課堂導(dǎo)學(xué)(1.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(一))

1、課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、求函數(shù)極值【例1】確定函數(shù)f(x)=-yx在區(qū)間-2,2上的單調(diào)性并求f(x)在區(qū)間-2,2上的極大x21值、極小值、最大值和最小值.解：由已知得(QxFhxF'1 -x2(x2 1)2(x2 1)2 .令f'僅)=解得x=-1或x=1.列出下表：x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2f'(x)-0+0-f(x)極小值/極大值,-11,1由表可知，f(x)的極小值是f(-1)=2二;極大值是f(1)=-.(-1)2122又f(-2)=-2,f(2)=2,55.f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值是1,最小值是1.22溫馨提示對任意實數(shù)x,x2

2、+1豐0,11即函數(shù)f(x)=的定義域為R.又.-y=0,x21lxmx21f(x)在R上的最大值與最小值還分別為2和-1.22一一，111又f(0)=0,.函數(shù)f(x)=在R上的值域為'.x122二、極值的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極小值-1,試確定a、b的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：由已知得f(1)=1-3a+2b=-1,又f'(x)=3x6ax+2b.f'=6a+2b=0由得a=,b=一一.32故函數(shù)的解析式為f(x)=x3-x2-x.由此得f'(x)=3x2x-1，由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<-,或x>

3、;1時,f'(x)：>0;-<x<1時,f'(x)<0.33因此,在區(qū)間(-0°,-1)和(1,+oo，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一，1)內(nèi)，函數(shù)f(x)為減函數(shù).33三、利用函數(shù)極值求函數(shù)的解析式【例3】設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.試確定常數(shù)a和b的值.解：f'(x)a+2bx+1,xf'(1)=f'(2)=0,23161-f(x)=-lnx-x2+x.36各個擊破類題演練1求函數(shù)y=x4-2x2-1的極值.解:V'=4x4x,令V=Sxi=-1,x2=0,x3=1.將

4、x、y及在相應(yīng)區(qū)間上y的符號關(guān)系列表如下X(-OO-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)Y，-0+0-0+Y極小值-2/極大值-1極小值-2/所以當(dāng)x=-1時,函數(shù)有極小值-2;當(dāng)x=0時,函數(shù)有極大值-1;當(dāng)x=1時函數(shù)有極小值-2.變式提升1求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的極值.解:f，(x)=3x6x-9=3(x+1)(x-3),令f'(x尸解得x1=-1,x2=3,.-x<-1時,f'(x)>函數(shù)f(x)遞增;-1<x<3時,f'僅)砌數(shù)f(x)遞減;x>3時,fx)>0,函數(shù)f(x)遞增.f(x)極大值=f

5、(-1)=10;f(x)極小值=f(3)=-22.類題演練2若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有極大值和極小值，求a的取值范圍.解:f(x)為三次函數(shù)，f'第二次函數(shù)，要使f(x)既有極大值又有極小值，需f'(x)=0t兩個不相等的實數(shù)根從而有A=(2a2-4(a+2)>0,解得a<-1或a>2.變式提升2求函數(shù)y=8x3-12x2+6x+1的極值.解:v'=24x24x+6.令y'=0,24x2-24x+6=0，解得x=工.2當(dāng)x>1時,y，>0|x<1時,y，>0.22所以此函數(shù)無極值.類題演練3已知函數(shù)f(x)=x+a+b有極小值2,求a、b應(yīng)滿足的關(guān)系x解：由2ax-af(x)=x+b得f(x)=2.xx因為f(x)有極小值，故方程x2-a=0有實根，故a>0.f'(x)=0兩根為Ja與Ja.顯然f'(x)=x%a)2x_上a),且x<v-a時f(x)>0；7a<x<0時f'(x)<0x0<x<a時f'(x)<0x>Va時f