物理15.多體多過程動量守恒問題--陳恩譜

1、多體多過程動量守恒問題名師指路【例1】（2013 山東卷）如圖所示，光滑水平軌道上放置長坂A （上表面粗糙）和滑塊C,滑塊B置于A的左端，三者質(zhì)量分別為 mA=2kg、mB=1kg、mc=2kg。開始時C靜止， A、B 一起以vo=5m/s的速度勻速向右運動， A與C發(fā)生碰撞（時間極短）后 C向右運動， 經(jīng)過一段時間 A、B再次達到共同速度一起向右運動，且恰好不再與C碰撞。求A與C發(fā)生碰撞后瞬間 A的速度大小。B|_A思維導引：多體多過程動量守恒問題， 其實就是多個一體、二體問題的組合，而每一個 分階段涉及的過程都是動量問題中的基本模型。因此，清晰的物理過程和研究對象的準確選擇，是多體多過程動

2、量守恒問題解決的關鍵?！久麕熤嘎贰緼、C碰撞是一個什么性質(zhì)的碰撞？再就是A、C碰撞過程中，是否應該將B扯進來？而題目中“（AB）且恰好不再與 C碰撞”內(nèi)涵的挖掘，更是本題答題的關鍵。 突破上述問題，并將過程分析清楚，才能夠順利地完成本題。解法1:分階段分析法【名師指路】這種方法的基本套路是按照事物發(fā)展的先后順序，一個階段一個階段的 處理，分析過程中要注意不同階段銜接點的速度一一前一階段的末速度即為下一階段的初 速度?！久麕熤嘎贰?第一個問題是，A、C碰撞過程中，是否應該將 B扯進來？第一個問題， A、C碰撞過程時間極短， A、C間相互作用的內(nèi)力遠大于 B給A的摩擦力，因此在碰撞這 一過程中，A

3、、C動量守恒；另一方面，由于碰撞時間極短， B的速度也來不及發(fā)生明顯改 變，即A、C碰撞結束時，B的速度仍為V0。【名師指路】 第二個問題是，A、C碰撞是一個什么性質(zhì)的碰撞（彈性的？完全非彈性 的？），題目沒做任何明示或者暗示，因此應該做最一般的假設，即兩者速度不相同。【解析】因碰撞時間極短，A與C碰撞過程動量守恒，設碰后瞬間A的速度為Va, C的速度為Vc,由動量守恒定律得mAVo - EaVa mevc【名師指路】 此時B的速度是原來的vo,而A的速度因為與 C碰撞必然減小了，所以 接下來B將減速而 A將加速，直到 AB共速，這個過程中 A 一直沒有沒有與 C碰撞。A與B在摩擦力作用下達到

4、共同速度，設共同速度為VAB,由動量守恒定律得EaVa mBVo = （mu mh）VAB【名師指路】“（AB共速時）且恰好不再與 C碰撞”這句話說明了什么？如果 Vab大 于Vc, A 一定會與C發(fā)生第二次碰撞；而 VabVc就能彳證A不再與C碰撞，因此，“恰 好”的含義應該是是指 Vab = Vc。A與B達到共同速度后恰好不再與 C碰撞，應滿足Vab = Vc三式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)，解得： va = 2m/s解法2:全過程分析法【名師指路】 這種方法的套路，是直接分析全過程、全體研究對象作為一個整體是否 滿足動量守恒條件，并直接從全過程的初態(tài)到全過程的末態(tài)進行分析?！久麕熤嘎贰?如前分析，“(

5、AB共速時)且恰好不再與 C碰撞”意味著最終 AB的共 同速度vAB =VC；而對A、B、C系統(tǒng)而言，水平方向一直不受力，因此系統(tǒng)動量守恒?！窘馕觥緼、B、C系統(tǒng)水平方向一直不受力，因此系統(tǒng)動量守恒，設 A、B、C三者最 終的共同速度為v,則有(mA mB)Vo = (mA mB mc)v【名師指路】 題目要求的是 A與C發(fā)生碰撞后瞬間 A的速度大小，而我們已知了碰后 C的速度為v,則對A、C碰撞過程用動量守恒，就可以算出 A與C發(fā)生碰撞后瞬間 A的 速度大小。因碰撞時間極短，A與C碰撞過程動量守恒，設碰后瞬間A的速度為Va, C的速度為vc,由動量守恒定律得mAV0 = mAvA mcv兩式

6、聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)，解得：vA =2m/s。解后反思分階段分析法是按事物發(fā)展先后順序分析， 過程清晰，思維難度低；全過程分析法的分 析過程不再按事物發(fā)展先后順序進行， 這種方法，大多數(shù)情況下思路要簡潔一些， 但對綜合 分析能力提出了較高的要求，這種能力是需要通過多見識來培養(yǎng)提高的。【例2】(2013 新課標卷2)如圖，光滑水平直軌道上有三個質(zhì)量均為m的物塊A、B、C。 B的左側(cè)固定一輕彈簧(彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)最不計)。設 A以速度V。朝B運動， 壓縮彈簧；當 A、 B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運動。假設 B 和C碰撞過程時間極短。求從 A開始壓縮彈簧直至與彈簧分離的過程中，(1

7、)整個系統(tǒng)損失的機械能；(2)彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。V0-kAnLvvvTBnrc思維導引：本題涉及到了完全非彈性碰撞模型和彈簧模型，涉及了彈性勢能的變化的計 算，而過程也多達3個階段一一對這種多過程復雜問題，要有對過程的清晰把握， 就需要分階段畫好過程草圖，并將不同階段相互作用的物體是那幾個要弄清楚，從而才可能正確選取研究對象和確定清楚研究對象的初末態(tài)，進而正確列出方程求解。【名師指路】 整個過程分為幾個階段？每個階段是那幾個物體在相互作用？彈簧的長度在怎樣變化著？什么叫做機械能的損失？整個運動過程中，在哪個階段存在機械能損 失?是A、B相互作用階段，還是 B、C碰撞時？彈簧壓縮最短

8、時，是 A、 B速度相等時 嗎？這幾個問題的正確回答是解決本題的前提。很多同學因為無法正確分析過程和不很清 楚機械能損失的含義(以為是動能的損失就是機械能的損失)，從而導致解題時答非所問?！久麕熤嘎贰?按事物發(fā)展的先后順序，一步一步的畫好過程草圖，然后再答題。如下：V0V1vi 囚刷可口viV2V2A州B CV3V3V3一：A、B相互作用，壓縮彈簧，達到共同速度vi；一：B、C完全非彈性碰撞，結為一體，具有共同速度V2 (vvi),此時A的速度仍為W；一：A向右繼續(xù)壓縮彈簧，A減速，BC加速，至三者達到共同速度 V3 (V2)?！久麕熤嘎贰繖C械能包含哪幾種能量？重力勢能、彈性勢能和動能。一過程

9、，是A、B整體的動能減少轉(zhuǎn)化為彈簧彈性勢能，A、B、彈簧系統(tǒng)機械能是守恒的，不存在機械能損失；同理，一過程也沒有機械能損失；有機械能損失的是B、C完全非彈性碰撞過程B、C整體的動能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。所以，第一問計算整個系統(tǒng)機械能的損失，就是計 算B、C完全非彈性碰撞過程的機械能損失?！久麕熤嘎贰緽、C完全非彈性碰撞過程的機械能損失如何計算呢？這需要先將B的初速度必和B、C碰后的共同速度 V2算出來后才能進行。這就要分兩個階段用動量守恒來處 理?！窘馕觥?1)從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度vi時，對A、B與彈簧組成的系統(tǒng)， 由動量守恒定律得mv0 = 2mv1此時B與C發(fā)生完全非彈性碰撞，設碰撞

10、后的瞬時速度為v2,損失的機械能為 AE。對B、C組成的系統(tǒng)，由動量守恒和能量守恒定律得mvi = 2mv2i 2 -mvi 2_ i 2=E 2（2m）v2i 2聯(lián)立三式，解得二E二1 mv2i6【名師指路】 彈簧被壓縮到最短是哪個時候？是A、 B速度相等為vi時嗎？根據(jù)先前的過程分析可以看出，顯然不是。彈簧被壓縮到最短應該是A、B、C三者達到共同速度 V3時。(2)由于v2vi, A將繼續(xù)壓縮彈簧，直至 A、B、C三者速度相同，設此時速度為v3,此時彈簧被壓縮至最短，其彈性勢能為Epo由動量守恒，得mv0 =3mv303【名師指路】接下來的問題是：彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能是一過程A、B

11、、C三者動能的損失嗎？好多同學以為是這樣，其實不是，因為圖狀態(tài)時，彈簧已經(jīng)有一個壓縮量了一一已經(jīng)儲存有一定的彈性勢能Epi 了，一過程 A、B、C三者動能的損失對應的實際上是彈簧的彈性勢能的增加量。121212由能重寸恒，有2mM （2m）v2Ep _（3m）v3其中 ；耳=Ep - Eg【名師指路】 接下來的問題是：選哪個階段來計算Epi呢？注意，一過程（B、C完全非彈性碰撞），彈簧的壓縮量并沒有變化，因此，圖狀態(tài)時的彈性勢能Epi就是圖狀態(tài)時的彈性勢能，而這個彈性勢能，就是一過程中A、B相互作用壓縮彈簧時，A、B整體的動能減少量。從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度vi時，對A、B與彈簧組成的

12、系統(tǒng)，由能量守恒，1 212 匚有2 m% =2（2m）M Eg13 c聯(lián)立解得：F = mv2p 48解后反思從前面的分析計算可以看出，對多體多過程問題，分階段畫好過程草圖，從而將過程清 晰的展現(xiàn)出來，是正確答題的基礎。因此，希望同學們能夠養(yǎng)成這個良好答題習慣。同時， 對于彈簧的狀態(tài)，一定要分析清楚初態(tài)和末態(tài)；而對能量問題，一定要注意應該選相互作用 的系統(tǒng)為研究對象。本題在計算彈簧壓縮最短時的彈性勢能時，還可以全過程列式求解一一從最開始A以速度V。朝B運動到最終三者具有共同速度 V3, A、B、C三者動能的損失只有兩個去向一一 一是碰撞過程的損失（轉(zhuǎn)化為內(nèi)能），二是轉(zhuǎn)化為彈性勢能。而第（1）

13、問已經(jīng)算出了碰撞過程的機械能損失，因此全過程用能量守恒就很容易求解彈簧壓縮最短時的彈性勢能了。12122 mVo - E = 2（3m）V3 Ep而且這回避了 Eg的計算，使分析、計算過程大大簡化。當然，這同樣需要一個較高的 全局意識，這種意識是需要注意培養(yǎng)的。解題高手1、（2014 銀川一中一模）如圖所示，在光滑水平面上有一塊長為L的木板B,其上表面粗糙.在其左端有一個光滑的圓弧槽C與長木板接觸但不連接，圓弧槽的下端與木板的上表面相平，B、C靜止在水平面上.現(xiàn)有可視為質(zhì)點的滑塊A以初速度Vo從右端滑上BA、B、C的質(zhì)量均為 m,試求:并以v0的速度滑離B,恰好能到達C的最高點. 2木板B上表

14、面的動摩擦因數(shù)四1/4圓弧槽C的半徑R.【解析】（1） A在B上滑動時，ABC整體動量守恒，設 A滑離B時BC整體的速度為vi,則有mvo = m - 2mM2由能量守恒定律，有1 mv2 =1m(v0)2 12mv2 Q202221其中： Q =mgL聯(lián)立解得：v1 =-v0, =00-4 16gL(2) A在C上滑動時，A、C系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因此A、C系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，設 A到達C的最高點時，A、C的共同速度為V2,則有V0mmv1 = 2mv221 r / V0 21 212由機械能守恒定律，有m(一)mv) = - 2mv2 mgR2 222聯(lián)立解得：R=工64g2、

15、(2013 廣東卷)如圖，兩塊相同平板 P1, P2置于光滑水平面上，質(zhì)量均為m。P2的右端固定一輕質(zhì)彈簧，左端 A與彈簧的自由端 B相距L。物體P置于P1的最右端，質(zhì)量 為2m且可看作質(zhì)點。P1與P以共同速度v0向右運動，與靜止的 P2發(fā)生碰撞，碰撞時間極 短，碰撞后P1與P2粘連在一起。P壓縮彈簧后被弓t回并停在 A點(彈簧始終在彈性限度內(nèi))。 P與P2之間的動摩擦因數(shù)為 卬求(1) PP2剛碰完時的共同速度 W和P的最終速度v2；(2)此過程中彈簧的最大壓縮量x和相應的彈性勢能 Ep。卓越教育李審1作圖卜L 一A b VWWWiI卓越教j2詠華作圖【解析】 (1 )P1和 P2碰撞動量守

16、恒：mv0=(m+m)v11倚出：vv02P在P2上滑行過程 P1、P2、P系統(tǒng)動量守恒：2mv0+2mv1=4mv2得出：v2 = 3 v04(2)解法一：P1、P2、P第一次等速彈簧最大壓縮量最大，由能量守恒得I121212Lr 2mg(L x) Ep(2m)v0(2m)v1 -(4m)v2p 222P剛滑上P2到P被彈回并停在 A點(P)、P2、P第二次等速，速度也為 能量守恒得1o 1o 1Ol_ 2mg(2 L 2x)=2 (2m)v02 (2m)v, - 2 (4m)v22mv0 E p - p 162由得：x=%L32解法二：P1、P2、P第一次等速彈簧最大壓縮量最大，由能量守恒

17、得1、21、21 ,、 22mg(L x) Ep =(2m)v0(2m)v1 (4m)v2p 222此后P被彈回并停在 A點（Pl、P2、P第二次等速，速度也為 V2）,由能量守恒12_12 I-(4m)v2 Ep(4 m) v2- 2mg(L x)222由得：x=% -L32EP2mvo16練習1、一質(zhì)量為 Mb=6 kg的木板B靜止于光滑水平面上，物塊 A質(zhì)量Ma = 6 kg,停在B 的左端.質(zhì)量為 m= 1 kg的小球用長為l = 0.8 m的輕繩懸掛在固定點 。上，如練圖141 4所示.將輕繩拉直至水平位置后，靜止釋放小球，小球在最低點與A發(fā)生碰撞后反彈，反彈所能達到的最大高度h = 0.2 m.物塊與小球可視為質(zhì)點，A、B達到共同速度后 A還在木板上，不計空氣阻力，g取10 m/s2.求從小球釋放到 A、B達到共同速度的過程中， 小球及 A、B組成的系統(tǒng)損.