不等式,函數(shù)與導數(shù)的解題方法,分類整理

1、【考向預測】函數(shù)是整個高中數(shù)學的主線，導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具，函數(shù)的單調性是函數(shù)最重要的性質之一，它與不等式的聯(lián)系非常密切本部分考查的內容主要有：函數(shù)的概念和性質，基本初等函數(shù)的圖象、性質、應用，導數(shù)的概念和應用，不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式考查學生的抽象思維能力、推理論證能力，運算求解能力及數(shù)學應用意識從高考卷來看，對這一部分內容的考查注重考查基礎知識和基本方法預測2014年四川高考關于不等式、函數(shù)與導數(shù)，仍會以考查函數(shù)的圖象與性質，利用導數(shù)解決函數(shù)、方程、不等式的綜合問題為熱點，知識載體主要是二次函數(shù)、三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)綜合題主要題型：

2、(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值問題或逆求參數(shù)取值范圍；(2)不等式、函數(shù)與導數(shù)綜合問題【問題引領】1函數(shù)yax32(a0，且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線1上，且m>0，n>0，則3mn的最小值為()A13B16C116D28【解析】函數(shù)yax32(a0，且a1)恒過定點(3，1)，又因為點A在直線1上，所以1，所以3mn(3mn)()1010216，所以3mn的最小值為16.【答案】B2設zxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為()A3 B2 C1 D0【解析】由zxy得yxz，作出的區(qū)域BCO如圖所示，平移直線yxz，由圖象可知當直線經過C點

3、時，直線的截距最大，此時z6，由解得所以k3，解得B(6，3)，代入zxy得最小值為z633.【答案】A3若函數(shù)f(x)loga(x3ax)(a>0，且a1)在區(qū)間(，0)內單調遞增，則a的取值范圍是()A，1) B，1) C，) D(，1)【解析】設(x)x3ax，當a(0，1)時，依題意有(x)x3ax在區(qū)間(，0)內單調遞減且(x)x3ax在(，0)上大于0.(x)3x2a即(x)0在(，0)恒成立a3x2在(，0)上恒成立x(，0)，3x2(0，)，a，此時(x)>0，a<1.當a>1時，(x)在區(qū)間(，0)內單調遞增，(x)3x2a在(，0)上大于0.a3x2

4、在(，0)上恒成立又3x2(0，)，a0與a>1矛盾綜上，a的取值范圍是，1)【答案】B4過點P(2，2)且與曲線y3xx3相切的直線方程是_【解析】設點(a，b)是曲線上的任意一點，則有b3aa3.導數(shù)y33x2，則切線的斜率k33a2，所以切線方程為yb(33a2)(xa)，即y(33a2)xa(33a2)b(33a2)x3a33a3aa3，整理得y(33a2)x2a3，將點P(2，2)代入得22(33a2)2a32a36a26，即a33a240，即a313a23(a31)3(a21)0，整理得(a1)(a2)20，解得a2或a1，代入切線方程得y9x16或y2.【答案】y9x16或

5、y25設函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且當x0，1時，f(x)x3.又函數(shù)g(x)|xcos(x)|，則函數(shù)h(x)g(x)f(x)在，上的零點個數(shù)為_【解析】原題轉化為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在，上有幾個交點問題可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故f(x)f(2x)f(x2)，所以函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)當x，0，時，g(x)0，當x1時，g(x)1，且g(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)值為非負，由此可畫出函數(shù)yg(x)和函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，由圖可知兩圖象有6個交點【答案】66設函數(shù)f(x)(2a)ln x2ax.(1)當a0時，求f(x)的極值；(2)當a0

6、時，求f(x)的單調區(qū)間【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，當a0時，f(x)2ln x，f(x).由f(x)0，得x.f(x)，f(x)隨x變化如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)極小值由上表可知，f(x)極小值f()22ln 2，沒有極大值(2)由題意，f(x).令f(x)0，得x1，x2.若a0，由f(x)0，得x(0，；由f(x)0，得x，)若a0, 當a2時，x(0，或x，)，f(x)0；x，f(x)0.當a2時，f(x)0.當2a0時，x(0，或x，)，f(x)0；x，f(x)0.綜上，當a0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0，單調遞增區(qū)間為，); 當a2時，函數(shù)的單調遞

7、減區(qū)間為(0，)，單調遞增區(qū)間為，; 當a2時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是(0，)；當2a0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0，)，單調遞增區(qū)間為，. 【診斷參考】1在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤解題時應根據(jù)已知條件適當進行添(拆)項，創(chuàng)造應用基本不等式的條件2線性規(guī)劃的逆向問題，解題的關鍵在于用數(shù)形結合思想確定何時取得最大值，從而建立不等關系求參數(shù)m的范圍解此題時很多學生因為目標函數(shù)中含參數(shù)而又無數(shù)形結合思想的應用意識，導致無從下手3已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍，首先要考慮定義域，即定義域優(yōu)先的原則其次要

8、注意復合函數(shù)的單調性，一定要注意內層與外層的單調性問題復合函數(shù)的單調性的法則是“同增異減”本題的易錯點為忽略函數(shù)的定義域，或僅考慮復合函數(shù)的內層函數(shù)的單調性4利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線是導數(shù)的重要應用之一，求曲線切線方程需注意以下幾點：確定已知點是否為曲線的切點是解題的關鍵；基本初等函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)運算法則是正確解決此類問題的保證；熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提5函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調性是函數(shù)的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數(shù)相結合，并以結合奇偶性求函數(shù)值為主在這類題目中，往往需借助函數(shù)的奇偶性或

9、周期性來實現(xiàn)區(qū)間的轉換對于判斷函數(shù)零點的問題要注意特殊點，如第5題中要注意到x0是函數(shù)h(x)的一個零點，此處極易被忽視；同時要正確畫出函數(shù)的圖象，將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題6含參數(shù)的導數(shù)問題是歷年高考命題的熱點由于含參數(shù)的導數(shù)問題在解答時往往需要對參數(shù)進行討論，因而它也是絕大多數(shù)考生答題的難點，具體表現(xiàn)在他們不知何時開始討論、怎樣去討論一般地，含參數(shù)的導數(shù)問題有三個基本討論點：(1)求導后，導函數(shù)為零有實根(或導函數(shù)的分子能分解因式)，但不知導函數(shù)為零的實根是否落在定義域內，從而引起討論(2)求導后，考慮導函數(shù)為零是否有實根(或導函數(shù)的分子能否分解因式)，從而引起討論(3)求導后，導

10、函數(shù)為零有實根(或導函數(shù)的分子能分解因式)，導函數(shù)為零的實根也落在定義域內，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論【知識整合】一、不等式的性質不等式共有六條性質兩條推論，要注意：1可加性：a>bac>bc.推論：同向不等式可加，a>b，c>dac>bd.2可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.推論：同向(正)可乘，a>b>0，c>d>0ac>bd.二、不等式的解法1一元二次不等式的解法：求不等式ax2bxc>0(a0)的解集，先求ax2bxc0的根，再根據(jù)二次函數(shù)yax2

11、bxc的圖象寫出解集2分式不等式：先將右邊化為零，左邊通分，轉化為整式不等式求解3一元三次不等式，用“穿針引線法”求解(穿根時要注意“奇穿偶不穿”)三、線性規(guī)則1解答線性規(guī)則的應用問題，其一般步驟如下：(1)設：設出所求的未知數(shù)；(2)列：列出約束條件及目標函數(shù)；(3)畫：畫出可行域；(4)移：將目標函數(shù)轉化為直線方程，平移直線，通過截距的最值找到目標函數(shù)的最值；(5)解：將直線的交點轉化為方程組的解，找到最優(yōu)解2求解整點最優(yōu)解有兩種方法：(1)平移求解法：先打網(wǎng)格，描整點，平移目標函數(shù)所在的直線l，最先經過的或最后經過的整點便是最優(yōu)整點解；(2)調整優(yōu)值法：先求非整優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方

12、程的知識調整最優(yōu)值，最后篩選出整點最優(yōu)解四、基本不等式1a，b都為正數(shù)，當且僅當ab時，等號成立2使用基本不等式時要注意“一正，二定，三相等”五、不等式常用結論1不等式恒成立問題的轉化方向：(1)分離參數(shù)，向最值轉化；(2)向函數(shù)圖象或轉化2已知x>0，y>0，則有：(1)若乘積xy為定值p，則當xy時，和xy有最小值2；(2)若和xy為定值s，則當xy時，乘積xy有最大值s2.六、函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系常用的函數(shù)表示法：解析法、列表法、圖象法七、函數(shù)的性質1函數(shù)解析式的常用求法：(1)待定系數(shù)法；(2)代換(配湊)法；(3)構造方程(組)法2函數(shù)定

13、義域的常用求法：(1)根據(jù)解析式的要求：偶次根式的被開方數(shù)不小于零、分母不能為零、對數(shù)中的真數(shù)大于零、對數(shù)中的底數(shù)大于零且不為1、零次冪的底數(shù)不為零等；(2)實際問題中要考慮變量的實際含義3函數(shù)值域(最值)的常用求法：(1)配方法(常用于二次函數(shù))；(2)換元法；(3)有界性法；(4)單調性法；(5)數(shù)形結合法；(6)判別式法；(7)不等式法；(8)導數(shù)法4函數(shù)的單調性：(1)定義法；(2)導數(shù)法；(3)復合函數(shù)法；(4)圖象法5函數(shù)的奇偶性：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質法6函數(shù)的周期性：(1)f(xT)f(x)(T0)，周期是T；(2)f(xa)f(xb)(ab)，周期是|ba|；

14、(3)f(xa)f(x)(a0)，周期是2a；(4)若f(xa)(a0，且f(x)0)，周期是2a；(5)f(xa)(a0且f(x)1)，周期是4a.7函數(shù)圖象的畫法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換八、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質九、導數(shù)及其應用1函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率2設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間可導，如果f(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)<0，則f(x)為減函數(shù)3可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為零且左右導數(shù)值異號(左正右負極大值，左負右正極小值)4可導函數(shù)在閉

15、區(qū)間內的最值：將閉區(qū)間內的極值與端點處的函數(shù)值相比較，大的就是最大值，小的就是最小值【考點聚焦】熱點一：不等式的性質、解法和應用不等式的性質、簡單不等式的解法、基本不等式是高考經?？疾榈膬热?，常見于選擇題或填空題中，以容易題、中等難度題為主，主要考查利用不等式的性質比較大小，解一元二次不等式、分式不等式，利用基本不等式求最值，求解過程中要注重對相關性質變形形式的理解和應用，同時注意思維的嚴謹性(1)(2013湖北卷)已知全集為R，集合Ax|()x1，Bx|x26x80，則ARB()Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x<2或x>4 Dx|0<x2或x4(2)已知兩條直線l1：y

16、m和l2：y(m0)，l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點A，B，l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點C，D.記曲線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m變化時，的最小值為_【分析】(1)分別利用指數(shù)的運算性質、一元二次不等式解法，求出集合A、B.(2)將A，B，C，D四點的橫坐標利用變量m表示出來，根據(jù)a，b為曲線段AC和BD在x軸上的投影長度，將利用變量m表示出來，然后利用基本不等式求出最值【解析】(1)易知集合Ax|x0，Bx|2x4，故RBx|x<2或x>4，從而ARBx|0x<2或x>4故選C.(2)在同一坐標系中作出ym，y

17、(m>0)，y|log2x|圖象如圖所示，由|log2x|m，得x12m，x22m，|log2x|，mm4，當且僅當m時，取“”號，()min8.【答案】(1)C(2)8【歸納拓展】(1)一元二次不等式的解法常與函數(shù)的零點、函數(shù)的值域、方程的根及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、抽象函數(shù)等交匯綜合考查解決此類問題可以根據(jù)一次、二次不等式，分式不等式，簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式的解法進行適當?shù)淖冃吻蠼?，也可以利用函?shù)的單調性把抽象不等式進行轉化求解(2)基本不等式多以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識為載體考查基本不等式求最值問題解決此類問題的關鍵是正確利用條件轉換成能利用基本不等式求解的形式，同時

18、要注意基本不等式的使用條件如本題中要能用拼湊法將m(m>0)化成利用基本不等式求最值的形式變式訓練1(1)已知aZ，關于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是()A13 B18 C21 D26(2)已知正實數(shù)a，b滿足a2b1，則a24b2的最小值為()A. B4 C. D.【解析】(1)設f(x)x26xa，其圖象是開口向上、對稱軸是x3的拋物線，如圖所示關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則即解得5<a8，又aZ，所以a6，7，8.則所有符合條件的a的值之和是67821.選C.(2)因為1a2b2ab，當且僅當a2b時取

19、等號又因為a24b22a·(2b)4ab.令tab，所以f(t)4t，又f(t)在(0，上單調遞減，所以f(t)minf().此時a2b.選D.【答案】(1)C(2)D熱點二：線性規(guī)劃線性規(guī)劃常出現(xiàn)在選擇題或填空題中，主要考查：已知約束條件，求目標函數(shù)的最值；已知目標函數(shù)的最值，求約束條件或目標函數(shù)中的參變量的取值范圍有時在解答題中考查以實際問題為背景求目標函數(shù)的最值一般為中等難度題，解決這類問題的關鍵是靈活應用數(shù)形結合思想定義在R上的函數(shù)yf(x)是減函數(shù)，且函數(shù)yf(x2)的圖象關于點(2，0)成中心對稱，若s，t滿足不等式組則當2s3時，2st的取值范圍是()A3，4 B3，9

20、 C4，6 D4，9【分析】要求2st的取值范圍，并且兩個變量s，t不存在等量關系，需要利用線性規(guī)劃求解因此要根據(jù)函數(shù)的性質和題意挖掘出兩個變量間的不等關系【解析】因為yf(x2)的圖象關于點(2，0)成中心對稱，所以函數(shù)f(x)關于原點對稱設z2st，作出不等式組對應的區(qū)域由z2st得st，平移直線st，由圖象可知，當直線st經過點C(0，2)時截距最小，此時z2st4；即E(3，3)，此時直線z2st的截距最大，為z2st2×339.所以42st9.所以選D.【答案】D【歸納拓展】本題命題角度新穎，不是直接給出線性約束條件和目標函數(shù)求最值，而是需要將所給不等式組進行合理轉化后，約

21、束條件才明朗對于這類問題，要通過兩個變量不存在確定關系，確定利用線性規(guī)劃求解，然后通過題目條件尋找兩個變量存在的所有不等關系，同時要注意深入挖掘題目條件變式訓練2設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxby(a0，b0)的最小值為2，則ab的最大值為()A1 B. C. D.【解析】由zaxby(a0，b0)得yx，可知斜率為0，作出可行域如圖，由圖象可知當直線yx經過點D時，直線yx的截距最小，此時z最小為2. 即D(2，3)，代入直線axby2，得2a3b2，又22a3b2，所以ab，當且僅當2a3b1，即a，b時取等號，所以ab的最大值為.選D.【答案】D熱點三：函數(shù)的圖象與性質函數(shù)的圖象與

22、性質作為高中數(shù)學的一個“重頭戲”，?？汲Ｐ?，主要從以下幾個方面考查：單調性的確定與應用，應用單調性求最值(值域)、比較大小、求參數(shù)的取值范圍等；奇偶性、周期性與函數(shù)的其他性質(如圖象的對稱性)的綜合問題；求函數(shù)的最值或應用函數(shù)的最值問題；函數(shù)圖象的判斷，及利用函數(shù)圖形研究函數(shù)性質考題既有選擇題、填空題，又有解答題，難度一般為中等偏上(1)函數(shù)ysin x的圖象大致是()(2)已知函數(shù)f(x)則f(x)的零點是_；f(x)的值域是_(3)已知函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上具有下列性質：直線x1是函數(shù)的一條對稱軸；f(x2)f(x)；當1x1x23時，f(x2)f(x1)·(x2x1)0，則f

23、(2011)、f(2012)、f(2013)從大到小的順序為_【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、正負性、零點，利用排除法，逐項排除(2)根據(jù)f(x)為分段函數(shù)，分段求出函數(shù)的零點和值域，但是要注意f(x)的值域是兩段的并集(3)根據(jù)確定函數(shù)的周期，根據(jù)確定函數(shù)在該區(qū)間的單調性，然后利用函數(shù)的周期性將f(2011)、f(2012)、f(2013)轉化到同一個單調區(qū)間，得出大小關系【解析】(1)函數(shù)yf(x)sin x為奇函數(shù)，所以圖象關于原點對稱，排除B.當x時，y0，排除D.f(x)cos x，由f(x)cos x0，得cos x，所以函數(shù)yf(x)sin x的極值有很多個，所以選C.(

24、2)當0x9時，由x0，得x0；當2x0時，由x2x0，得x1，所以函數(shù)零點為1和0.當0x9時，f(x)x，所以0f(x)3；當2x0時，f(x)x2x(x)2，所以此時f(x)2.綜上，f(x)3，即函數(shù)的值域為，3(3)由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以周期是4，所以f(2011)f(3)，f(2012)f(0)，f(2013)f(1)因為直線x1是函數(shù)f(x)的一條對稱軸，所以f(2012)f(0)f(2)由f(x2)f(x1)·(x2x1)0，可知當1x1x23時，函數(shù)單調遞減所以f(2013)f(2012)f(2011)【答案】(1)C(2)1和0，3 (3)

25、f(2013)f(2012)f(2011)【歸納拓展】(1)函數(shù)圖象的變換包括平移變換、伸縮變換和對稱變換，要記住它們的變換規(guī)律左加右減但要注意加、減指的是自變量，否則不成立；識圖時，要留意它們的變化趨勢，與坐標軸的交點及一些特殊點，特別是對稱性、周期性等特點，應引起足夠的重視(2)求函數(shù)的值域要記住各種基本函數(shù)的值域；要記住具有什么結構特點的函數(shù)用什么樣的方法求值域；對各種求函數(shù)值域的方法要熟悉，遇到求值域的問題，應注意選擇最優(yōu)解法；求函數(shù)的值域，不但要重視對應法則的作用，而且要特別注意定義域對值域的約束作用；函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題(3)抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質的

26、代數(shù)表述，綜合考查學生對數(shù)學符號語言的理解和接受能力，考查對函數(shù)性質的代數(shù)推理和論證能力，考查學生對一般和特殊關系的認識一般要先確定函數(shù)在某一個周期內的特點，再通過函數(shù)的對稱性、周期性確定函數(shù)在整個定義域上的特點，從而確定函數(shù)的性質變式訓練3(1)設ab，函數(shù)y(xa)2(xb)的圖象可能是()(2)若函數(shù)f(x)是R上的單調遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，2) B(，C(0，2) D，2)(3)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且當x0，2時，f(x)log2(x1)，給出下列四種說法：f(3)1；函數(shù)f(x)在6，2上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)關于直線x4對稱；若m

27、(0，1)，則關于x的方程f(x)m0在8，8上所有根之和為8.其中正確的序號有_【解析】(1)由圖象可知0ab.yf(x)(xa)2(xb)，則f(0)a2b0，排除A，C.當axb時，f(x)(xa)2(xb)0，排除D，選B.(3)由f(x4)f(x)得f(x8)f(x)，所以函數(shù)的周期是8.又函數(shù)為奇函數(shù)，所以由f(x4)f(x)f(x)，所以函數(shù)關于x2對稱同時f(x4)f(x)f(4x)，即f(x)f(4x)，函數(shù)也關于x2對稱，所以不正確又x0，2，函數(shù)f(x)log2(x1)單調遞增，所以當x2，2時函數(shù)遞增，又函數(shù)關于直線x2對稱，所以函數(shù)在6，2上是減函數(shù)，所以不正確f(3

28、)f(1)log221，所以f(3)1，故正確若m(0，1)，則關于x的方程f(x)m0在8，8上有4個根，其中兩個根關于x2對稱，另外兩個關于x6對稱，所以關于x2對稱的兩根之和為2×24，關于x6對稱的兩根之和為6×212，所以所有根之和為1248，所以正確所以正確的序號為. 【答案】(1)B(2)B(3)熱點四：函數(shù)與方程函數(shù)與方程在高考中多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度為中、低，主要考查函數(shù)圖象的交點、方程根的討論等，其中利用函數(shù)圖象判斷方程解的個數(shù)是高考命題的重點，在解題中要注意數(shù)形結合思想的應用設函數(shù)f(x)則方程f(x)x21的實數(shù)解的個數(shù)為_【分析】根據(jù)f(

29、x)為分段函數(shù)，因此分段判斷對方程化簡后，可將問題轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖象，通過圖象交點的個數(shù)，判斷解的個數(shù)【解析】當x0時，由f(x)x21得，x·2xx21，即2xx，在坐標系中，作出函數(shù)y2x，yx的圖象，由圖象可知，當x0時，有一個交點；當x0時，由f(x)x21得，2sin 2xx21，作出y2sin 2x，yx21的圖象，由圖象可知當x0時，兩個函數(shù)有2個交點所以總共有3個交點，即方程f(x)x21的實數(shù)解的個數(shù)為3.【答案】3 【歸納拓展】函數(shù)零點問題主要有四類：一是判斷函數(shù)零點或方程根的個數(shù)；二是利用函數(shù)零點確定函數(shù)的解析式；三是確定函數(shù)零點或方程根的取值范圍；四是利

30、用函數(shù)的零點或根的個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍解決這些問題主要用數(shù)形結合法變式訓練4函數(shù)f(x)cos xlog8x的零點個數(shù)為_【解析】由f(x)0，得cos xlog8x，設ycos x，ylog8x，作出函數(shù)ycos x，ylog8x的圖象，由圖象可知，函數(shù)的零點個數(shù)為3. 【答案】3熱點五：用導數(shù)研究函數(shù)的性質從近幾年的高考來看，用導數(shù)研究函數(shù)的性質主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值、最值問題一般是解答題，難度中等偏難解決該類問題要明確：導數(shù)為零的點不一定是極值點，導函數(shù)的變號零點才是函數(shù)的極值點；求單調區(qū)間時一定要注意函數(shù)的定義域；求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可已知函數(shù)f

31、(x). (1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值2，求a，b的值； (2)當2ba21時，討論函數(shù)f(x)的單調性【分析】(1)根據(jù)函數(shù)f(x)在x1處取得極值2，得出該點導數(shù)為0且函數(shù)值為2，構造a與b的方程；(2)求出函數(shù)f(x)導數(shù)，根據(jù)2ba21，將f(x)轉化為只有參數(shù)a，然后對a進行討論，判斷函數(shù)f(x)的單調性【解析】(1)f(x)(xR)，依題意有，f(1)0，f(1)2，解得b0，a4.經檢驗，a4，b0符合題意，所以a4，b0.(2)當2ba21時，f(x).當a0時，f(x)，令f(x)0，得x0.當x(，0)時，f(x)<0；當x(0，)時，f(x)>0，所以

32、減區(qū)間為(，0)，增區(qū)間為(0，)當a0時，令f(x)0，得x1，x2a，若a>0，則有<a，當x(，)或x(a，)時，f(x)>0；當x(，a)時，f(x)<0，所以增區(qū)間為(，)，(a，)，減區(qū)間為(，a)若a<0，則有>a，當x(，a)或x(，)時，f(x)<0；當x(a，)時，f(x)>0，所以增區(qū)間為(a，)，減區(qū)間為(，a)，(，)綜上所述：當a0時， f(x)的減區(qū)間為(，0)，增區(qū)間為(0，)；當a>0時， f(x)的增區(qū)間為(，)，(a，)，減區(qū)間為(，a)；當a<0時， 增區(qū)間為(a，)，減區(qū)間為(，a)，(，)【

33、歸納拓展】導數(shù)是研究函數(shù)單調性、極值、最值等性質的重要而有力的工具，其中單調性是函數(shù)最重要的性質之一，函數(shù)的極值、最值等問題的解決都離不開函數(shù)的單調性函數(shù)單調性的討論往往歸結為一個不等式、特別是一元二次不等式的討論，對一元二次不等式，在二次項系數(shù)的符號確定后就是根據(jù)其對應的一元二次方程兩個實根的大小進行討論，即分類討論的標準是先二次項系數(shù)、再根的大小變式訓練5已知函數(shù)f(x)xaln x在x1處取得極值，且a2.(1)求a與b滿足的關系式；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間. 【解析】(1)f(x)1，由f(1)0，得b1a.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，由(1)可得f(x)1.令f(x)

34、0，則x11，x2a1.因為a2，所以a11，x(0，1)1(1，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)所以單調遞增區(qū)間為(0，1)，(a1，)，單調遞減區(qū)間為(1，a1)熱點六：函數(shù)與方程、不等式的綜合函數(shù)與方程、不等式的綜合主要以導數(shù)為工具判斷方程的解、證明不等式、解決不等式恒成立問題，一般是綜合性比較強的解答題，難度比較大在求解過程中要注意轉化與化歸、數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的運用已知函數(shù)f(x)其中a是實數(shù)設A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的

35、切線互相垂直，且x2<0，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍【分析】(1)分段求導研究導函數(shù)的正負情況，注意定義域的影響；(2)根據(jù)切線互相垂直建立等式關系，再將x2 x1轉化為(2x12)(2x22)，利用基本不等式求出它的最小值；(3)根據(jù)兩切線重合得到關于a的恒成立問題，求出參數(shù)范圍【解析】(1)函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(，1)，單調遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)由導數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f(x1)，點B處的切線斜率為f(x2)，故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f(x1)f(x2)1.當x0時，對函數(shù)f

36、(x)求導，得f(x)2x2.因為x1x20，所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220.因此x2x1(2x12)2x221，當且僅當(2x12)2x221，即x1且x2時等號成立所以，函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，x2x1的最小值為1.(3)當x1x20或x2x10時，f(x1)f(x2)，故x10x2.當x10時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當x20時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即y·xln x21.兩切線

37、重合的充要條件是A.由及x10x2知，1x10.由得，axln 1xln(2x12)1.設h(x1)xln(2x12)1(1x10)，則h(x1)2x10.所以，h(x1)(1x10)是減函數(shù)則h(x1)h(0)ln 21.所以aln 21.又當x1(1，0)且趨近于1時，h(x1)無限增大所以a的取值范圍是(ln 21，)故當函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(ln 21，)【歸納拓展】導數(shù)是研究函數(shù)的重要手段，應該熟悉導數(shù)在研究函數(shù)的單調性、極值與最值中的基本應用，再在此基礎上學會研究不等式恒成立、求參數(shù)的范圍、不等式的證明的應用變式訓練6設函數(shù)f(x)ln xax

38、.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若a，g(x)x(f(x)1)(x1)，且g(x)在區(qū)間(k，k1)內存在極值，求整數(shù)k的值【解析】(1)由已知得x0，f(x)a. 當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)內單調遞增當a0時，由f(x)0，得1ax0，0x；由f(x)0，得1ax0，x. f(x)在(0，)內單調遞增，在(，)內單調遞減.(2)當a時， g(x)x(f(x)1)x(ln xx1)xln xxx2(x1)，g(x)ln xx2(x1)，令F(x)g(x)ln xx2(x1)，則F(x)10，F(xiàn)(x)在(1，)內單調遞減. F(1)10，F(xiàn)(2)ln 20，F(xiàn)(3)ln 3

39、32ln 310，F(xiàn)(4)ln 442ln 420，F(xiàn)(x)即g(x)在(3，4)內有零點，即g(x)在(3，4)內存在極值又g(x)在(k，k1)上存在極值，且kZ，k3. 已知函數(shù)f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)當x1，e時，求f(x)的最小值；(2)當a<1時，若存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范圍【分析】(1)求出f(x)，判斷函數(shù)f(x)的單調性，得出f(x)的最小值；(2)若存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f(x1)<g(x2)恒成立，則f(x1)min<g(x2)

40、min，構造兩個最值關系，求出a的取值范圍【解析】(1)f(x)的定義域為(0，), f(x)(aR)，當a1時，x1，e，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，f(x)minf(1)1a；當1<a<e時，x1，a，f(x)0，f(x)為減函數(shù)，xa，e，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，f(x)minf(a)a(a1)ln a1，當ae時，x1，e，f(x)0，f(x)為減函數(shù)，f(x)minf(e)e(a1).綜上，當a1時，f(x)min 1a；當1<a<e時，f(x)mina(a1)ln a1；當ae時，f(x)mine(a1).(2) 若存在x1e，e2，使得對任意的x2

41、2，0，f(x1)<g(x2)恒成立，即 f(x1)min<g(x2)min，當a<1時，由(1)可知，x1e，e2，f(x)為增函數(shù)，所以f(x1)minf(e)e(a1)，g(x)xexxexexx(1ex)，當x22，0時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，g(x2)ming(0)1，所以e(a1)<1，a>，故a(，1)【歸納拓展】(1)對于在指定區(qū)間上不等式的恒成立問題，一般要轉化為函數(shù)的最值問題加以解決，如果函數(shù)在這個指定的區(qū)間上沒有最值，則可轉化為求函數(shù)在這個區(qū)間上的值域，通過值域的端點值確定問題的答案(2)在不等式與函數(shù)導數(shù)綜合試題中，若遇到求參數(shù)的范

42、圍問題：不等式恒成立(或解集為R)，用分離參數(shù)法：a>f(x)a>f(x)max；a<f(x)a<f(x)min.不等式有解(解集非空)或存在性命題，用分離參數(shù)法：a>f(x)a>f(x)min；a<f(x)a<f(x)max.不等式解集為空集，用分離參數(shù)法：a>f(x)af(x)min；a<f(x)af(x)max.(3)利用導數(shù)證明不等式，關鍵是根據(jù)題意構造函數(shù)，并研究函數(shù)的單調性、極值或端點值，將不等式的證明問題轉化為函數(shù)的單調性問題或極值問題其步驟一般是：構造可導函數(shù)研究單調性或最值得出不等關系整理得出結論變式訓練7已知函數(shù)f

43、(x)(x2x)eax(a>0). (1)當a1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若不等式f(x)0對xR恒成立，求a的取值范圍【解析】對函數(shù)f(x)求導，得f(x)eax(ax2)(x1)，(1)當a1時，f(x)ex(x2)(x1)，令f(x)>0，解得 x>1或x<2；令f(x)<0，解得2<x<1.所以f(x)的單調增區(qū)間為(，2)和(1，)，f(x)的單調減區(qū)間為(2，1)(2)令f(x)0，即(ax2)(x1)0，解得x或x1.當a>0時，列表如下：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值對于x<，因為x2&

44、gt;0，x>，a>0，所以x2x>0，所以f(x)>0.對于x，由表可知函數(shù)在x1時取得最小值f(1) ea<0.所以，當xR時，f(x)minf(1)ea.由題意，不等式f(x)0對xR恒成立，所以得ea0，解得0<aln 5.限時訓練卷(一)一、選擇題1已知f(x)則f(2)的值是()A2B2C.D.【解析】作出線性約束條件的可行域，如圖所示，得最優(yōu)解為(3，1)，故z的最大值為zmax3×3110.【答案】A3已知f(x)ax3bx2cxd(a0)，記4(b23ac)，則當>0且a>0時，函數(shù)f(x)的大致圖象為( )【解析】f

45、(x)3ax22bxc，由>0且a>0可知yf(x)的圖象開口向上且與x軸有兩個交點，從左到右f(x)先正后負再正，函數(shù)f(x)的圖象從左到右是先上升再下降然后上升，選A.【答案】A4已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，則b的取值范圍為()A2，2 B(2，2) C1，3 D(1，3)【解析】因為f(x)ex1，g(x)x24x3，且f(a)g(b)，所以ea1b24b3，而ea>0，ea1>1，所以b24b3>1，b24b2<0，解得b的取值范圍為(2，2)【答案】B5已知點P(x，y)在經過A(3，0)，B(1，1)兩點的直

46、線上，則2x4y的最小值為()A2 B4 C16 D不存在【解析】根據(jù)題意，由于點P(x，y)在經過A(3，0)，B(1，1)兩點的直線上，AB: y(x3)，那么可得x2y3，則2x4y2x22y24，當x，y時等號成立，故答案為B.【答案】B6已知函數(shù)f(x)ln(3x)1，則f(lg 2)f(lg)等于()A1 B0 C1 D2【解析】根據(jù)題意，由于函數(shù)f(x)ln(3x)1，f(x)ln(3x)1ln(3x)1，因此f(x)f(x)2，故f(lg 2)f(lg )2.【答案】D7已知定義在R上的函數(shù)滿足f(2x)f(2x)，當x<2時，f(x)單調遞增，若x1x2<4且(x

47、12)(x22)<0，則f(x1)f(x2)的值()A可能為0 B恒大于0C恒小于0 D可正可負【解析】根據(jù)題意，由于定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(2x)，則說明函數(shù)關于(2，0)成對稱中心，那么當x<2時，f(x)單調遞增；當x>2時，函數(shù)f(x)單調遞增，又x1x2<4且(x12)(x22)<0，則可知f(x1)f(x2)恒小于0，故可知選C.【答案】C8對于函數(shù)yf(x)，如果存在區(qū)間m，n，同時滿足下列條件：f(x)在m，n內是單調的；當定義域是m，n時，f(x)的值域也是m，n，則稱m，n是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”若函數(shù)f(x)(a0)存在“和諧

48、區(qū)間”，則a的取值范圍是()A(0，1) B(0，2) C(，) D(1，3)【解析】由題意可得函數(shù)f(x)(a0)在區(qū)間m，n上是單調的，所以m，n(0，)或(，0)，則f(m)m，f(n)n，故m、n是方程x的兩個同號的實數(shù)根，即方程ax2(a1)xa0有兩個同號的實數(shù)根，注意到mn1>0，故只需(a1)24a2>0，解得<a<1，結合a>0，可得0<a<1.故選A.【答案】A9設x，y滿足約束條件若x24y2a恒成立，則實數(shù)a的最大值為()A. B. C. D.【解析】不等式組構成的平面區(qū)域如下當在直線xy1上取點(x，y)時，可使x24y2取得最小值，則x24y2x24(1x)25(x)2，所以a，則實數(shù)a的最大值為.【答案】C二、填空題10不等式ax2