三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)

1、、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)變形:例1.如圖在直線ABC的同一側(cè)作結(jié)論:兩個(gè)等邊三角形AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證明(1)AABEmADBC(2)AE與DC之間的夾角為60(3)BH平分/AHC變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證明(1)ABE三DBC(2) AE與DC之間的夾角為60口(3) AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分/AHC變式精練2:如圖兩個(gè)等邊三角形MBD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證明(1)ABE三DBC(2)AE與DC之間的夾角為60(3)AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分

2、/AHC例2:如圖，兩個(gè)正方形ABCD與DEFG,連結(jié)AG,CE,二者相交于點(diǎn)H問：(1)AADG三ACDE是否成立？.打心(2) AG是否與CE相等？"IL/(3) AG與CE之間的夾角為多少度？£(4) HD是否平分ZAHE?例3:如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC與CEDG,連結(jié)AG,CE,二者相交于點(diǎn)H問：(1)AADGmACDE是否成立？aG(2) AG是否與CE相等？/I/1(3) AG與CE之間的夾角為多少度？"7(4) HD是否平分NAHE?"例4:兩個(gè)等腰三角形AABD與&BCE,其中AB=BD,CB=EB,/ABD=/CBE=ot,

3、連結(jié)AE與CD,問：(1)&ABEmADBC是否成立？p(2) AE是否與CD相等？/X.(3) AE與CD之間的夾角為多少度？乙二_一_4(4) HB是否平分/AHC?訂二、倍長與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長中線類?考點(diǎn)說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的?！纠?】已知："BC中，AM是中線.求證：AM(AB+AC).2【練1】在4ABC中，AB=5,AC=9,則BC邊上的中線AD的長的取值范圍是什【練2】如圖所示，在AABC的AB邊上取兩點(diǎn)E、F,使AE=BF,連接CE、CF,求證：AC+BCEC

4、+FC.【例2】如圖，已知在MBC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F,AF=EF,求證：AC=BE.【練1】如圖，已知在9BC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC,延長BE交AC于F,求證：AF=EF【練2】如圖，在MBC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EFIIAD交CA的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,若BG=CF,求證：AD為MBC的角平分線.【練3】如圖所示，已知MBC中，AD平分NBAC,E、F分別在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求證：EF/AB【例3】已知AM為MBC的中線，ZAMB,ZAMC的平分線分別交AB于E、交AC于F.求

5、證：BE+CF>EF.【練1】在RtAABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足/DFE=90*.若AD=3,BE=4,貝4線段DE的長度為.【練2】在MBC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB、AC上的點(diǎn)，且MD_LND.(1)若/A=90工以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？(2)如果BM2+CN2=DM2+DN2,求證AD2=2(AB2+AC2).4【例4】如圖所示，在ZABC中，AB=AC,延長AB至ijD,使BD=AB,E為AB的中點(diǎn)，連接CE、CD,求證CD=2EC.【練1】已知MBC中，A

6、B=AC,BD為AB的延長線，且BD=AB,CE為MBC的AB邊上的中線.求證：CD=2CE全等之截長補(bǔ)短：人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方1 .如圖所示，AABC中，NC=900/B=450,AD平分/BAC交ABC于Do求證：AB=AC+CDK如圖所示，在MBC中，/B=60°,MBC的角平xdOBBDC分線ADCE相交于點(diǎn)O。求證：AE+CD=AC2 .如圖所示，已知/1=/2,P為BN上一點(diǎn)，且PD_LBC于D,AB+BC=2BD求證：ZBAP+/BCP=1800

7、。3 .如圖所示，在RtAABC中，AB=AC/BAC=90°,/ABD=/CBD,CE垂直于BD的延長線于E。求證：BD=2CE5 如圖所示，在AABC中，/ABC=90°,AD為/BAC的平分線，NC=30°,BE.LAD于E點(diǎn)，求證：AC-AB=2BE6 .如圖所示，已知ABCD,/ABC,/BCD的平分線恰好交BA于AD上一點(diǎn)E,求證：BC=AB+CD7 .如圖，E是/AOB的平分線上一點(diǎn)，EC_LOA,ED_LOB,垂足為CD。求證：(1)OC=OD(2)AO,.三、截長補(bǔ)短問題1:垂直平分線（性質(zhì)）定理是問題2:角平分線（性質(zhì)）定理是問題3:等腰三角形

8、白兩個(gè)底角，簡稱;如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對的邊也,簡稱.問題4:當(dāng)見到線段的考慮截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移、車移,然后和重新組合解決問題.三角形全等之截長補(bǔ)短（一）一、單選題（共4道，每道25分）1.已知，如圖，BM平分/ABCP為BML上一點(diǎn)，PDLBC于點(diǎn)D,BD=AB+CD或長法）證明，如圖，在g匚上截取白E=艮工連接PE在ZVMF和國產(chǎn)中'AB=ES,Z1=Z2BF=BP:(SAS)CD=ED:FDlBC.PE=PC請你仔細(xì)觀察下列序號所代表的內(nèi)容：平分443C，二一；/仁/2;/A=ZBEPAP=PE/BD=AB+CD=PCD'BDAB+CD.BDB

9、E+ED+Z3=180°：.BE蝕+，B0=AB+C：a,AZBAP4-Z3=18O°；AZ3=ZfCCVZBSF+Z3=18O°，Zfi/P+ZBCF=1SO口以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖?)A.B.C.D.2.已知，如圖，BM平分/ABC點(diǎn)P為BML上一點(diǎn)，PDLBC于點(diǎn)D,BD=AB+DC求證：/BAP廿BCP=180.切平花.Z1=Z2在Eb和中'BE=BD，Z1=Z2BP=BP:'BE0Zl>F(SAS)在Af小和乙干節(jié)匚中rPE=PD1"&4ZFTC_AE=CD二FE$連凸嚴(yán)口(SAS)/.ZC=ZPAE,/Z4

10、?-Z/;jr=£Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3請你仔細(xì)觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長BA,過點(diǎn)P作PEBA于點(diǎn)E;延長BA到E,使AE=DC連接PE;'：BDBA+CD'：BDBA+CD延長BA到E,使DC=AE,BD=BA+AE-BS；：.BD=BE/.PE=PD,£PEA二4PDB'SPD1BC"PRE=98/.ZPQC=90°二.以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖?):PE二PD,/P£A=/PDB二PDLBG：.ZPDB=J/PDC=90Q，a4=90。A.B.C.D.3.已知，如圖，在五邊形ABCD中,AB

11、=AEAD平分/CDE/BAE=ZCAD,求證：BC+DE=CD>E（微長法）證明：如由，'.4D平分2CZi£二Z1=上上在a#。和乙小。中AD=AD，Z1=Z2DPDR（SAS）在甌和d4FC巾AS=AF<Z6=Z5AC=AC/.4錯(cuò)04玨七($A$).,.BC-CF.'.BC-DE=CF-DF=Cl>請你仔細(xì)觀察下列序號所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=CB連接AR在DC上截取DF=DE連接AF;在DC上截取DF=DEAE=AFAF=AEZ4=Z3;Z4=Z3;'AB=AE：,AB=AF=2/CADABAEABAF：.AB=AF'

12、/=2ZCAD*：£CAD=Z3+Z6,Z4=Z3：.£CAD=Z3+Z6：NCAD=N3+/6即N4+Z5=/3+N6，/5=/6./5=N6以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ┘碞4+/5=N3+/6；，_j_.A.B.C.D.4.已知，如圖，在五邊形ABCD中,AB=AE/BAE=NCAD/ABC也AED=180,求證:BC+DE=CD計(jì)闋法jLE用-如圖-在中AS=ASi/心ei就，韶a”箋a斯值詞-Z2-Z3,JC-JF在凸匚加用ZOD-ZiPj1£iaD-ADAC.JDS2Af.JD(SAS)請你仔細(xì)觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長DE至IF,使EF=BC連

13、接AF;延長DE至1F,使BC=EF延長DE到F近接AF;*NBAE="CADVZZ5C+££）=180°，/CRQ=N2+/4：NGW=/2+N4/1+N夜=180。=N3+N4=N3+N4.*.ZABC=Z1V4BC=Z1即/C工口=£FAD，/C盤=AFAD：.CD=DF"F=D£+EF：.CD=DF=EF=BC'DF=DE+2F：.EF=DE+BC=DE+BC/.BC+DE=CD；，BCDE=CD以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.B.C.D.四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長補(bǔ)短專題問題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)

14、該想到旋轉(zhuǎn)？（構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件）問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？如圖，P是正AB6的一點(diǎn)，若將PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到P/BA，則/PBP的度數(shù)是（）A.45°B.60°C.90°D.120°【例2】如圖，正方形BAF由正方形ACG映點(diǎn)于A,連接BDCF,求證：BD>CFB并求出/DOH勺度數(shù)?！纠?】如圖，正方形ABCDK/FAD=/FAE。求證：BE+D已AE1題干中出現(xiàn)對圖形的旋轉(zhuǎn)一一現(xiàn)成的全等2圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形一一找到并利用3題干中沒提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在一一通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形ABCDK/MA仲4

15、5°,/MAN勺兩邊分別交CBDC于點(diǎn)MNL求證：BWDN=MN【例5】如圖，正方形ABCDK/EAM45°,連接對角線B餃AE于M交AF于N,證明：dN+bM=miN【例6】如圖，已知OAEJ口4OC奧等邊三角形，連結(jié)ACfflBD,相交于點(diǎn)E,AC和B儀于點(diǎn)F,連結(jié)BC求/AEB的大小?！纠?】如圖所示：ABE,/AC&90°,AOBCP是ABC3的一點(diǎn)，且AP=3,CP=2,BP=1,求/BPC的度數(shù)。本課總結(jié)問題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？（構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件）1 .圖中有相等的邊（等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形）2 .這些相等

16、的邊中存在共端點(diǎn)。3 .如果旋轉(zhuǎn)（將一條邊和另一條邊重合），會(huì)出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、被分割的特殊角。問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型?構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型:1 .大角夾半角2 .手拉手（尋找旋轉(zhuǎn)）3 .被分割的特殊角測試題1 .如圖，P是正MBG內(nèi)的一點(diǎn)，且BP是/ABC勺角平分線，若將APBG繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到妒BA,則/PBP，的度數(shù)是（）A. 45°B. 60°C. 90°D.120°2.如圖：ABC中，A及AC,BC為最大邊，點(diǎn)DE分別在BGAC上,BACEF為BA延長線上一點(diǎn)，BF=CD則下列正確的是A.DF=DEB.DC=DFC.EOEAD.不確

17、定3.如圖，四邊形ABCDK/ABC=30,/ADG60°,AADC則下列正確的是（）c.bD>aB+bCd.不確定A.bD=a4+bCb.bDvaB+bC4.已知4ABG中，/AGB=90。，CD_LAB于D,AE為角平分線交CDFF,則圖中的直角三角形有（）A.7個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)5.如圖，DALAREA!AC,AAARAE=AG則下列正確的是（）ADFAESA.AABDAGEB.e.的心語6.如圖，已知P為正方形ABCD勺對角線AC上的一點(diǎn)（不與A、C重合），P已BCf點(diǎn)E,PF，CD與點(diǎn)F,若四邊形PECFS點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BEDF則下列一定正確的是（）A.

18、BP=DPB.BE+EC=BCC.BP=DFD.BE=DF7 .如圖，等腰直角ADB與等腰直角AEC共點(diǎn)于A,連結(jié)BE、CD,則下列一定正確的是（）A.BE=DCB.AD/CEC.BE!CED.BE=CE8 .如圖，等邊三角形ABE與等邊三角形AFC共點(diǎn)于A,連接BF、CE,貝NEOB的度數(shù)為（）A.45°B.60°C.90°D.120°9 .如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ND=90©,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且ZEAF=-ZBAD0則下列一定正確的是（）2A.EF=BEFDB.EFBEFDC.EF二BEFDD.EF2=B

19、E2FD210 .在正方形ABC碑,BE=3,EF=5,D巳4,則/BA4/DCF（）A.45°B.60°C.90°D.120°五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個(gè)三角形中的線段或角相等.在證明線段或角相等時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等，最后得出結(jié)論.下面介紹尋找全等三角形的幾種方法，供同學(xué)們參考.一、利用公共角例1如圖1,AB=ACAE=AF求證：ZB=/C.分析：要證明/B=/C,只需證明BO隼ACOF或AABHACE而由圖形可知/A是公共角，又由已知條件AB=ACAE=A

20、F,所以4AB圖AACE于是問題獲證.二、利用對頂角（題目中的隱含條件）例2如圖2,B、E、F、D在同一直線上，AB=CDBE=DFAE=CF,連接AC交BD于點(diǎn)Q求證：AO=CO分析：要證明AO=CO只需證明AO富ACOF或AOB2COD即可.根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證明.而由已知條件AB=CDBE=DFAE=CF可直接證明ABEEACDF則有/AEB=/CFD進(jìn)而有/AEO=/CFO|禾U用對頂角相等，即可證明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例3如圖3,AB=CDAC=BD求證：/B=/C.分析：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)Q此時(shí)/B與/C分別在4AO序口ADOC中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接

21、證明這兩個(gè)三角形全等的，需添加輔助線來構(gòu)造另一對全等三角形.此時(shí)可以連接AD那么AD是4ABD和4DCA的公共邊，這本¥可以證明ABIDADCA四、利用相等線段中的公共部分例4如圖4,E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE求證：BE/DF分析：要證明BE/DF只需證明/BEC=/DFA此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證明/AEB=/CFD進(jìn)而證明AE乎ACFID五、利用等角中的公共部分例5如圖5,已知/E=30°,AB=ADAC=AE,/BAE=/DAC求/C的度數(shù).分析：已知/E=30°,要求/C,可考慮證明AB冬AADEE由/BAE=/DAC吉合圖形可知/BAC=/DAE于是問題獲解.六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例6如圖6,已知/DCE=90°,/DAC=90°,BELAC于B,且DC=EC能否找出與ABAD相等的線段，并說明理由.分析：由于AC=ABfBC,可以猜想AC=ABfAD或BE=ABnAD,此時(shí)只需證明AD=BC即可.而事實(shí)上，用同角的余角相等可得到/DCA