橢圓的定義與幾何性質

1、橢圓【教學目標】（1）掌握橢圓的定義（2）掌握橢圓的幾何性質（3）掌握求橢圓的標準方程【教學重難點（1）橢圓的離心率有關的問題（2）橢圓焦點三角形面積的求法【教學過程】一、知識點梳理知識點一：橢圓的定義平面內一個動點尸到兩個定點看、鳥的距離之和等于常數(shù) ,西| 一 |魏|=勿耳用）,這個動點尸的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦 點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若 J I I / ,則動點F的軌跡為線段式用；若附|一隨卜|耳聞，則動點產的軌跡無圖形。知識點二：橢圓的標準方程M / 1+ 工 二1 .當焦點在近軸上時，橢圓的標準方程：d H（心小>0）,其中/ =/一/ ；2+2二13

2、二22 .當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：M>0）,其中/ =/注意：1 .只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓 的標準方程；2 .在橢圓的兩種標準方程中，都有 口 ，0和 =& T ；3 .橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在正軸上時，橢圓的焦點坐標為（%0） , （一;0）,當 焦點在爐軸上時，橢圓的焦點坐標為 電G。知識點三：橢圓的簡單幾何性質土 + 匕二 1橢圓M 小?0)的的簡單幾何性質4|8：(1)對稱性對于橢圓標準方程 口 上 ，把x換成一x,或把y換成一y,或把x、y同時換7 +7 = 1成一x、-y,方程都不變，所以橢圓 次 h 是

3、以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形， 且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。講練結合：(2)范圍橢圓上所有的點都位于直線x= ±a和y=坨所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足兇河|y|曲。(3)頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓曰 辦(a>b>0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為Ai ( a, 0),A (a, 0), Bi (0, -b), B2 (0, b)。線段AA2, B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AiA2|=2a, |BiB2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。(4)離心率2c c =橢

4、圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作 21 厘。因為a>c>0,所以e的取值范圍是 0Vevl。e越接近1,則c就越接近a,從而 七= "一J越小,因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a, 這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0,這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y 2=a2I附 附I2?。?） I囤+陋一西=西=一啊叫1=7;網呻鳥I" |3|=|蟲K氏昨IV|="7%（3）巴可平加,"'=禺耳|=",工園區(qū)”；標準方程a2 /2 va% H= 1 (4 >

5、; 占 > U)圖形期r c1hv3 _J0似* y,凡'ft性質焦點Mf。)$gQ)?鼻（Q，<）政。 ?焦距圈g1= 21g = &L)| 號瑪 |=2MCnJ>-/)范圍1嶺3 日 ?I咋占|小 ?對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點曲.0）（0的 ?。（垃 0） ?軸長軸長=2厚，短軸長=2b2 44=1知識點四：橢圓媼6與口占a>b>0）的區(qū)別和聯(lián)系離心率e1 = (0 < e, < 1) a準線方程x = ± C = ±焦半徑席"陷|二天倒|二口+郎1%卜聲L J注意：橢圓/ /, /(a>

6、b>0)的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間e = (0 < c 1)的關系都有a>b>0和 a, a2=b2+c2;不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。二、考點分析考點一：橢圓的定義【例1】方程僅-2 f + y2 + J(x+2+y2 =10化簡的結果是?！纠?】已知Fi(-8 , 0), F2(8, 0),動點P滿足|PFi|+|PF2|=16,則點P的軌跡為()A圓B橢圓 C線段D直線22【變式訓練】 已知橢圓 + y- =1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點169距離為?？键c二：求橢圓的標準方程【例3】若橢圓經過點(5, 1),

7、(3, 2)則該橢圓的標準方程為?！纠?】AABC的底邊BC =16 , AC和AB兩邊上中線長之和為 30,求此三角形重心 G的軌跡和頂點A的軌跡.【例5】求以橢圓9x2+5y2 =45的焦點為焦點，且經過點 M (2, J6)的橢圓的標準方程.【變式訓練】1、焦點在坐標軸上，且 a2 =13 , c2 =12的橢圓的標準方程為。2、焦點在x軸上，a:b = 2:1, C = J6橢圓的標準方程為 。3、已知三點P (5, 2)、F1 (6, 0)、F2 (6, 0),求以F1、F2為焦點且過點 P的橢圓的標準方程；4、已知p點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點p到兩焦點的距離分別為 ±

8、;5和均5,過33P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.考點三：利用標準方程確定參數(shù)22【例6】若方程+一=15 -k k-3(1)表示圓，則實數(shù) k的取值是.(2)表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù) k的取值范圍是.(3)表示焦點在y型上的橢圓，則實數(shù) k的取值范圍是.(4)表示橢圓，則實數(shù) k的取值范圍是.22【例7】橢圓4x +25y =100的長軸長等于，短軸長等于，頂點坐標是，焦點的坐標是，焦距22【變式訓練】1、橢圓士+匕=1的焦距為2,則m=。4 m2.22、橢圓 5x +ky=5的一個焦點是(0,2)，那么k =。考點四：離心率的有關問題 一、求離心率1、用定

9、義(求出 a,c或找到c/a )求離心率22(1)已知橢圓C :勺+4 =l,(a Ab A0)的兩個焦點分別為Fi(1,0)尸2(1,0)且橢圓C經 a b4 1過點P(二).則橢圓C的離心率。3 3223a(2)設F1F2是橢圓£:勺+4=19 >b >0)的左、右焦點，P為直線x=,上一點，a2 b22F2PF1是底角為30的等腰三角形，則 E的離心率為()1 2八；(A) - (B) - (C)- (D)-2 3、22 x y(3)橢圓 二十上2=1 (a>b>0)的左、右頂點分別是 A,B,左、右焦點分別是 F" F2o若 a b|AF1|

10、, |FF2|, |FB成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 .(4)在給定的橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為J2,焦點到相應準線距離為 1,則該橢圓的離心率為。2、根據(jù)題設條件構造 a、c的齊次式方程，解出 e。22cn c,c、2 一ma nac pc = 0 ; m - - p()二 0 m a a(1)若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()4321A. 5B. 5C. 5D. 522(2)在平面直角坐標系xOy中才隙圓C的標準方程為 將+* =1g >0,b>。)，右焦點為a bF ,右準線為l，短軸的一個端點為 B，設原點到直線 BF的距離為

11、di, F至U l的距離為d2,若d2 = 76dl，則橢圓C的離心率為 .(3)設橢圓的兩個焦點分別為 F1.F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為。二)、求離心率的范圍(關鍵是建立離心率相關不等式)1、直接根據(jù)題意建立 a,c不等關系求解.22x y(1)橢圓_T+2_=i(a>b>o)的焦點為Fi , F2 ,兩條準線與X軸的交點分別為 M , N , a b若MN M2 F1F2 ,則該橢圓離心率的取值范圍是。22(2)已知F1, F2為橢圓騫+ =1(a >b >0 )的焦點，B為橢圓短軸上的端點， a

12、bT- 12 ，BF1 BF2之一F1F2 ,求橢圓離心率的取值范圍。22、借助平面幾何關系(或圓錐曲線之間的數(shù)形結合)建立a,c不等關系求解22設F1, F2分別是橢圓 +與=1(ab0)的左、右焦點，若在其右準線上存在P,使a2 b2線段PF1的中垂線過點F2,則橢圓離心率的取值范圍是。3、利用圓錐曲線相關性質建立 a,c不等關系求解.(焦半徑或橫縱坐標范圍建立不等式)22(1)橢圓 與+彳=1 (a>0,b>0)的兩個焦點為 F1、F2若P為其上一點，且|PF1|二2|PF2|,a b則橢圓離心率的取值范圍為。22(2)已知橢圓xy十*=1(a>b >0)右頂為A

13、,點P在橢圓上，O為坐標原點，且 OP垂直 a b于PA,求橢圓的離心率 e的取值范圍。(3)橢圓 之+J=1(a >b >0)和圓x2 +y2 =j -+c (其中c為橢圓半焦距)有四個 a2 b22不同的交點，求橢圓的離心率的取值范圍?？键c五：橢圓焦點三角形面積公式的應用22【例14已知橢圓方程、十之=ig >b >0）,長軸端點為A, A2,焦點為Fi, F2, P a b是橢圓上一點， /AiPA2=8, /FiPF2=u .求：AFiPFz的面積（用a、b、a表示）.1. 一一一分析：求面積要結合余弦定理及定義求角a的兩鄰邊，從而利用SA = absinC求面

14、積.2+ = i上的一點, 64Fi、F2 是其焦點，且/FiPF2 = 602【變式訓練】i、若P是橢圓 i0022、已知P是橢圓工252+ = i上的點，F(xiàn)i > 9F2分別是橢圓的左、右焦點，若PFi PF2i ，人 ,三二則EPF2的面積為（）|PFi| |PF2|2A. 3 3B. 2 3C. 3課后作業(yè):、選擇題1已知Fi（-8 , 0）, F2（8, 0）,動點P滿足|PFi|+|PF2|=25,則點P的軌跡為（A圓B橢圓 C線段D直線223已知方程 +_ =1表示橢圓，則k的取值范圍是（ 1k 1 -kD k>1 或 k<-1A -1<k<1B k

15、>0C kF222217、橢圓 上+ _y_=1與橢圓上+匕= >>0）有（）3223（A）相等的焦距 （B）相同的離心率（C汁目同的準線（D）以上都不對22221&橢圓、+匚=1與_+，=1 （0<k<9 ）的關系為（）2599 - 25 - （A）相等的焦距（B）相同的的焦點（C）相同的準線（D）有相等的長軸、短軸、填空題222、橢圓 工_y_=i左右焦點為F1、f2, cd為過F1的弦，則ACDF1的周長為 1694、求滿足以下條件的橢圓的標準方程（1代軸長為10,短軸長為6（2）長軸是短軸的 2倍，且過點（2, 1）（3）經過點（5, 1）, （3

16、, 2）5、若ABC頂點B、C坐標分別為（-4 , 0）, （4, 0）, AC、AB邊上的中線長之和為30,則 /ABC的重心 G的軌跡方程為 b2二 1（a AbA0）的左右焦點分別是 F1、F2,過點F1作x軸的垂線交橢圓于 P點°若/ F1PF2=60°,則橢圓的離心率為 7、已知正方形 ABCD,則以A、B為焦點，且過 C、D兩點的橢圓的的離心率為 橢圓方程為.228已知橢圓的方程為 土+上=1, P點是橢圓上的點且NFiPF2 = 60、求APEF2的面積 439.若橢圓的短軸為 AB,它的一個焦點為 Fi,則滿足那BFi為等邊三角形的橢圓的離心率為2210橢圓 工+匕=1上的點P到它的左焦點的距離是 12,那么點P到它的右焦點的距離是100 362211已知橢圓x_ +匕=1(a >5)的兩個焦點為 曰、F2 ,且F1F2 =8,弦AB過點曰，則a 25ABF2的周長10中心在原點、長軸是短軸的兩倍，一條準線方程為x =4，那么這