)字濾波器參數(shù)變換為相應的等效模擬濾波器參數(shù)。3采用模擬濾波器設計方法設計等效模擬濾波器。4采用雙線性變換法公式把等效模擬濾波器逆映射為所期望的數(shù)字濾波器。4 利用MATLAB數(shù)字信號處理工具箱設計IIR數(shù)字濾波器4.1 MATLAB濾波器設計分析工具簡介fdatoolfilter design & analysis tool是MATLAB信號處理工具箱中專門的濾波器設計分析工具，它具有卓越的濾波器設計、簡潔的程序調用和高效的數(shù)字信號處理功能。fdatool可以設計幾乎所有的根本的常規(guī)濾波器，包括FIR和IIR的各種設計方法

34、。它操作簡單，方便靈活。在MATLAB命令行中輸入并執(zhí)行fdatool命令，將會彈出一個濾波器設計界面。該界面分兩大局部，即在界面下半部的濾波器參數(shù)設計，和在界面上半局部的濾波器特性顯示。濾波器設計局部主要分為：濾波器類型選項，它包括低通、高通、帶通、帶阻和特殊的FIR濾波器。而濾波器設計方法選項，包括IIR濾波器的巴特沃思Butterworth法、切比雪夫I型Chebyshev I法、切比雪夫II型Chebyshev II法、橢圓濾波器法和FIR濾波器的Equiripple法、最小乘方法、窗函數(shù)法。濾波器階數(shù)選項包括指定階數(shù)和最小階數(shù)。在指定階數(shù)中填入所要設計的濾波器的階數(shù)n階濾波器，Spe

35、cify Ordern-1，如果選擇最小階數(shù)那么MATLAB根據(jù)所選擇的濾波器類型自動使用最小階數(shù)。頻率明細選項，可以設定頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率fs和頻帶的截止頻率。它的具體選項由濾波器類型選項和設計方法選項決定。下面介紹利用fdatool工具來設計IIR Butterworth 低通、高通、帶通濾波器。首先在MATLAB命令行中輸入fdatool命令，執(zhí)行，就得到如圖4-1所示的濾波器設計界面，在Response Type框中選擇Lowpass低通濾波器，在Design Method框中選擇IIR型Butterworth 濾波器，接著，在圖4-1的右下半局部的Filter Order 選

36、擇 Minimum order， 在Match exactly欄中選passband 通帶匹配。接下了就牽涉到濾波器功能參數(shù)的設定了，在Frequency 欄中設置采用頻率Fs為2000Hz，低通濾波器的通帶頻率為100Hz，阻帶頻率為180Hz，在Magnitude欄中選通帶波紋小于0.5dB，阻帶抑制比大于80dB。最后，點擊最下面的Design Filter 按鈕，于是生成圖4-1上半局部顯示的濾波器性能圖。圖4.1 低通濾波器設計界面為了便于后續(xù)調用濾波器程序，需要將設計的濾波器轉換成代碼。該過程如下，在圖4-1中點擊File>Generate MATLAB code，從而彈出一

37、個文本框以命名濾器的名稱，這里把濾波器命名為lp100b，于是生成了lp100b.m的程序代碼文本。在數(shù)字信號處理程序中，利用filter函數(shù)調用lp100b濾波函數(shù)即可，具體格式如：b=filterlp100b，a，其中a為源信號，b表示經低通濾波器濾波過后的信號。圖4-2 顯示了IIR Butterworth 帶通濾波器的設計過程，圖4-3顯示了IIR Butterworth高通濾波的設計過程。不管是低通、帶通還是高通濾波器，在fdatool界面上進行設計，大致流程都分為以下幾步：1.選擇濾波器的類型，比方FIR或IIR、Butterworth或Chebyshev，高通、低通、帶通還是其它

38、；2.確定階數(shù)算法，比方最小階數(shù)或特定階數(shù)；3.確定采用頻率、通帶、阻帶頻率，通帶波紋系數(shù)和阻帶抑制比；4.點濾波器設計按鈕，生產濾波器并保存為濾波函數(shù)。Fdatool從濾波器設計的需求出發(fā)，給設計者非常清晰的設計邏輯，從而防止了繁瑣的公式推導和計算，大大降低了濾波器程序設計的難度。經過簡單的幾步操作就可以設計出理想的濾波器，MATLAB在濾波器設計過程中具有的簡潔高效的特點，而其在數(shù)字信號處理方面的性能時其他軟件難以匹敵的。圖4.2 帶通濾波器設計界面圖4.3 高通濾波器設計界面4.2 IIR 型Butterworth 濾波器前面已經介紹過基于fdatool的數(shù)字濾波器設計，而且圖4-1、圖

39、4-2和圖4-3分別顯示了IIR型Butterworth低通、帶通和高通濾波器，并最后生成了濾波器函數(shù)lp100b.m，bp300b.m，hp500b.m。這里，我們通過一段程序分別演示濾波程序調用和濾波器濾波性能。程序的設計過程如下：1.產生100Hz、200Hz、300Hz、400Hz和500Hz的余弦信號，對每個余弦信號賦一個隨機的初始相位；2.將這些余弦信號疊加，5組數(shù)據(jù)相加便得到一組數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)用于后續(xù)濾波處理；3調用濾波函數(shù)，分別濾出頻率為100Hz、300Hz、和500Hz的余弦信號，分析濾波結果。程序代碼如下：f1=100;f2=200;f3=300;f4=400;f5=500

40、; %5個頻率的信號t=0:5*10(-4):0.1; %信號的取樣間隔和持續(xù)時間a1=cos(2*pi*f1*t+randn(1); %生成頻率100Hz的余弦信號a2=cos(2*pi*f2*t+randn(1); %生成頻率200Hz的余弦信號a3=cos(2*pi*f3*t+randn(1); %生成頻率300Hz的余弦信號a4=cos(2*pi*f4*t+randn(1); %生成頻率400Hz的余弦信號a5=cos(2*pi*f5*t+randn(1); %生成頻率500Hz的余弦信號b=a1+a2+a3+a4+a5; %5個余弦信號疊加figure(1)plot(t,b) %圖1

41、生成5個余弦信號疊加后的效果圖b1=filter(lp100b,b); %調用低通濾波器，濾波得到100Hz的余弦信號figure(2)plot(t,b1) %輸出低通濾波結果b3=filter(bp300b,b); %調用帶通濾波器，濾波得到300Hz的余弦信號figure(3)plot(t,b3) %輸出帶通濾波結果b5=filter(hp500b,b); %調用高通濾波器，濾波得到500Hz的余弦信號figure(4)plot(t,b5) %輸出帶通濾波結果運行上面的程序，結果如圖4-4至圖4-6所示。圖4-4顯示了5個頻率分別為100Hz、200Hz、300Hz、400Hz和500Hz

42、的余弦信號疊加后的結果，從圖中可以看出，疊加過后信號的原始模樣被掩蓋，難以發(fā)現(xiàn)信號的頻率分量。在一般的信號處理方法中，為了獲得信號中的頻率分量，首先需要對信號進行快速傅里葉變化以確定信號中到底包含哪幾種頻率，該過程的程序語句是y=absfftx；ploty；從輸出的圖中獲得頻率信息。接著通過數(shù)字濾波的方式提取所需頻率的信息。由于我們一直各個頻點，所以直接通過數(shù)字濾波別離頻率分量。圖4.4 余弦信號疊加后效果圖圖4.5 低通濾波后得到100Hz余弦信號圖4-5顯示了經低通濾波過后得到的頻率為100Hz的余弦信號，從圖中可以看出濾波的結果使信號的前端出現(xiàn)失真，這是因為信號前端涉及的數(shù)據(jù)量小，濾波程

43、序難以準確恢復信號特征，而隨著時間的增加，用于分析的數(shù)據(jù)量增加，信號的頻率和幅度被準確復原。圖4.6 帶通濾波后得300Hz余弦信號圖4-6顯示了從混亂的多頻信號疊加過后的數(shù)據(jù)中，經中心頻率為300Hz，通帶頻率寬度為40Hz，阻帶抑制比為80dB的帶通濾波器濾波過后的效果。與圖4-5的前端相似，由于前端所涉及的數(shù)據(jù)量較少的緣故，信號嚴重失真，但是從圖4-6的后端可以看出該頻率為300Hz、振幅為1的余弦信息根本得到準確恢復。圖4-7顯示了原始多頻信號經通帶頻率為500Hz、阻帶截止頻率為420Hz、阻帶抑制比為80dB的高通濾波器濾波過后的結果。從圖4-5、圖4-6和圖4-7的共性中，我們可

44、以看出，雖然數(shù)字濾波器易于設計和調用，但是其濾波的數(shù)據(jù)前端往往容易產生失真，在某些對信號時域特征恢復要求比較嚴格的應用場合，優(yōu)化濾波設計和數(shù)字信號處理方法變得十分必要。圖4.7 高通濾波器后得500Hz余弦信號4.3 Chebyshev I和ChebyshevII 型的IIR濾波器設計與降噪應用為何更好的將濾波器的設計和使用緊密結合起來，增強對數(shù)字信號處理的認識、提高編程能力。這一小節(jié)里，我們選擇IIR濾波器中的Chebyshev I 和Chebyshev II濾波器來做信號降噪處理。演示程序設計的思想源于現(xiàn)實的應用，比方數(shù)據(jù)采集卡或示波器采集某中頻信號，接著對中頻信號進行分析和處理。這里我們

45、可以用程序來模擬該過程。首先，生成余弦信號，選擇信號的頻率為100Hz和300Hz，給每個余弦信號分別賦一個初始相位并加上隨機的高斯噪聲，高斯噪聲的波動幅度大于余弦信號的振幅，將這兩個帶噪聲的信號疊加成一組數(shù)據(jù)，接著利用fdatool工具設計中心頻率分別為100Hz和300Hz的帶通濾波器，通帶寬度為0.2Hz，調用程序進行濾波，最后輸出降噪前后的結果。實現(xiàn)上述目的的程序如下：%f1=100;f2=300; %頻率100Hz、300Hzt=0:5*10(-4):0.2; %采用間隔0.5ms，采樣時長0.2sa1=cos(2*pi*f1*t+randn(1); %生成頻率為100Hz的余弦信號

46、a2=cos(2*pi*f2*t+randn(1); %生成頻率為200Hz的余弦信號N1=1*randn(1,length(t); %產生高斯噪聲N2=1*randn(1,length(t); %產生高斯噪聲b1=a1+N1+a2+N2; %信號噪聲疊加figure(1)subplot(311) %輸出頻率100Hz的原始信號plot(t,a1)subplot(312) %輸出加噪聲后的數(shù)據(jù)plot(t,b1)b11=filter(bp100c2,b1); %帶通濾波subplot(313)plot(t,b11) %輸出濾波結果頻率100Hz 余弦信號figure(2)subplot(311

47、)plot(t,a2) %輸出頻率300Hz的原始信號subplot(312) %輸出加噪聲后的數(shù)據(jù)plot(t,b1)b22=filter(bp300c1,b1); %帶通濾波subplot(313)plot(t,b22) %輸出濾波結果頻率100Hz 余弦信號% 程序的運行結果如圖4-8和圖4-9所示，從這兩幅圖中可以看出，隨機高斯白噪聲的引入使信號完全被掩埋在噪聲之中，但噪聲畢竟對信號進行干擾的頻帶有限，很容易通過濾波的手段加以抑制。帶通濾波是抑制噪聲的一種非常重要的手段，在電磁波信號提取中，噪聲的分布的頻帶非常廣，但是在于帶通濾波器通帶寬度范圍內，噪聲的功率卻很低，于是通過窄帶濾波，能

48、去除功率占絕大局部的帶外噪聲。跟上一節(jié)研究的IIR Butterworth濾波器一樣，Chebyshev類型的濾波器濾出來的信號的前端存在嚴重的失真，但是隨著用于分析的數(shù)據(jù)點的增多，信號的特征特別是頻率特征能得到很好的恢復，通過優(yōu)化濾波器和數(shù)字信號處理算法，比方采用快速傅里葉變換和加窗濾波等手段，信號提取效果能得到很大改善。圖4.8 從被噪聲掩埋的數(shù)據(jù)中提取頻率為100Hz的余弦信號圖4.9 從被噪聲掩埋的數(shù)據(jù)中提取頻率為100Hz的余弦信號5 總結與展望在數(shù)字信號處理領域中，所處理的信號往往混有噪聲，從接收到的信號中消除或減弱噪聲是信號傳輸和處理中十分重要的問題。根據(jù)有用信號和噪聲的不同特性

49、，消除或減弱噪聲，提取有用信號的過程稱為濾波，實現(xiàn)該功能的數(shù)字原件就叫數(shù)字濾波器。無限沖激響應IIR數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的根本元件，與有限沖激響應數(shù)字濾波器相比，它能夠利用更少的計算和內存就可以實現(xiàn)數(shù)字濾波功能，而且設計出來的IIR的過渡帶很窄，在很大程度上可以取代傳統(tǒng)的模擬濾波器。IIR濾波器有以下幾個特點：1封閉函數(shù)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。2IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構，即結構上帶有反應環(huán)路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以系數(shù)和相加等根本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結構形式，都具有反應回路。由于運

50、算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振蕩。3IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查。4IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡。IIR數(shù)字濾波器可以用各種標準來分類，按照信號的種類可分模擬濾波器和數(shù)字濾波器，按照頻帶來分可分為低通濾波器、高通濾波器和帶通濾波器以及帶阻濾波器等。本畢業(yè)論文重點討論IIR濾波器的原理、設計和應用問題，首先闡述了數(shù)字濾波器的結構特點與表示方法、無限沖激響應濾波器的根本結構及其MATLAB實現(xiàn)。接著，介紹無限沖激響應濾波器的設計問題，由模擬濾波

51、器設計IIR數(shù)字濾波器，從低通模擬濾波器的原型出發(fā)，描述由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的數(shù)學原理，再介紹沖激響應不變法和雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器的根本理論，最后編寫程序演示了基于上述方法的IIR濾波器設計。本論文最后介紹利用MATLAB fdatool工具來設計典型的IIR數(shù)字濾波器，并將所設計的數(shù)字濾波器應用到數(shù)字信號處理過程中，分析了濾波器的濾波和降噪性能。 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理領域的重要元件，IIR數(shù)字濾波器在其中具有重要作用，但它僅僅是其中實現(xiàn)數(shù)字信號處理的一種手段而已，要高精度、高可靠性、高效率實現(xiàn)數(shù)字信號處理的目標，還需依靠和開展其它數(shù)字信號處理技術如快速傅里葉變換、

52、小波變換等技術。MATLAB具有強大的矩陣運算能力和簡潔的程序設計環(huán)境，其提供的數(shù)字信號處理工具箱能滿足絕大局部理論研究和工程應用對數(shù)值計算和數(shù)字信號處理的需求，而且它與機器設備的通信以及自身的仿真能力，決定了其相對于其它程序設計語言具有無可比較的優(yōu)勢。因此，對于IIR數(shù)字濾波器設計，特別是數(shù)字信號處理應用，研究數(shù)學理論和機制、完善模型和算法、提高數(shù)字信號處理的精度和效率將是未來開展的重要方向，而結合MATLAB這門程序設計語言近40年來的理論和技術積淀，開展相應的模型和機制研究，對實現(xiàn)數(shù)字信號處理技術的快速開展必然具有重大意義。參考文獻1 倪養(yǎng)華.數(shù)字信號處理與實現(xiàn)M.上海:上海交通大學出版社,1998,185-204.2 飛思科技產品研發(fā)中心.MATLAB7輔助信號處理技術與應用M.北京:電子工業(yè)出版社,2005,162-181.3 樓順天,李博苗.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設計一信號處理M.西安:西安電子科技大學出版社,1998,46-72. 4 張葛祥.MATLAB仿真技術與應用M.北京:清華大學出版社,2003,248-255. 5 胡廣書.數(shù)字信號處理、理論、算法與實現(xiàn)M.北京:清華大學出版,1997,248-252.  6 陳希林.一種Lab Windows/CVI與MATLAB混合編程的實