專題九方案設計型問題

1、方案設計型問題一、中考專題詮釋方案設計型問題，方案設計型問題是設置一個實際問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當?shù)慕鉀Q方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案最優(yōu).方案設計型問題主要考查學生的動手操作能力和實踐能力.隨著新課程改革的不斷深入，一些新穎、靈活、密切聯(lián)系實際的方案設計問題正越來越受到中考命題人員的喜愛，這些問題主要考查學生動手操作能力和創(chuàng)新能力，這也是新課程所要求的核心內(nèi)容之一。二、解題策略和解法精講方案設計型問題涉及生產(chǎn)生活的方方面面，如：測量、購物、生產(chǎn)配料、汽車調(diào)配、圖形拼接等。所用到的數(shù)學知識有方程、不等式、函數(shù)、解直角三角形、概率和統(tǒng)計等知

2、識。這類問題的應用性非常突出，題目一般較長，做題之前要認真讀題，理解題意，選擇和構(gòu)造合適的數(shù)學模型，通過數(shù)學求解，最終解決問題。解答此類問題必須具有扎實的基礎知識和靈活運用知識的能力，另外,解題時還要注重綜合運用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程函數(shù)思想及分類討論等各種數(shù)學思想。三、中考考點精講考點一：設計測量方案問題這類問題主要包括物體高度的測量和地面寬度的測量。所用到的數(shù)學知識主要有相似、全等、三角形中位線、投影、解直角三角形等。例1(2014?浙江寧波，第26題14分)木匠黃師傅用長AB=3,寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設計了四種方案：方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；方案

3、二：圓心O、O分別在CDAB上，半徑分別是OGQA,鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEFW到夕!形AFEDF面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓.(1)寫出方案一中圓的半徑；(2)通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？(3)在方案四中，設CE=x(0x1),圓的半徑為y.求y關于x的函數(shù)解析式；當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大.考點：圓的綜合題分析：(1)觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3,2,那么直接取

4、圓直徑最大為2,則半徑最大為1.(2)方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對應邊長成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長的題目.一般都先設出所求邊長，而后利用關系代入表示其他相關邊長，方案二中可利用。02為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用乙AOM/XOFNi對應邊成比例整理方程，進而可求r的值.(3)類似(1)截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨度.則選擇最小跨度，取其，即為半徑.由EC為x,則新拼圖形水平方向跨度為3x,豎直方向跨度為2+x,則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論.已有關系表達式

5、，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑.另與前三方案比較，即得最終結(jié)論.解答：(1)方案一中的最大半徑為1.k1Ii匚二J分析如下：因為長方形的長寬分別為3,2,那么直接取圓直徑最大為2,則半徑最大為1._2 2)圖1如圖1,方案二中連接O,0過，過O作OELAB于E,方案三中，過點O分別作AB,BF的垂線，交于MN,此時MN恰為。與AB,BF的切點.設半徑為r,在RtOQE中,.OQ=2r,QE=BC=2,QE=AB-AO-CO=3-2r,(2r)2=22+(3-2r)2,解得喀新課標第一網(wǎng)設半徑為r,在4AO防口OFNfr,f/FONIZoma=Zfno.AOMbAOFNOM_FNA

6、irH3 -rr解得r=.比較知，方案三半徑較大.(3)方案四：EC=x,新拼圖形水平方向跨度為3x,豎直方向跨度為2+x.類似(1),所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的.1 .當3x時，r=(3-x);產(chǎn)2+x時，即當x時，r=(2+x).當x時，r=(3-x)(3一)=;Q-21_一._.當x=時，r=(3一)=;當x時，r=(2+x)(2+)=,.方案四，當x二時，r最大為.K,12方案四時可取的圓桌面積最大.點評：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細觀察每一小問都是常規(guī)的基礎考點，所以總

7、體來說是一道質(zhì)量很高的題目，值得認真練習.對應訓練1. (2014?濟寧，第20題8分)在數(shù)學活動課上，王老師發(fā)給每位同學一張半徑為6個單位長度的圓形紙板，要求同學們：(1)從帶刻度的三角板、量角器和圓規(guī)三種作圖工具中任意選取作圖工具，把圓形紙板分成面積相等的四部分；(2)設計的整個圖案是某種對稱圖形.王老師給出了方案一，請你用所學的知識再設計兩種方案，并完成下面的設計報告.名稱四等分圓的面積方案力殺一力某一方案三選用的工具帶刻度的三角板回出小府圖甯述設計方案作。O兩條互相垂直的直徑ABCD將OO的面積分成相等的四份.卜旨出對稱性既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形考點：利用旋轉(zhuǎn)設計圖案；利用軸對稱

8、設計圖案.分析：根據(jù)圓的面積公式以及軸對稱圖形和中心對稱圖形定義分別分析得出即可.解答：等分圓的面積柔萬條一力殺一力殺三先用的工具帶刻度的三角板城;一-y,-度三角板、器、圓規(guī).度三角板、圓規(guī).回出小息圖育述設計方案作。O兩條互相垂直的直徑ABCD將OO的面積分成相等的四份.(1)以點O為圓心，以3個單位長度為半徑作圓；(2)在大(4)祚OO的一條直徑AB(5)分別以OAOB的中點為圓。上心，以依次3個單取三位長等分度為點A半徑B、C;作。(3)0、O連接Q;OA則。OB0、OIF一OC.Q和。J?,/則小0中剩M產(chǎn),i1r?1圓0W余的-I,1：r：y;、/,1三等兩部份圓分把環(huán)把。的一二二

9、r。的面積面積四等jL：i四等分.分.旨出對稱性既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.軸對既是稱圖軸對形稱圖形又是中心對稱圖形.點評：此題主要考查了利用軸對稱設計圖案以及軸對稱圖形以及中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練利用扇形面積公式是解題關鍵.考點二：設計搭配方案問題這類問題不僅在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，大家在平時的練習中也會經(jīng)常碰到。它一般給出兩種元素，利用這兩種元素搭配出不同的新事物，設計出方案，使獲利最大或成本最低。解題時要根據(jù)題中蘊含的不等關系，列出不等式（組），通過不等式組的整數(shù)解來確定方案。例2（2014?山東煙臺，第23題8分）山地自行車越來越受到中學生的喜愛，各種品牌相繼投放市場，某車行經(jīng)營的A型車

10、去年銷售總額為5萬元，今年每輛銷售價比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%（1）今年A型車每輛售價多少元？（用列方程的方法解答）（2）該車計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最多？AB兩種型號車的進貨和銷售價格如下表:考點：分式方程的用.分析：（1）設A型車B型車應用，一次函數(shù)的應今年A型車每輛售價x進貨價格（元）11001400.,.1銷售價格（元）今年的銷售價格2000元，則去年售價每輛為（x+400）元，由賣出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可；（2）設今年新進A行車a輛，則B型車（60-x）輛

11、，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值.解答：（1）設今年A型車每輛售價x元，則去年售價每輛為（x+400）元，由題意，得5000050000(1-20%)x+400,解得：x=1600.經(jīng)檢驗，x=1600是元方程的根.答：今年A型車每輛售價1600元;（2）設今年新進A行車a輛，則B型車（60-x）輛，獲利y元，由題意，得y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a),y=-100a+36000.B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，60-a20.y=T00a+36000.k=T000,，y隨a的增大而減小.，a=20時，y最大=

12、34000元.B型車的數(shù)量為：60-20=40輛.當新進A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大.點評：本題考查了列分式方程解實際問題的運，分式方程的解法的運用，一次函數(shù)的解析式的運用，解答時由銷售問題的數(shù)量關系求出一次函數(shù)的解析式是關鍵.對應訓練2. (2014?四川省德陽，第22題11分)為落實國家“三農(nóng)”政策，某地政府組織40輛汽車裝運A、B、C三種農(nóng)產(chǎn)品共200噸到外地銷售，按計劃,40輛車都要裝運，每輛車只能裝運同一種農(nóng)產(chǎn)品，且必須裝滿，根據(jù)下表提供的信息，解答下列問題:農(nóng)產(chǎn)品種類AB每輛汽車的裝載量(噸)45(1)如果裝運C種農(nóng)產(chǎn)品需13輛汽車，那么裝運AB兩種農(nóng)產(chǎn)品各需多少輛

13、汽車?(2)如果裝運每種農(nóng)產(chǎn)品至少需要11輛汽車，那么車輛的裝運方案有幾種？寫出每種裝運方案.考點：一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用.分析：(1)設裝運A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品各需x、y輛汽車.等量關系：40輛車都要裝運，AB、C三種農(nóng)產(chǎn)品共200噸；(2)關系式為：裝運每種農(nóng)產(chǎn)品的車輛數(shù)11.解答：(1)設裝運A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品各需x、y輛汽車.則fS+y+13=4014H5y413X6=200_解得產(chǎn)13ly-14答：裝運A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品各需13、14輛汽車；(2)設裝運A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品各需x、y輛汽車.則4x+5y+6(40-x-y)=200,；解得：y=-2x+40.11由題意可得如

14、下不等式組:即11解得：11WxW14.5因為x是正整數(shù)，所以x的值可為11,12,13,14;共4個值，因而有四種安排方案.方案一:11車裝運A,18車裝運B,11車裝運C方案二：12車裝運A,16車裝運B,12車裝運C.方案三：13車裝運A,14車裝運B,13車裝運C.方案四：14車裝運A,12車裝運B,14車裝運C.點評：本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)關鍵描述語，找到所求量的等量關系，確定x的范圍，得到裝載的幾種方案是解決本題的關鍵.考點三：設計銷售方案問題在商品買賣中，更多蘊含著數(shù)學的學問。在形形色色的讓利、打折、買一贈一、摸獎等促銷活

15、動中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通過計算不同的銷售方案盈利情況，可以幫助我們明白更多的道理。近來還出現(xiàn)運用概率統(tǒng)計知識進行設計的問題。例3(2015黑龍江綏化，第27題分)某蘋果生產(chǎn)基地，用30名工人進行采摘或加工蘋果，每名工人只能做其中一項工作。蘋果的銷售方式有兩種：一種是可以直接出售；另一種是可以將采摘的蘋果加工成罐頭出售。直接出售每噸獲利4000元；加工成罐頭出售每噸獲利10000元。采摘的工人每人可以采摘蘋果0.4噸；加工罐頭的工人每人可加工0.3噸。設有x名工人進行蘋果采摘，全部售出后，總利潤為y元。(1)求y與x的函數(shù)關系式。(2)如何分配工人才能活力最大1,11r.f

16、考點：一次函數(shù)的應用.分析：(1)根據(jù)題意可知進行加工的人數(shù)為(30-x)人，采摘的數(shù)量為0.4x噸，加工的數(shù)量(9-0.3x)噸，直接出售的數(shù)量為0.4x-(9-0.3x)=(0.7x-9)噸，由此可得出y與x的關系式；(2)先求出x的取值范圍，再由x為整數(shù)即可得出結(jié)論.；解答：-fXz-(1)根據(jù)題意得，進行加工的人數(shù)為(30-x)人，采摘的數(shù)量為0.4x噸，加工的數(shù)量為(9-0.3x)噸，直接出售的數(shù)量為0.4x-(9-0.3x)=(0.7x-9)噸，y=4000X(0.7x-9)+10000X(9-0.3x)=-200x+54000;(2)根據(jù)題意得，0.4x9-0.3x,解得x12,

17、.x的取值是12&x30的整數(shù).vk=-2000,；y隨x的增大而減小，當x=13時禾I潤最大，即13名工人進行蘋果采摘，17名工人進行加工，獲利最大.點評：本題考查的是一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出關于x、y的關系式是解答此題的關鍵.對應訓練3. （2015?恩施州第22題10分）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料全部生產(chǎn)AB兩種產(chǎn)品共50件，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品與所需原料情況如下表所示：原料“號甲種原料（千克）乙種原料（千克）A產(chǎn)品（每件）93B產(chǎn)品（每件）410（1）該工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品有哪幾種方案？（2）若生成一件A產(chǎn)品可獲利80元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品可獲利

18、120元，怎樣安排生產(chǎn)可獲得最大利潤？考點：一次函數(shù)的應用；一元一次不等式組的應用.分析：（1）設工廠可安排生產(chǎn)x件A產(chǎn)品，則生產(chǎn)（50-x）件B產(chǎn)品，根據(jù)不能多于原料的做為不等量關系可列不等式組求解；!I（2）可以分別求出三種方案比較即可.,解答：解：（1）設工廠可安排生產(chǎn)x件A產(chǎn)品，則生產(chǎn)（50-x）件B產(chǎn)品由題意得：*（50736。（50-x）290-：解得：30x1）的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，依此類推，請畫出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值.考點：作圖一應用與設計作圖.分析：平行四邊形ABC

19、D勺鄰邊長分別為1,a（a1）,剪三次后余下的四邊形是菱形的4種情況畫出示意圖.4. （2014年廣西南寧，第24題10分）“保護好環(huán)境，拒絕冒黑煙”.某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的公交車，計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元.（1）求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？,-jI一廠（2）預計在該線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和B:一.、r產(chǎn)x型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路

20、的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少？1.（2015貴州六盤水，第21題10分）聯(lián)通公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘0.1元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘0.15元）兩種。設A套餐每月話費為y1（元），B套餐每月話費為y2（元），月通話時間為x分鐘.（1） （4分）分別表示出y1與x,y2與x的函數(shù)關系式.（2） （3分）月通話時間為多長時，AB兩種套餐收費一樣？（3） （3分）什么情況下A套餐更省錢？考點：一次函數(shù)的應用.分析：(1)根據(jù)A套餐的收費為月租加上話費，B套餐的收費為話費列式即可；(2)根據(jù)

21、兩種收費相同列出方程，求解即可；(3)根據(jù)(2)的計算結(jié)果，小于收費相同時的時間選擇B套餐，大于收費相同的時間選擇A套餐解答.解答：解：(1)A套餐的收費方式：yi=0.1x+15;B套餐的收費方式：y2=0.15x；(2)由0.1x+15=0.15x,得到x=300,答：當月通話時間是300分鐘時，A、B兩種套餐收費一樣；(3)當月通話時間多于300分鐘時，A套餐更省錢.點評：本題考查了一次函數(shù)的應用，是典型的電話收費問題，求出兩種收費相同的時間是確定選擇不同的繳費方式的關鍵.2.(2014?廣東梅州，第20題8分)某校為美化校園，計劃對面積為1800m2的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊

22、完成.已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天.(1)求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2?(2)若學校每天需付給甲隊的綠化費用為一.0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作多少天？考點：分式方程的應用；一元一次不等式的應用.分析：(1)設乙工程隊每天能完成綠化的面積是xm2,根據(jù)在獨立完成面積為400m區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊,-JIg/少用4天，列出方程，求解即可；2X./X(2)設至少應安排甲隊工作x大，根據(jù)這次的綠化總費用不超過8萬元，列出不等式

23、，求解即可.解答：(1)設乙工程隊每天能完成綠化的面積是xmi,根據(jù)題意得：400400/=4,x2x解得：x=50經(jīng)檢驗x=50是原方程的解，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50X2=100(ml),答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m、50m;(2)設至少應安排甲隊工作y天，根據(jù)題意得：1800-100y-0.4y+X0.25i0,答：至少應安排甲隊工作10天.點評：此題考查了分式方程的應用，關鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關系列出方程和不等式，解分式方程時要注意檢驗.3. (2014?四川廣安，第24題8分)在校園文化建設活動中，需要裁剪一些菱形來美化教室.現(xiàn)有平行四邊形A

24、BCD勺鄰邊長分別為1,a(a1)的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，依此類推，請畫出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值.考點：作圖一應用與設計作圖.分析：平行四邊形ABCD勺鄰邊長分別為1,a(a1),剪三次后余下的四邊形是菱形的4種情況畫出示意圖.解答：如圖，a=4,如圖，a=,如圖，a=,如圖，a=,點評：此題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據(jù)已知行四邊形ABC的平行四邊形分割是一解題關鍵.4. (2014年廣西南寧，第24題10分)“保護好環(huán)境，拒絕冒黑煙”.某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的公交車，計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買A型公交車1輛，B型公交二I車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公