精華-特殊平行四邊形知識歸納和題型精講學(xué)生版

1、八年級平行四邊形相關(guān)知識歸納和常見題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的矩形菱形一止方形性 質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對角相等四個(gè)角都是直角對 角 線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對 角線平分一組對角互相垂直平分且相等，每條對角線平 分一組對角判定后一個(gè)角是直角；是平行四邊形且有,個(gè)角是直角；是平行四邊形且 兩條對角線相等.四邊相等的四邊形；是平行四邊形且有一組 鄰邊相等；是平行四邊形且兩條對 角線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是菱形，且有一個(gè)角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.矩形矩形定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

2、（通常也叫長方形或正方形）.矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn), 對邊中點(diǎn)的直線，有兩條對稱軸；矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過矩形的性質(zhì)：（具有平行四邊形的一切特征）矩形性質(zhì)1:矩形的四個(gè)角都是直角.矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等且互相平分.在矩形 ABCD 中，AC 、BD相交于點(diǎn)O ,由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO= - AC= 1 BD ,因此可以得至U 22形斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形的一個(gè)性質(zhì)： 直角三角矩形的判定方法.矩形判定方法1矩形判定方法2矩形判定方法3對角錢相等的平行四邊形是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形判定

3、方法4: (4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.例1已知：如圖，矩形 ABCD , AB長8 cm ,對角線比 AD邊長4 cm .求AD的長及 點(diǎn)A到BD的距離AE的長.word版本例2已知：如圖，矩形 ABCD 中，E是BC上一點(diǎn)，DFLAE于F,若AE=BC . 求證:CE = EF.例3.如圖，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF, EC,且EF=EC,DE=4cm ,矩形ABCD的周長為32cm ,求AE的長.例4、如圖，在 口ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接 AE并延 長交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：AB=CF ;F(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)

4、系時(shí)，四邊形 ABFC是矩形，并說明理由.菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【強(qiáng)調(diào)】 菱形（1）是平行四邊形；（2） 一組鄰邊相等.菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角;菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直.菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形.ABCD 是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E.例1已知：如圖，四邊形求證：/ AFD= /CBE .例2已知：如圖=ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊 求證：四邊形 AFCE是菱形.

5、例 3、如圖，在 ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊 AD、BC分別交于E、F,求證：四邊形 AFCE是 菱形.例4、已知如圖，菱形 ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AEBD交于M ,若 AB=AE, / EAD=2 / BAE。求證：AM=BE 。D例5.（湖南益陽）如圖，在菱形 中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OELAB,垂足為E.（1）求線段BE的長.ABCD 中，Z A=60,AB=4,O 為對角線 BD 的例6、（四川自貢）如圖，四邊形 ABCD是菱形，DELAB交BA的延長線于 E, DFXBC ,交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想 F例7、(山

6、東煙臺)如圖，菱形 ABCD的邊長為2, BD=2 , E、F分別是邊AD , CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿 足 AE+CF=2.(1)求證： BDEABCF;(2)判斷 BEF的形狀，并說明理由；(3)設(shè) BEF的面積為S,求S的取值范圍.正方形是在平行四邊形的前提下 定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形(菱形) 七，有一個(gè)角是直角的平行四邊形(矩形) 正方形正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對稱 圖形，對稱軸是對邊中點(diǎn)的連線和對

7、角線所在直線，共有四條對稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的 夾角是45。；正方形的兩條對角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特 殊性質(zhì).正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì).正方形的判定方法：? (1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；? (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.? 注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：?(1)是平行四邊形；?(2)有

8、一個(gè)角是直角；?(3)有一組鄰邊相等.2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上 相應(yīng)的條件，確定是正方形 .例1已知：如圖，正方形 ABCD中，對角線的交點(diǎn)為 于G , DG交OA于F.求證：OE=OF .例2已知：如圖，四邊形 ABCD是正方形，分別過點(diǎn)于M , DN，11于N ,直線 MB、DN分別交b于Q、P點(diǎn).求證：四邊形 PQMN是正方形.O, E是OB上的一點(diǎn)，DG LAEA、C 兩點(diǎn)作 11 / 12,作 BMX11例3、(海南)如圖，P是邊長為1的正方形 ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(P與A、C不重 合)，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB(1)求證： PE

9、=PD ; PE，PD;(2)設(shè)AP=x, 4PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值 .例4.（河南?。┤鐖D，梯形 ABCD中，AD / BC ,且DE/AB,試判斷 ADE的形狀，并給出證明.例5:（深圳）如圖，在梯形 ABCD中，AB / DC ,交CD的延長線于點(diǎn)巳且/ C = 2/E.（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形.AB=AD=DC , E為底邊BC的中點(diǎn),DB平分/ ADC ,過點(diǎn)A作AE / BD,(2)若/ BDC =30° , AD = 5,求 CD 的長.例題講解例一.分析：（1）因?yàn)榫?/p>

10、形四個(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想,解決直角三角形中的計(jì)算， 這是幾何計(jì)算題中常用的方法.2. 22解：設(shè)AD=xcm，則對角線長（x+4）cm ,在Rt ABD中，由勾股定理：x +8 =（x + 4）,解得 x=6 .則 AD=6cm .（2） “直角三角形斜邊上的高”是一個(gè)基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊 及斜邊上的高的一個(gè)基本關(guān)系式：AEX DB= ADX AB,解得 AE = 4.8cm .例二分析：CE、EF分別是BC, AE等線段上的一部分，若 AF = BE,則問題解決，而證明 AF=BE,只要證明 ABEADFA即可

11、，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形.證明：四邊形ABCD是矩形，/B=90 ° ,且 AD / BC .1./1=/2.DFXAE,ZAFD=90 ° .ZB=Z AFD ,又 AD=AE , ABEA DFA (AAS)AF=BE.EF=EC.此題還可以連接 DE,證明 DEF0DEC,得到EF= EC.菱形 例1證明：四邊形ABCD是菱形，CB=CD , CA 平分/ BCD . / BCE= / DCE ,又 CE=CE , ABCEA COB （SAS）. /CBE=/CDE. 在菱形 ABCD 中，AB/CD,/ AFD= / FDC/AFD=/CBE.例2證明：

12、: 四邊形ABCD是平行四邊形，AE / FC. /1=/2.又 / AOE= / COF , AO=CO , AOEQCOF.EO=FO .四邊形AFCE是平行四邊形.)E AE又 EF± AC , 口AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形例 6、解：DE= DF證明如下：連結(jié)BD四邊形ABCD是菱形/ CBD = / ABD（菱形的對角線平分一組對角 ）. DFXBC , DEXAB. DF = DE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）例7、1口證明/.菱形ABCD的邊長為 二AKO和BCD都為正三角形.而 AE-CF=2,< DE=CF. ,:BDE 寶BCF.

13、（外解：BEF為正三角形.理由絲V NDBC。/60%即/EBF=60>ZiBEF為正三用形.（3）解 i設(shè)則S-4 .工金加60號洛當(dāng)JJEJLAD時(shí),m*小=2X或巡。"=同.1S“牛蟻加皚當(dāng)BE與AB重合時(shí),工.犬=磊:&L與義罟7t二季4正方形例1 分析：要證明 OE=OF ,只需證明 AEO DFO ,由于正方形的對角線 垂直平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90 ° , AO=DO ,再由同角或等角的余角相等 可以得到/ EAO= /FDO,根據(jù)ASA可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得.證明：:四邊形ABCD是正方形，/ AOE= /

14、 DOF=90 ° , AO=DO （正方形的對角線垂直平分且相等）.又 DG LAE,/ EAO+ / AEO= / EDG+ / AEO=90 ° ./ EAO= / FDO. AEO DFO .OE=OF .例2 分析：由已知可以證出四邊形PQMN 是矩形，再證 ABM DAN ,證出AM=DN ,用同樣的方法證 AN=DP .即可證出 MN=NP .從而得出結(jié)論.證明：PN±li , QM Hi, PN / QM , / PNM=90 ° . PQ / NM , 四邊形PQMN是矩形. 四邊形ABCD是正方形Z BAD= / ADC=90

15、76; , AB=AD=DC （正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）/ 1+/ 2=90 ° .又 / 3+/ 2=90 ° ,/ 1= / 3. AABM DAN .AM=DN , 同理 AN=DP . AM+AN=DN+DP即 MN=PN .四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例3（1）證法一：四邊形ABCD是正方形，AC為對角線， BC=DC , /BCP=/DCP=45. PC=PC,APBCA PDC (SAS).PB= PD,/PBC=/PDC.又. PB= PE , p PE=PD.(i)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)，. PB=

16、PE,/PBE=/PEB,/PEB=/PDC, /PEm Z PEC= /PDC+ Z PEC=180,Z DPE=360 ° -( Z BCD+Z PDC+Z PEC)=90,PE± PD.)(ii)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí), (iii)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖. / PEC=Z PDC , / 1=/2,/ DPE= / DCE=90,PE± PD.綜合(i) (ii) (iii) , PE±PD.(2)過點(diǎn)P作PF, BC,垂足為F,則BF=FEPE± PD.AP=x, AC = 22 ,PC= ,2 - x,

17、 PF=FC=2(.2.x) =1 _-x.2 BF=FE=1- FC=1-( 1 -x)=22 2Szpbe" BF , PFx( 1 -2) y1 x212 x.2、1x) = x2二 x.2一一 x2(0<x< 72 ).x J(x 一二)2 12242y最大值=一.4當(dāng)* =時(shí),2(1)證法二： 過點(diǎn)P作GF/AB,分別交AD、BC于G、F.如圖所示.四邊形ABCD是正方形，四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和 PFC都是等腰直角三角形.GD=FC =FP, GP=AG =BF, / PGD=Z PFE=90 又. PB=PE,BF=FE,GP=FE,

18、 EFP PGD (SAS)PE=PD.Z 1+Z 3=Z2+Z 3=90/ DPE=90.PE± PD.(2). AP=x,BF=PG=_2x, PF=1-二x. SapbE=BF- PF= x(1 -2) y22x2.2, x2x)=x2 二 x.22(0<x< 72).1/ 人二(x )221.41 _1<0,2y最大值=.4主：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)【解析】 ADE是等邊三角形.理由如下：: AB=CD , 梯形ABCD為等腰梯形, / b=z C . .E為BC的中點(diǎn)， be=ce.在 ABE和 DCE中，AB = DC,. 2B=/C, 、be =CEabeadce