20160907等差數(shù)列專題教師版

1、高二第1講等差數(shù)列第一部分知識重點1 .等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用而一且表示.2 .等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列an的首項是ai,公差是d,則其通項公式為an=ai+(n1)d=(nm)d=p.3 .等差中項如果三個數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，如果A是x和y的等差中項，則A=中.4 .等差數(shù)列的常用性質(zhì)、一一,r、，>r八、._*(1)通項公式的推廣：an=am+(nm)d(n,meN).(2)若an為等差數(shù)列，且n=p+q,*貝Uam+a

2、n=ap+aq(mn,p,qCN).(3)若an是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差數(shù)列.(5) San1=(2n-1)an.nd(6)右n為偶數(shù)，貝US偶一S奇="2-；若n為奇數(shù)，則S奇一S偶=a中(中間項).5 .等差數(shù)列的前n項和公式一,nadan,一、.一若已知首項日和末項an,則S=-，或等差數(shù)列an的首項是ab公差是d,nn-1則其刖n項和公式為&=na1+2d.cd2,S=2n+a1-6 .等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系dn,數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是

3、S1=Ar2+Bn(A,B為常數(shù)).7 .最值問題在等差數(shù)列an中，a1>0,d<0,則&存在最大值，若aK0,d>0,則&存在最小值。第二部分基礎(chǔ)回顧1 .已知等差數(shù)列an中，a3=9,a9=3,則公差d的值為()A.1B.1C._1D.-1I1I|2 .已知數(shù)列an的通項公式是an=2n+5,則此數(shù)列是()A.以7為首項，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項，公差為5的等差數(shù)列C.以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列an中，a1=13,a3=12,若an=2,則n等于()A.23B.24C.25D.264.兩個數(shù)1與5的等差中項是()A

4、.1B.3C.2D.土的5.(2005?黑龍江)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則()A.ai+a8>a4+a5B.ai+a8=a4+a5C.ai+a8<a4+a5D.aia8=a4a5一個推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=ai+a2+a3+an,Sn=an+an-l+H,口nai+an+得：Sn=2.兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元.(i)若奇揚個藪血琴差藪加五而為定而此時設(shè)有，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,.(2),一褥藪T藪正建藪江j濡對j'而T而正為二:a二3&a二da工dial:二:其余客項商旅推舉至藪麗而定爻

5、龍行而森設(shè)元.四種方公一等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于n>2的任意自然數(shù)，驗證anani為同一常數(shù)；*(2)等差中項法：驗證2ani=an+an2(n>3,nCN)都成立；(3)通項公式法：驗證an=pn+q;(4)前n項和公式法：驗證&=An2+Bn注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.回顧:考點1:等差數(shù)列的通項與前n項和題型i：已知等差數(shù)列的某些項，求某項【解題思路】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法【例1】已知an為等差數(shù)列，a15=8,a60=20,則a75=415飛信=a+14d=864,解：方法1：方法2:

6、方法3:=a二,d、a60=a1+59d=2015644.a75=a174d74247511515.a60-ai520-84d=一，60-1545154a75=a60(75-60)d=2015=2415a,b45人15a+b=8令an=an+b,則1二£0a+b=20a75=75ab=75168=24453方法4：??！an為等差數(shù)列,aa15,a30,a45,a60,a75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為di,則a15為首項，a60為第4項.,a60=a153d1=20=83d=d1=4.a75=a60d1=204=24方法5：丫On為等差數(shù)列，(15,a15),(60,a60),(75,a

7、75)三點共線a60-a15a75-a6020-8a75-20a75=2460-1575-604515對應(yīng)練習：1、已知an為等差數(shù)列，am=p,an=q(m,n,k互不相等)，求ak.2、已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為165,求這5個數(shù).題型2：已知前n項和Sn及其某項，求項數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n_1）d求出a1及d，代入Sn可求項數(shù)n；利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出a1+an,代入Sn可求項數(shù)n.【例2】已知Sn為等差數(shù)列&n的前n項和，a4=9,a9=-6,Sn=63,求n.口+3d=9解：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則=

8、a1=18,d=3©1+8d=-6一一3，、-八Sn=18n-n（n-1）=63=n1=6,n2=72對應(yīng)練習：3、若一個等差數(shù)列的前4項和為36,后4項和為124,且所有項的和為780,求這個數(shù)列的項數(shù)n.4.已知Sn為等差數(shù)列an）的前n項和，a1=1,a4=7,Sn=100,則n=.題型3:求等差數(shù)列的前n項和【解題思路】（1）利用Sn求出an,把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題(2)含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論【例3】已知sn為等差數(shù)列an的前n項和，Sn=12nn2.ai|+,2+a3;求ai|+忖2+a3+aio；求ai|十忖2+a31十十a(chǎn)n.一一2

9、解：:Sn=12nn,，當n=1時，ai=S=121=11,當n之2時，2_2_an=Sn-Sn=(12n-n)-12(n-1)+(n-1)=13-2n,當n=1時，132父1=11=a1，an=132n.13由an=132n*0,得nM,二當1EnE6時，an>0；當n之7時,2an：二0.ai+a2+a3=ai+a2*a3=S3=12M3_不=27；(2)a+卜|+a3+|aio|=a+a2+a3+a6-(a?+a8+a§+aw)=2S6-G0=2(12父6-62)-(1210-102)=52；(3)1<n<6時，2ai十a(chǎn)2|十a(chǎn)3十十a(chǎn)n=a+a2+a3+a

10、n=12nn,當n>7時，&+a?|+a3+國=a+a?+a3+a6(a?+a8+an)=2S6-Sn=2(126-62)-(12n-n2)=n2-12n72.對應(yīng)練習：5、已知Sn為等差數(shù)列的前n項和，60=100,S100=10,求S110.考點2:證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義法：an書an=d（nwN十，d是常數(shù)）uGn是等差數(shù)列；2、中項法：2an=an+an也（nwN+）uaj是等差數(shù)列；3、通項公式法：an=kn+b（k,b是常數(shù)）uan是等差數(shù)列；4、項和公式法：Sn=An2+Bn（A,B是常數(shù)，A/0）uaj是等差數(shù)列.

11、Sc【例4】已知sn為等差數(shù)列Gn的前n項和，bn=（nwN十）.n求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列.解：方法1：設(shè)等差數(shù)列QJ的公差為d,Sn=na1n（n1）d,2bn=&=a1（n-1）dn21 1d,bn+-bn=a1+-nd-a1-（n-1）d=（吊數(shù)）2 22,數(shù)列bn是等差數(shù)列.S1.萬法2：-bn=3=a1十一（n-1）d,n21 .1.3書=a一nd,bn_2=a1（n+1）d2 21 1_bn七+bn=a1+（n+1）d+a1+-（n-1）d=2a1+nd=2bn由，2 2,數(shù)列bn是等差數(shù)列.對應(yīng)練習：6、設(shè)Sn為數(shù)列.n的前n項和，Sn=pnan（n亡N+）,a1=a2

12、.(1)常數(shù)p的值；(2)證：數(shù)列an是等差數(shù)列考點3:【解題思路】【例5】2Smn_.解:等差數(shù)列的性質(zhì)利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.1、已知Sn為等差數(shù)列Ln的前n項和，a6=100，則S11=、知Sn為等差數(shù)列ian)的前n項和，Sn=m,Sm=n(n=m),則彳11(a1a11)112a61、S11=''=一彳6=11a6=1100；2、方法1：令Sn=An2+Bn,則2AnBn=m2AmBm=n22、A(nm)B(nm);mn.丫n#m,二A(n+m)+B=1,2,Sm4n=A(m+n)+B(m+n)=-(m+n);方法2：不妨設(shè)m>no0.o(m-力.am)Sm

13、Sn_an，1an2an3am4amn2a1+am+-an噂*am-2,二(m+nXaLm+n)；2方法3:丁an是等差數(shù)列，工之卜為等差數(shù)列n,nm,-mSm-nnmnm=Smn=-(mn).n對應(yīng)練習：7、含2n+1個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為(2n1n1nn-1n1A.B-C.D.SnTnnnn2n8.設(shè)Sn、Tn分別是等差數(shù)列an、an的前n項和,a5b5考點4:等差數(shù)列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用an與Sn的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項公式可求;2、求出Tn后，判斷Tn的單調(diào)性.12111【例6】已知Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn=n2+n；數(shù)列bj滿足：b3=11

14、,22bn42=2bn+bn,其前9項和為153.數(shù)列A、&n的通項公式；6k僅Tn為數(shù)列n的刖n項和，cn=,求使不等式Tn>(2an-11)(2bn-1)57對VnnN+都成立的最大正整數(shù)k的值.一1211解：;Sn=1n2+11n,22二當n=1時，a1=S1=6；當n之2時CO12111211.=Sn2nn-2-(n-1)-2(n-1)n5當n=1時，1+5=6=a1,，an=n+5;bb-bn_2=2bn+bn=bn4r=四，二1bn是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.2bi=5,d=3,b+2d=119b+36d=153J,bn=53(n-1)=3=(2an-11)(

15、2bn-1)62(n-5)-1112(3n2)-11(2n-1)(2n1)2n-12n1Tn11111=(1-一).()().335572n-112n1)=1-12n1:nwN十,Tn是單調(diào)遞增數(shù)列_12二當n=1時，(Tn'in=丁1=1_,=彳33_k-_k2k.:Tn>三對Vn匚N商B成立u(Tnmin>AU=k<385757357二所求最大正整數(shù)k的值為37.對應(yīng)練習：9.已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=3,SnSn,=2an(n22).數(shù)列Qn的通項公式;數(shù)列an中是否存在正整數(shù)k,使得不等式ak>ak由對任意不小于k的正整數(shù)都成立？若存在，求最小

16、的正整數(shù)k,若不存在，說明理由.課后練習：1 .（2010廣雅中學）設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=8,a15=5,Sn是數(shù)列an的前n項和，則A-So=S1B.So>S11CS9=SoD.S9<So2 .在等差數(shù)列an中，a5=120,則a2+a4+a6+a8=3 .數(shù)列an中，an=2n-49，當數(shù)列Qn1的前n項和Sn取得最小值時，n=.4 .已知等差數(shù)列Gn共有10項，其奇數(shù)項之和為10,偶數(shù)項之和為30,則其公差是_.5 .設(shè)數(shù)列an中，a1=2,an+=an+n+1,則通項an6 .從正整數(shù)數(shù)列1,2,3,4,5；中刪去所有的平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的第196

17、4項是答案與解析:對應(yīng)練習:1、【解析】am-=ak-anm-nk-n_p(k-n)q(m-k)m-n2、【解析】設(shè)這5個數(shù)分別為a2d,ad,a,a+d,a+2d.則(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5,a=13_2222_2_-32_2_(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=1655a2+10d2=165解彳導(dǎo)a=1,d=4當a=1,d=4時，這5個數(shù)分別為：一7,3,1,5,9；當a=1,d=4時，這5個數(shù)分別為：9,5,1,3,7.3、【解析】:a+a2+a3+a4=36,an+an二十a(chǎn)n二十a(chǎn)n=124a1an=a2-am,”3&#

18、39;anN=a4'anj3.4(a1an)=160=a1an=40一n(a1an).Sn=-(-1n2=780=20n=780=n=3924、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d=a4-：1=二1=24-13c1，八一“Sn=n-n(n-1)2=100=n=10.5、【解析】方法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則11；10a+45d=100="50J00a1+4950d=10d_1099工100_1二§10=110al+一父110M109d=110；2方法2：S100-S10=90=a100)=-9an-a。=-22_110(a1,a110)110(a11.a100)S110=;=;=-110226、【解析】:sn=pnan,a1=a2,二a1=pa1np=1由知：Sn=nan,當n之2時an=Sn-Sn=nan-(n-1)an.=(n-1)(an-am)=0,anan.=0(n之2),J.數(shù)列%n是等差數(shù)列.本兩小題有多種解法）S偶a1-a2n1=a2a2nSwn1-=.選B.S禺n65121首項為1.3anS2nl