圓與球：跨時代、跨文化的數(shù)學故事

1、.圓與球：跨時代、跨文化的數(shù)學故事這座完美的古代建筑，最根本的設計元素竟然是最簡單的幾何圖形圓佇立在北京天壇祈年殿前，贊美之情油然而生。這座完美的古代建筑，最根本的設計元素竟然是最簡單的幾何圖形圓。三層漢白玉圓形臺基、三層藍琉璃圓頂大殿，與附近的圓形皇穹宇和圜丘交相輝映，好一片圓美世界！圓和球還是最實用的圖形。宏大如宇宙天體，微小至原子電子，飛轉的車輪，滴嗒的鐘表人們的日常生活離不開圓和球，科技的進步也離不開圓和球。簡單中寓深奧。在圓與球簡約的外形下，潛藏著無窮的數(shù)學奧秘。圓周長和圓面積的計算，蘊涵著極限思想。中國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術，就是用圓內接正多邊形去逐步逼近圓。劉徽從圓內接正六

2、邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計算逐次得到的正多邊形的周長和面積以及相應的圓周率近似值。古希臘數(shù)學家稱用多邊形逼近曲線圖形的方法為“窮竭法，早在公元前3世紀，阿基米德也是用這種方法去計算圓的周長、面積及圓周率的。不過阿基米德最引以自豪的，是他對球體積的計算。阿基米德考慮一個球和它的外切圓柱，以及一個輔助的圓錐，其根本做法是將這些立體分割成無數(shù)的薄片，并用力學平衡的方法比較它們的體積，最后求得球體積的正確公式：R是球半徑。阿基米德的方法可以看成是積分學的先聲。無獨有偶，在東方，中國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之和他的兒子祖，也是利用球和它的外切圓柱計算出正確的球體積公式。不過與阿基米德不同，祖氏父子考慮

3、的是同一個球的兩個互相垂直的外切圓柱的公共部分劉徽最先發(fā)現(xiàn)該種立體并命名為“牟合方蓋，并運用歐洲學者遲至17世紀才重新發(fā)現(xiàn)的不可分量原理推算出這部分立體與其所含內切球的體積之比。祖氏父子的方法與阿基米德的可以說是異曲同工，殊途同歸。至于近代微積分的創(chuàng)造，圓和球也扮演了重要的角色。我們知道，在17世紀上半紀微積分醞釀時期，圓面積與圓周率的計算，曾是那些尋找翻開無窮小算法大門鑰匙的數(shù)學大師們關注的熱點。牛頓之前的先行者、英國數(shù)學家沃利斯在其代表作?無窮算術?中，用插值法計算1/4圓的面積，并進而導出了無窮乘積表達式牛頓推廣沃利斯的方法而得到了指數(shù)可以是分數(shù)和負數(shù)的二項定理，二項定理在建立微積分算法

4、中的作用是眾所周知的。在解析幾何的創(chuàng)造人笛卡兒手中，圓是他作圖求解方程的根本工具。笛卡兒在?幾何學?一書中提出的求曲線切線的方法甚至以“圓法著稱，而牛頓正是從研究、改善笛卡兒“圓法開場踏上制定微積分的漫漫征途。微積分的另一位創(chuàng)造人萊伯尼茨也計算過圓面積及圓周率，他給出了的無窮級數(shù)表達式饒有意味的是，與牛頓、萊布尼茨差不多同時代的日本“算圣關孝和，創(chuàng)始了獨具一格的“圓理。他所謂的“圓理，即指與圓有關的研究，以無窮級數(shù)為根底，計算各種曲線與曲面圍成的圖形之面積與體積，說明當時東方的數(shù)學家們也在竭力用圓這把鑰匙叩擊著微積分的大門。古希臘“數(shù)學之神阿基米德把球體積推算視為他一生最得意的成果，曾留下遺囑

5、把球及其外切圓柱的圖形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿戰(zhàn)爭期間被羅馬士兵殺害，據(jù)傳當羅馬軍士沖到阿基米德身邊時，這位正在考慮數(shù)學問題的老人喊出的最后一句話是：“別動我的圓！阿基米德死后，羅馬軍隊的主帥馬塞呂斯下令為阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遺愿，在他墓前豎了一塊石碑，墓碑上刻著的正是那不朽的圖形球及其外切圓柱。記載著阿基米德球體積計算的羊皮書手稿，歷經千年塵封后終于重見天日，被譽為20世紀最重大的考古發(fā)現(xiàn)而轟動一時。觀察內容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，

6、孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，

7、我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經歷聯(lián)絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。觀察內容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解

8、的觀察內容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著

9、幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經歷聯(lián)絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。至于圓周率的計算，這方面

10、的成就往往被用作衡量某一時代、某一地區(qū)文化程度的標征。前面已提到的祖沖之，亦以圓周率的計算而彪炳史冊。據(jù)?隋書?記載，祖沖之算出圓周率的準確值在3.1415926與3.1415927之間，這在公元5世紀時創(chuàng)造了世界之最。為了紀念這位文化名人，人們把月球上的一座環(huán)形山命名為“祖沖之山。1955年，中國還發(fā)行了祖沖之紀念郵票。祖沖之并不是僅有的出如今郵票上并與圓周率有關的數(shù)學家。伊朗曾發(fā)行過紀念阿拉伯數(shù)學家阿爾·卡西的郵票，阿爾·卡西恰恰是祖沖之之后刷新圓周率計算記錄的第一人，他在公元14世紀，給出了準確到13位小數(shù)的圓周率近似值。今天，電子計算機已經將數(shù)值計算到小數(shù)點后數(shù)萬億位。然而，電子計算機的創(chuàng)造、使用本身離不開圓的數(shù)學。我們已經看到，圓與球，簡單，美麗，微妙，述說著一個跨時代、跨文化的數(shù)學故事。最后，讓我們回到本文開場之處北京天壇，去側耳傾聽沿著那圓形的回音壁回蕩的永久的“圓舞曲吧。“師之概念，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術也或是某方面有特長值得學習者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫煛！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學識淵博者