北京市一零一中學(xué)高二上學(xué)期期末考試(數(shù)學(xué)理)

1、北京一零一中一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理科）、選擇題：本大題共 8小題，共40分.1.已知ot,P是兩個(gè)不同平面，直線m二a ,那么“ m _L P ”是“ 口 _L P ”的（A.充分不必要條件C.充要條件2.如圖所示是A. 1B. 必要不充分條件D.既不充分也不必要的條件個(gè)幾何體的三視圖,B. 2C. 3則在此幾何體中，直角三角形的個(gè)數(shù)是 （）D. 4i1主視圖側(cè)視圖3.橢圓2x my2=1的離心率為A.,1C. 2 或一2D.二或 44俯視圖4 .設(shè)拋物線=8x上一點(diǎn)M至U y軸的距離為4,則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離是A. 12B. 8C. 6D.5 .已知f （x） =x3 -ax在區(qū)間

2、1,也）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值為（）A. 3B. 2C. 1D. 06 .已知 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f'(x) =a(x+1)(x a),若 f(x)在x=a處取得極大值，則a的取值范圍是A. (0*)B . (-1,0)C. S1) D .(3,0)7.如圖，E為正方體ABCD ABiGD的棱AA的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上一點(diǎn),C1EF =90',則AF:FBA. 1:1.1: 2 C . 1: 3 D1： 48.設(shè)雙曲線2 x2 a2方=1（ a > 0,b > 0）的漸近線與拋物線2y = x +1相切，則該雙曲線的離心率為（D.3c6二、填空題:每小題 5分，

3、共30分.9 .函數(shù)f（x） =lnxx的單調(diào)減區(qū)間是2210 .已知F1、F2是橢圓C: 、+上=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且 NF1PF2=90',則&PF1F2的 259面積11 .如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD ABQ1D1中，AB = BC=2, A1D與BC1所成角為90：,則直線BG與平面BBQQ所成角的大小為 .12 .函數(shù)y = f(x)的圖象在點(diǎn)(3, f(3)處的切線方程是y = x+4 ,則f(3)+f '(金1113 .已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,2),且與拋物線y =4x交于A(x1, y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則一 + = 小y214 .如圖，正

4、四面體ABCD的頂點(diǎn)A、B、C分別在兩兩垂直的三條射線 Ox、Oy、Oz上，給出下列四個(gè)命題：多面體O - ABC是正三棱錐；直線OB / /平面ACD ；直線AD與OB所成的角為45"二面角D -OB A為45 .其中真命題有 (寫出所有真命題的序號(hào))參考答案一、選擇題：本大題共 8小題，共40分。題號(hào)12345678答案ACDCABCB、填空題：本大題共 6小題，共30分。9. _(1*) ;10. 9_ _;11. 3012 . 0 ;13. _1 ;14.一2一三、解答題：本大題共 4小題，共50分。.一315 .已知函數(shù)f (x) =x.x(i)求曲線y = f (x)在點(diǎn)

5、(2, f (2)處的切線方程;(n)求函數(shù)f (x)在區(qū)間1,3上的最大值和最小值解：(I) 7x 4y -12 =0E) ymax=f(3)=2, ymin=f(1) = -216 .如圖，正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1中，AA1 =2AB = 4,點(diǎn)E在CC1上且C1E = 3EC，點(diǎn)F是線段CCi的中點(diǎn)(I)證明：AF /平面BED ;(n)求二面角 A -DB A的正切值；(出)求三棱錐FBED的體積.解：(I)略(n)二面角 ADBA的正切值為2五.八 _ 2(山)三棱錐F -BED的體積為-317 .已知函數(shù)f (x) =(x2+ax -2a2+3a)ex(xw R),若

6、a w R ,求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：f'(x) = x2 (a 2)x-2a2 4a Lx.令f'(x)=0,解得x=-2a,或乂=2-2.以下分三種情況討論。2(1)右a > ，則2av a-2.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)的變化情況如下表: 3x(, 2a )-2a(-2a, a - 2)a -2(a-2,+的)+0一0+/極大值極小值/所以f(x)在(*,2a),(a2,+比)內(nèi)是增函數(shù)，在(2a, a 2)內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)f (x)在x = -2a處取得極大值f(-2a),且f (-2a) =3ae4a.函數(shù)f (x)在x = a -2處取

7、得極小值 f(a-2),且f (a -2) = (4 - 3a)ea：2(2)若av2,則-2a> a -2,當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f (x)的變化情況如下表：3x(-°o, a -2)a -2(a -2,-2a)-2a(-2a, + )+0一0+/極大值極小值/所以f(x)在(3，a-2),(-2a,十m)內(nèi)是增函數(shù)，在(a-2,-2a)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)£0)在乂=2- 2處取得極大值f(a-2),且f (a - 2) = (4 - 3a)ea，函數(shù)f (x)在x = -2a處取得極小值f(-2a),且f (-2a) =3aea.2(3)右a =，則-2

8、a = a-2,函數(shù)f (x)在(，+出單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值3B兩點(diǎn),18 .已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于OA+OB與向量a=(3,1)共線.(I)求橢圓的離心率;(n)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 OM =?.OA + NOB (九卅w R),證明/ + R2為定值.22解：設(shè)橢圓方程為x2、=l(a b . 0), F (c,0) a b22化簡(jiǎn)得則直線AB的方程為y =xc,代入 與+4=1, a b,2, 2、 222 22, 2(a b )x -2a cx a c -a b =0.令 A (x1，yi), B(x2，y2),則 xi

9、 +x22a2c-222 , x1x2 二a b2 22, 2a c -a b272a b由 OA+OB =(X +x2，y1 +y2),a=(3,1),OA + OB與 a共線，得. Xi x2 322, 2 6ac =y a -b =，33(y1 +y2)十(xi +x2)=0，又 y =x -c, y2 = x2 -c,3(x1 x2 -2c)(x1x2) = 0,2即等三=3c,所以a2 =3b2.a b 2故離心率e = ° a22(II )證明：(1)知a2=3b2,所以橢圓 與+，7=1可化為x2+3y2=3b2.a b設(shè) OM =(x,y),由已知得(x,y) = K(x，y1)+ N(x2, y?),x = Zx1 + Mx2, y = :兇 + Nx2.丁 M (x, y)在橢圓上,222.( x1+；x2)3(，y1+.：y2) =3b .即 X2(x12 +3y12) +N2(x2 +3y2)+2他(x1x2 +3y1y2) = 3b2.由(1)知 x1 x2 = 3c, a2 = 3 c2 ,b2 = 1 c2.1 22222 22. 2°a c -