數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---數(shù)形結(jié)合在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、 數(shù)形結(jié)合在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用學(xué)生姓名：馬文靜 指導(dǎo)教師：郝建華引言：數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一,是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。華羅庚先生曾指出:數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非。就代數(shù)本身而言，缺乏直觀性，就幾何本身而言，缺乏嚴(yán)密性。只有將二者有機地結(jié)合起來，互相取長補短，才能突破思維的限制，加快數(shù)學(xué)的發(fā)展。法國數(shù)學(xué)家拉格朗日所指出的“只要代數(shù)同幾何分道揚鑲，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”。 在解決數(shù)學(xué)問題時,將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合,實現(xiàn)抽象的概念與具體形

2、象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,使數(shù)與形的信息相互滲透,可以開拓我們的解題思路,使許多數(shù)學(xué)問題簡單化。一、利用數(shù)形結(jié)合思想解代數(shù)問題借助圖形直觀地研究數(shù)學(xué)問題,不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解,而且還可以簡化運算過程。（一）利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程問題1.利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題利用函數(shù)y=f(x)的圖象直觀解決問題。 例1:a為何值時,方程的兩根在(-1,1)之內(nèi)? 圖1分析:顯然0,我們可從已知方程聯(lián)想到相應(yīng)的二次函數(shù)的草圖,從圖像上我們可以看出,要使拋物線與x軸的兩個交點在(-1,1)之間,必須滿足條件:f(-1)>0 即 f(1)>0 從而可解得a的取值范圍為a或a且

3、a±1.例2：如果方程的兩個實根在方程的兩實根之間,試求a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式. 圖2分析:我們可聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.這兩個函數(shù)圖像都是開口向上,形狀相同且有公共對稱軸的拋物線(如圖2).要使方程的兩實根在方程的兩實根之間,則對應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸的交點應(yīng)在函數(shù)圖像與x軸的交點之內(nèi),它等價于拋物線的頂點縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線的頂點縱坐標(biāo).由配方法可知與的頂點分別為: .故.故可求出a與k滿足的關(guān)系式為: .2.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題通過構(gòu)造函數(shù),把求方程解的問題,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題.例3:解方程. 圖3分析:由方程兩邊的表達式我們可以聯(lián)想起函數(shù)與y=

4、2-x,作出這兩個函數(shù)的圖像,這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為方程的近似解,可以看出方程的近似解為x0.4.（二）利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式的證明和求解問題1.利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集時,只要聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像,確定拋物線的開口方向和與x軸的交點情況,便可直觀地看出所求不等式的解集.例4:解不等式. 圖4分析:我們可先聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像(見圖4).從解得,知該拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)為-2,3,當(dāng)x取交點兩側(cè)的值時,即x<-2或x>3時,y>0.即.故可得不等式 的解集為:x|x<-2或x>3.2.利用三角函數(shù)的圖像解不

5、等式通過構(gòu)造函數(shù),把不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的關(guān)系問題.如:例5:解不等式|cosx|>|sinx|,x0,2.圖5 分析:不等式兩邊的表達式我們可以看成兩個函數(shù)=|cosx|, =|sinx|.在0,2上作出它們的圖像(圖5),得到四個不同的交點,橫坐標(biāo)分別為: , , , ,而當(dāng)x在區(qū)間0, ),( , ),( ,2內(nèi)時, =|cosx|的圖像都在=|sinx|的圖像上方.所以可得到原不等式的解集為:0x< 或<x< 或<x2.3.利用單位圓中的有向線段解決三角不等式問題在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線,余弦線,正切線,并利用三角函數(shù)線可作出對應(yīng)

6、三角函數(shù)的圖像.如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線,應(yīng)用它解決三角不等式問題,簡便易行.例6:解不等式sinx> . 圖6分析:因為正弦線在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示.我們先在y軸上取一點P,使OP= 恰好表示角x的正弦線sinx= ,過點P作x軸的平行線交單位圓于點 , (如圖6),在內(nèi), 分別對應(yīng)于角,(這時所對應(yīng)的正弦值恰好為).而要求sinx> 的解集,只需將弦向上平移,使重合(也即點P向上平移至與單位圓交點處).這樣所掃過的范圍即為所求的角.原不等式的解集為:x|2k- <x<2k+ ,kZ.4.利用三角形的二邊和大于第三邊關(guān)系和余弦定

7、理證明不等式對于有些不等式證明,可造圖形,使之與三角形的三邊相聯(lián)系,利用三角形的二邊之和大于第三邊來證。例7:已知,均為實數(shù),求證: Oyx 圖7證明:如圖(7)由確定點 ()和 ()則|= |+|= 在中|+|例8:已知x,y,z均為正數(shù)。求證: 圖8分析:結(jié)論表述的內(nèi)容與“三角形兩邊之和大于第三條邊”相似,而被開方數(shù)可以看成是余弦定理的結(jié)果,這樣可以“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”來求解.構(gòu)造圖形如圖所示,作射線OA,OB,OC,使得AOB=BOC=COA=,分別取線段OA=x,OB=y,OC=z,連接AB,BC,AC得到ABC,則AB=,BC=,AC=則在ABC中有AB+AC>BC,結(jié)論成立。5

8、.利用圓上點到直線的距離關(guān)系證明不等式對于有些條件不等式證明,可與圓和直線聯(lián)系起來,證題過程能簡化。例9:設(shè)a、b、x、y都是實數(shù),且,求證: |ax+by |1.Oyx 圖9證明:如圖(9),設(shè)直線ax +b y =0因為是以原點為圓心,1為半徑的圓,且點(a、b)在圓上所以|ax+by|是圓上所有的點到直線ax+by =0的距離,由圖可知|ax+by |1|ax+by |16.利用圓與直線上點的位置關(guān)系解不等式對于有些解不等式的問題,可與圓和直線上的點的位置相聯(lián)系,能較容易解決。例10：求不等式 (a0)的解。 圖10 圖11解:令分別作出圖象, 是以原點為圓心,以|a |為半徑的圓的上半

9、部分(0); 是斜率為2,y軸上截距為a的直線,分a >0及a <0兩種情況討論。設(shè)直線與半圓交點為P,其橫坐標(biāo)為。若a >0,見圖(10)則=0。因此須當(dāng)-a <x <0時,才有若a <0,見圖(11)則須當(dāng)a <x <時,才有。故求出即可。由變形x(5x+4a) =0,有x =0或x =因>0,應(yīng)取=。綜上,本題的解為a >0時, -ax <0,a <0時,ax <（三）利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)值大小比較問題一些數(shù)值大小的比較,我們可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值,利用它們圖像的直觀性進行比較.例11:試判斷三個數(shù)間的大

10、小順序. 圖12分析:這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù): 在x=0.3時,對應(yīng)的函數(shù)值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個函數(shù)的圖像(如圖12),從圖像可以直觀地看出當(dāng)x=0.3時,所對應(yīng)的三個點的位置,從而可得出結(jié)論: .例12:對每個實數(shù)X，設(shè)f(x)取4x+1,x+2，-2x+4中的最小值，那么f(x)最大值是多少? 圖13分析與解答:此題就其本身而言，是一個純粹的代數(shù)問題。若不采用數(shù)形結(jié)合的辦法，而采用一般的辦法，需要通過比較4x+1，x+2,-2x+4的大小，將分段地表示出來，然后求每一段的最大值，工作量很大.如果我們采用數(shù)形結(jié)合的辦法，就容易對得多。如圖:函數(shù)y=f(x)的圖像是圖中的實線，函數(shù)

11、y=f(x)的最大值對應(yīng)圖上A點的縱坐標(biāo)，由圖可見A點是直線y=x+2和y=-2x+4的交點，聯(lián)立y=x+2,y=-2x+4解得x=，y=所以f(x)的最大值是.（四）利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題1.利用文氏圖解決集合之間的關(guān)系問題利用文氏圖解決集合之間的關(guān)系問題一般用圓來表示集合,兩圓相交則表示兩集合有公共元素,兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素.利用文氏圖能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題.例13:有48名學(xué)生,每人至少參加一個活動小組,參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28,25,15,同時參加數(shù)理小組的8人,同時參加數(shù)化小組的6人,同時參加理化小組的7人,問同時參加數(shù)理化小組的有多少人? 圖

12、14分析:我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)(如圖14),則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù).用n表示集合的元素,則有:n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)=48即:28+25+15-8-6-7+n(ABC)=48.n(ABC)=1,即同時參加數(shù)理化小組的有1人.2.利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)問題例14:己知集合A=x|-1<x<3,B=x|a<x<3a,(aR)(1)若A B,求a的范圍.(2)若B A,求a的范圍. 圖15 圖16分析:先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍,要使A B,由包含關(guān)系可知集合B應(yīng)該

13、覆蓋集合A,從而有:a-13a3.這時a的值不可能存在.要使B A,當(dāng)a>0時集合A應(yīng)該覆蓋集合B,應(yīng)有a-13a3a>0.成立,即0<a1.當(dāng)a=0時,B=,顯然BA成立.故BA時的取值范圍為:0a1.（五）構(gòu)造輔助圖形,解答某些代數(shù)綜合題例15:求證: (a與c、b與d不同時相等). 圖17分析:考察不等號兩邊,其形式類同平面上兩點間距離公式.在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)A(a, b),B(c, d), O(0,0)如圖17.|AB|=,|AO| =,|BO|=,當(dāng)A、B、O三點不共線時,|AB|<|AO|+|BO|.當(dāng)A、B、O三點共線,且A、B在O點同側(cè)時,|AB|&l

14、t;|AO|+|BO|.當(dāng)A、B、O三點共線,且A、B在O點異側(cè)時,或A、B之一與原點O重合時,|AB|=|AO|+|BO|.綜上可證.例16:求的最小值,并求出相應(yīng)的值。 圖18分析:將上式根號內(nèi)的式子整理。得,將所求最小值看成點A(x,0)到B(-2,1)和C(1,3)的距離最短的問題。即在x軸上求一點A,使得的值最小。如圖,由于B,C在x軸的同側(cè),作出點c關(guān)于x軸的對稱點C'(1,-3),則B,A,C'三點共線時最短,此時,利用兩點間距離公式得,利用兩點式可寫出直線BC方程為:4x+3y+5=0,令y=0,得x=-,故當(dāng)x=-時=5。我們還可以將此解題方法進一步延伸求解形

15、如的函數(shù)極值問題,如:求函數(shù)的最小值,并問此時x應(yīng)取怎樣的實數(shù)值?很顯然,將上式變形后,此時很容易看出,極值的幾何意義十分明顯,f(x,y)表示動點P(x,y)到兩點A(0,1),B(2,-2)距離和的最小值,顯然P必在這兩點A,B的連線段上。例17:求函數(shù)的最大值和最小值. 圖19分析:從表面上看這是求“數(shù)”的最值,但無法作出其函數(shù)圖像.從函數(shù)的角度思考難度相當(dāng)大,但如果聯(lián)想到“兩點連線的斜率”那么就可以將其轉(zhuǎn)化為“形”來求解了。如圖,令y'=sinx,x=cosx,則,于是在坐標(biāo)系中單位圓上的M與點P(-2,3)的連線斜率就是原函數(shù)的值.當(dāng)MP與O'相切時,斜率取最小值,因

16、而使原點到直線MP:y'-3=k(x'+2)的距離為1的值的就是原函數(shù)中y的值,從而需解方程=1,就可以得值: 。此題還可以從另外一個角度入手,仍然利用數(shù)形結(jié)合的方法考慮。令x=2+cosxy=sinx-3則有問題轉(zhuǎn)化為求圓的點與原點連線的斜率的最大值和最小值,顯然直線Y=kX與圓相切時k有最值,將Y=kX帶入圓令判別式等于零,可求出k,結(jié)合圖形可知,仍可得出上面的答案。二、利用數(shù)形結(jié)合解幾何問題有些較難的幾何證明題,學(xué)生看到后往往眼花繚亂,無從下手,此時若借助于代數(shù)的方法,可較快地尋求到解題途徑。例18:如圖20,過正方形ABCD的頂點C任作一直線與AB,AD的延長線分別交于

17、E,F。求證:AE +AF4AB。 圖20分析:這是“形”的問題,但要直接從“形”入手很棘手。引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論變?yōu)?從此式形式上看,聯(lián)想起一元二次方程根的判別式,從而把“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題來解決。證:設(shè)AB = a, AE =m, AF = n。連結(jié)AC,則,即m, n是方程的2根,而m, n為實數(shù),故=0,又p>0,所以p4a,即AE+AF4AB。于是這個較難的問題也就容易解決了。例19:如圖21所示，已知圓O的三條弦PP1，RR1，QQ1兩兩相交,交點分別為A，B，C，且AP=BQ=CR，AR1=BP1=CQ1.求證：ABC為正三角形. 圖21解析:如圖21所示，設(shè)BC=x，

18、CA=y，AB=z，AP=BQ=CR=m，AR1=BP1=CQ1=n.由相交弦定理列出方程組有m（x+n）=n（z+m），化簡得，mx=nz，m（y+n）=n（x+m）， my=nx，m（z+n）=n（y+m）. mz=ny.上述三式對應(yīng)相加，得m（x+y+z）=n（x+y+z），即m=n.由m=n可推出x=y=z，所以ABC為正三角形.例20:在棱長為1的正方體ABCD中，E、F分別為、DB的中點，G在棱CD上，CG= ，H是的中點.（1）求證：EF；（2）求EF與所成角的余弦值；（3）求FH的長.圖22解析:取頂點D為坐標(biāo)原點O，建立如圖22所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.依題意有E(0，

19、0，），F(xiàn)(，0），C(0，1，0），（1，1，1）， (0，1，1），G(0，0）.（1）=( ，0）-(0，0，）=( ，- ），=(0，1，0）-(1，1，1）=(-1，0，-1），·=( ，- ）·(-1，0，-1）=-+0+=0.EF.（2）=(0，0）-(0，1，1）=(0，-，-1），·=( ，- ）·(0，-，-1）=0-+=.又，cos<, >=.故EF與所成角的余弦值為.（3）H是的中點，H點的坐標(biāo)為（0，）.= （0，）-(，0）=(- ,），F(xiàn)H=,故FH的長為.三、結(jié)論總之,正確理解“數(shù)”與“形”的相對性,使之有機地

20、結(jié)合起來,掌握好度,對順利解題很有好處。經(jīng)驗告訴我們,當(dāng)尋找解題思路發(fā)生困難時,不妨用數(shù)形結(jié)合的觀點去探索;當(dāng)解題過程中的復(fù)雜運算使人望而生畏時,不妨用數(shù)形結(jié)合的觀點去開辟新徑。當(dāng)然,要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法,就要熟悉某些問題的圖形背景,熟悉有關(guān)數(shù)學(xué)式中各參數(shù)的幾何意義,建立結(jié)合圖形思考問題的習(xí)慣,在學(xué)習(xí)中不斷摸索,積累經(jīng)驗,加深和加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運用。致謝：感謝我的導(dǎo)師郝建華老師，他嚴(yán)謹(jǐn)細致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；他循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。 這片論文的每個細節(jié)和每個數(shù)據(jù)，都離不開你的細心指導(dǎo)。導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精

21、益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！ 參考文獻： 1. 邱海泉,淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,河北理科教學(xué)研究J,2005年第3期。 2. 張宏良，淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，衡水學(xué)院學(xué)報J，2005年第1期。 3. 劉佩和，若干不等式的數(shù)形結(jié)合證法與解法，湖北成人教育學(xué)院學(xué)報J，2008年第1 期。 4. 鄒良量，數(shù)、形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用，廣西輕工業(yè)J，2008年第6期。 5. 朱詩林，淺談初中數(shù)學(xué)

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