2016北京高考文科數(shù)學(xué)先生詳解

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).(1) (1)已知集合A=x|2cxc4,B=x|x<3或x>5,則A(B=(A)x2<x<5(B)x|x<4或x>5(C)x2<x<3(D)xx<2或x>5(2)(A)i(B)1+i(C)-i(D)1-i（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，

2、輸出的s值為(A) 8(B) 9(C) 27(D) 36(4)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)的是1x(A)y=(B)y=cosx(C)y=ln(x+1)(D)y=2一1 -x(5)圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為(A)1(B)2(C)72(D)2般(6)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為/八1/、2/、8/、9(A)(B)(C)(D)552525(7)已知A(2,5),B(4,1).若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上，則2x-y的最大值為(A)-1(B)3(C)7(D)8(8)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為

3、10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則(A)2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽(B)5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽(C)8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽(D)9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽第二部分(非選擇題共110分)二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)(9)已知向量a=(1,J3),b=(J3,1),則a與b夾角的大小為.X一

4、(10)函數(shù)f(x)=(x至2)的最大值為X-1(11)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為正1主)視圖惻(左)視圖一一H.M視圖22_(12)已知雙曲線與-%=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(J5,0),ab貝Ua=；b=.(13)在ABC中，ZA=,a=£c,則'=3c(14)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有種；這三天售出的商品最少有種.三、解答題(共6題，共8

5、0分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)(15)(本小題13分)已知an是等差數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(I)求an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)Cn=an+bn,求數(shù)列5的前n項(xiàng)和.(16)(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=2sincoxcoswx+cos2cox(co>0)的最小正周期為兀.(I)求3的值；(n)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(

6、I)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(II)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).(18)(本小題14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC1平面ABCD,AB/DC,DC_AC(I)求證：DC_LT面PAC;(II)求證：平面PAB_L平面PAC.(III)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF涵明理由22已知橢圓C：二+t=1過點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).ab(I)求橢圓C的方程及離心率;(n)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)

7、M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證：四邊形ABNM的面積為定值.(20)(本小題13分)設(shè)函數(shù)fx=x3,ax2bxc.(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程;(II)設(shè)a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍;(III)求證：a2-3b>0是f(x).有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件先生詳解1 .解析：直接求交集即可，與去年第1題相似，又t度較小.答案：C點(diǎn)評(píng)：此題考查集合的運(yùn)算，屬送分題型.2 .解析：12iJ2i）（2二=i,其實(shí)此題最好的解法不是直接計(jì)算，而是代入選2-i（2_i）（2i）5項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，既然代入，當(dāng)然先代入最簡單的了，結(jié)果A可以滿足，

8、好了，直接下一題吧！答案：A點(diǎn)評(píng)：此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度較小.3解析：注意循環(huán)方框中的箭頭方向及條件先后順序，當(dāng)S=0+0=0k=1;當(dāng)S=0+13=1k=2當(dāng)S=1+23=9,k=3,此時(shí)滿足條件“k之2”，故輸出S=9.答案：B點(diǎn)評(píng)：此題考查程序框圖，難度較小.114 .解析：y=-是由y=一先關(guān)于x軸對(duì)稱，再向右平移一個(gè)單位而來，在（-1,1）上為遞1 -xx1增.當(dāng)然，才第4題，完全沒必要大動(dòng)干戈，直接代入x=0,x=-也能排除A；2B中，y=cosx的圖像在（-1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，不合題意，排除；C中，是由函數(shù)y=lnx向左平移一個(gè)單位而來，故為增函數(shù)，排除；1xJ

9、/D中，函數(shù)y=2=（2）在R上為減函數(shù)，故選擇D.此題如果對(duì)D中函數(shù)比較了解，就直接D了，省我以上好多廢話.答案：D點(diǎn)評(píng)：此題對(duì)哥、指、對(duì)、三角函數(shù)的單調(diào)性及圖像的翻轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行了考查，難度較小.5 .解析：易知圓心為（-1,0）,利用點(diǎn)到直線的距離公式=上詈=92即得答案，難度較小.答案：C|AMBy0+C|點(diǎn)評(píng)：此題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)到直線的距離公式d=1122.此題出的有些簡.AB單，若問弦長，更好一些.6 .解析：設(shè)甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生，隨機(jī)選2人出來共有：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲,?。ⅲ?，戊）、（乙，丙）、（乙，?。ⅲㄒ遥欤?、（丙，?。ⅲū?，戊）、（丁，戊）

10、，一共10種情況，其中含甲的有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁卜（甲，戊）共4種情況，故概率為-=-.105答案：B點(diǎn)評(píng)：此題考查古典概型，打破以往幾何概型的壟斷，難度較小7 .解析：畫出線段AB、目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到虛線時(shí)取得最大值，最大值為z=2父4-1=7.此題也可直接代入A、B坐標(biāo)，得出最大值.答案：C點(diǎn)評(píng)：此題考查線性規(guī)劃，但可行域這樣簡單的是第一次見到.難度較小.8 .解析：由于進(jìn)入立定跳決賽有8人，故學(xué)生序號(hào)9、10排除.又同時(shí)進(jìn)入立定跳決賽及30秒跳繩決賽的有6人，從跳繩成績最好的開始算起，可以發(fā)現(xiàn)63次必有，否則兩個(gè)63次及一個(gè)60次就得失去決賽資格，而一共

11、還剩1-8號(hào)8個(gè)人，再去掉3個(gè)，還剩5個(gè)，不合題意.由此可以斷定跳63次的學(xué)生必然進(jìn)入了決賽，故選擇B.答案：B點(diǎn)評(píng)：此題考查對(duì)信息的推理能力，難度中等9 .解析：設(shè)向量a與b夾角為日，則cos9abr=_2/3=3,二9=-.|ab426冗答案：-6點(diǎn)評(píng)：此題考查向量的數(shù)量積、模的運(yùn)算，同時(shí)考查向量的夾角公式，難度較小10.解析：法一：f（x）=x-1x-1x-1,可見函數(shù)f(x)=1+由函數(shù)1.,故f(x)=1十在12,-)上x-11f（x）=一先向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位而來,x單調(diào)遞減，故f(x)max=f(2)=2.1x法二：f(x)=2<0,故f(x)=在2E)上單

12、倜遞減,(x-1)x一1f(X)max=f(2)=2.答案：2點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的值域問題，可以分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)處理，也可以直接求導(dǎo)處理，言簡意賅哦！難度中等.11.解析：用構(gòu)造法作出四棱柱，如下圖(12) 1.3四棱枉ABCD-AB1C1D1即為所求幾何體，體積為-2x1=-.事實(shí)上，作為棱柱求體積的問題，一般可以采用：俯視圖面積X側(cè)視圖高度來求.3答案2-”點(diǎn)評(píng)：此題考查三視圖及體積計(jì)算公式，難度中等bwb12.解析：由于該雙曲線的漸近線方程為y=±x,故一=2,即b=2a.又c=J5,且aac2=a2+b2=5a2,a2=1,a=1,故b=2.答案：1；2點(diǎn)評(píng)：此題考查雙

13、曲線的漸近線及一些性質(zhì)，難度較小,2222、13.解析:.bc-abc3coA=2bc2bc91bbb2+bc2c2=0,所以(b-c)(b+2c)=0.得b=c-=1,即上=1.cc答案：1點(diǎn)評(píng):此題對(duì)余弦定理進(jìn)行了考查，難度較小.14 .解析：由于第一天與第二天售出的商品有3種相同，故第一天售出第二天未售的有19-3=16種.欲使三天售出商品數(shù)最少，則要保證三天售出商品重復(fù)種數(shù)最多，后兩天中，最少售出13+18-4=27種，第一天售出19種，先扣除與第二天相同的3種，再扣掉第二天與第三天不同種類最多的那個(gè)，即共扣掉3+14=17種，故最少售出為27+2=29種.另解：第一天與第二天有3種商

14、品同時(shí)售出，故第一天與第二天售出商品總和為19+13-3=29種，又第二天與第三天有4件同時(shí)售出,若第三天的4件出現(xiàn)在了第二天的賣出3件后剩余的10種內(nèi)，而第三天還剩的14種商品又與第一天賣掉3種后剩余16種中的14種相同，此時(shí)三天售出商品數(shù)最少，此時(shí)不必再理會(huì)第三天商品的售出，故共有29種.答案：16;29點(diǎn)評(píng)：此題與2014年14題類似，考查信息遷移能力，難度較大15 .解：(1)等比數(shù)列0的公比4=殳=9=3,n'b23'所以b1=1,b4=b3q=27.q設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)閍1=b=1,&4-b4-27,所以1+13d=2-2.所以an=2n-1(n=1

15、,2,3,).(2)由(1)知，an=2n1,如=3n因此Cn-anbn=2n-13n從而數(shù)列；Cn的前nffl和Sn=13(2n-1)13;3nn(12n-1)1-3n21-323n-1二n2點(diǎn)評(píng)：非常常規(guī)的數(shù)列題，考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，難度較小16 .解：(I)因?yàn)閒(x)=2sin8xcosox+cos2ox=sin2xcos2x二.2sin(2x),4所以f(x)的最小正周期IT依題意,=,解得8=1.co冗冗八一、-一,2k：(k-Z).22(II)由(I)知f(x)=/2sin(2wx+4).函數(shù)y=sinx勺單調(diào)遞增區(qū)間為2k二由2k：-_2x2k二冗+2,3

16、付k：一一二_x_k：.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-：3-it8,k-：-(kZ).,8點(diǎn)評(píng)：考查三角函數(shù)的二倍角公式，輔助角公式及三角函數(shù)的單調(diào)性，難度較小17解：(I)由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,11,1,1.51,1.5,21,2,2.51,2.5,31內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(II)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:組號(hào)12345678分組12,4(4,6(6,8(8,10(

17、10,12(12,17(17,22(22,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05=10.5(元).點(diǎn)評(píng)：考查統(tǒng)計(jì)中的直方圖，注意到縱坐標(biāo)為，同時(shí)如何求直方圖中的均值問題要引起注意,難度較小.18.解:(I)因?yàn)镻C_L平面ABCD.所以PC_LDC.又因?yàn)镈C,AC,所以DC_L平面PAC(II)因?yàn)锳B/DC,DC_AC,所以AB_LAC.因?yàn)镻C_L平面ABCD,所以PC_AB.所以AB_L平面PAC.所以平面PAB_L平面PAC.(I

18、II)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA/平面CEF.證明如下：取PB中點(diǎn)F,連結(jié)EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF/PA又因?yàn)镻A遼平面CEF,所以PA/平面CEF.點(diǎn)評(píng)：考查立體幾何的線面垂、面面垂以及動(dòng)點(diǎn)性問題，難度較小19.解：(I)由題意得，a=2,b=1.2所以橢圓C的方程為二y2=1.4y又c二.a2-b2-、3,所以離心率e=£=蟲.a2(II)設(shè)P(xo,yo)(x0O,yo<0),則Xo2+4y。2=4.又A(2,0),B(0,1),所以直線PA勺方程為y=-y0-(x-2).xo-2令x=0,得yM=a0"，從而BM=1-yM=1十二丫0xo-2xo-2直線PB的方程為y=x1.xoy=0,WxN=2-，從而AN=2-xN=2十"°yo-1y0-1所以四邊形ABNM的面積c1S=-ANBM2x0y0-1)(12y0)x0-222x04y04%y0-4%8y。42(x0y0-沏-2y。2)2x0y0-2x0-4y04y。-x0-2y02從而四邊形ABNM的面積為定值.其中采用轉(zhuǎn)化思想，利用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)逐步轉(zhuǎn)化條點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的基本性質(zhì)，以及定值問題,件，利用好橢圓方程進(jìn)行處理，難度中等20.解：(I)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因?yàn)閒(0)=c,f(0)=b,