21.1二重積分概念

1、第二一章二重積分§ 1二重積分概念教學(xué)目的 掌握二重積分的定義和性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容二重積分的定義和性質(zhì).(1) 根本要求：掌握二重積分的定義和性質(zhì)，二重積分的充要條件，了解 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的可積性.(2) 較高要求：平面點集可求面積的充要條件.教學(xué)建議(1) 要求學(xué)生必須掌握二重積分的定義和性質(zhì)， 知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函 數(shù)必可積.由于二元函數(shù)可積的充要條件與定積分類似， 這方面的內(nèi)容可作簡略 介紹.(2) 對較好學(xué)生可詳細(xì)講述二元函數(shù)可積的充要條件的證明，并布置有關(guān)習(xí)題.教學(xué)程序一、平面圖形的面積(一)、內(nèi)、外面積(約當(dāng)，黎曼外內(nèi)測度)的概念直線網(wǎng)T分割平面圖形P，T的網(wǎng)眼中

2、小閉矩形的分類：(i) i含的全是P的內(nèi)點,(ii) i含的全是P的外點(不含P的點)(iii) i內(nèi)含有P的邊界點,記Sp T為T的第i類i的面積的和.記Sp T為t的第i和第三類i的面積的和. sup sP T記Ip= t，稱為P的內(nèi)面積.記I卩=叩Sp T，稱為P的外面積.定義1假設(shè)平面圖形P的內(nèi)面積Ip等于它的外面積I p，那么稱P為可求面積,并稱其共同值|p = Ip = Ip為P的面積(約當(dāng)，黎曼測度)0，總存定理21.1 平面有界圖形P可求面積的充要條件是：對任給的 在直線網(wǎng)T,使得(2)SP TsP T證明必要性設(shè)平面有界圖形P的面積為IP 由定義1,有Ip=1p = Ip 對

3、任給的，由|P及Ip的定義知道，分別存在直線網(wǎng)T1與T2，使得Sp TI p , Sp T 2I p2記T為由T1與T2這兩個直線網(wǎng)合并的直線網(wǎng)，可證得Sp T1sP TSp T2Sp于是由3可得sP T從而得到對直線網(wǎng)T有Sp TSp T充分性對任給的0,存在直線網(wǎng)T，使得2式成立但Sp T I p I p Sp T所以 Ip LpSp TSp T由 的任意性，因此Lp = I p，因而平面圖形P可求面積.推論平面有界圖形P的面積為零的充要條件是它的外面積Lp 0，即對任 給的0，存在直線網(wǎng)T ,使得，Sp T或?qū)θ谓o的0，平面圖形P能被有限個其面積總和小于的小矩形所覆蓋.定理21.2 平面

4、有界圖形P可求面積的充要條件是：P的邊界K的面積為零.證明 由定理21. 1，P可求面積的充要條件是：對任給的0，存在直線網(wǎng)T，使得sp TSp T .由于Sk TSP TSP T所以也有Sk T.由上述推論，P的邊界K的面積為零.定理21.3 假設(shè)曲線K為由定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)f x的圖象，貝曲線K 的面積為零證明 由于f x在閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)，從而一致連續(xù)因而對任給的0,總存在 0，當(dāng)把區(qū)間a，b分成n個小區(qū)間i 1， ,n并且滿足maxXiXixiii1，n時，可使在每個小區(qū)間xii,Xi上的振幅都成立b a 現(xiàn)把曲線K按自變量x xo,x分成n個小段，這時每一個小段都能被以x

5、i為寬，i為高的小矩形甩覆蓋由于這個小矩形面積的總和為nni XiXii ib a i i所以由定理21. 1的推論即得曲線K的面積為零.還可證明得到：由參量方程x t,Y t t所表示的光滑曲線或按段光滑曲線，其面積為零.二、 二重積分的定義及其存在性背景：求某曲頂柱體的體積時，通過“分割、近似，求和、取極限的步驟, 利用求柱體的體積的方法來得到結(jié)果. 一類大量的“非均勻問題都采用類似的 方法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義.割T的細(xì)度，在每一個i上任取一點定義設(shè)f x, y是定義在可求面積的有 界閉區(qū)域D上的函數(shù)，用任意曲線把D分 成n個可求面積的小區(qū)域：1，2， n,以 i表示 i的面積，

6、這些小區(qū)域構(gòu)成D的一個分割T， 以di表示i的直徑，稱E maxdi為分 nf ( i, i) i(i, i)，作和式：i 1， 稱之為函數(shù)在上屬于分割的一個積分和.定義2 設(shè)f x,y是定義在可求面積的有界閉區(qū)域 D上的函數(shù)，J是一個確 定的數(shù)，假設(shè)對任給的正數(shù) ，總存在某個正數(shù) ，使對于D的任何分割T ,當(dāng)它 的細(xì)度T 時，屬于T的所有積分和都有Nf( i, i) i Ji 1那么稱f x，y在d上可積，數(shù)j稱為函數(shù)f x，y在d上的二重積分，記作f x, ydJ = D，其中f x，y稱為二重積分的被積函數(shù)，x,y稱為積分變量，d稱為積分區(qū)域.幾何意義：當(dāng)f x, y 0時，二重積分dx

7、,y d在幾何上表示以z f x, y為曲頂，D為底的曲頂柱體的體積直角坐標(biāo)系下可表示為：dx, y d f x, y dxdy=D可積的必要條件：fx,y在可求面積的區(qū)域d上有界函數(shù)x,y在可求面積的區(qū)域d上有界時,T是D的一個分割，把D分成個可求面積的小區(qū)域 1, , n，令M i sup f x, yx,y iinfx,y ix,yi 1,nf x, y 關(guān)于分割T的上和與下和:NST Mi i sTiNmiI定理21.4x,y在D上可積的充要條件是:職 ST =HmosT定理21.5 f x,y在D上可積的充要條件是：對于任給的正數(shù)，存在D的某個分割T ,使得ST sT .定理21.6

8、 有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必可積.定理21.7 設(shè)f x,y是定義在有界閉區(qū)域d上的有界函數(shù)假設(shè)f x,y的不連續(xù)點都落在有限條光滑曲線上，那么f x, y在D上可積.證明不失一般性，可設(shè)x，y的不連續(xù)點全部落在某一條光滑曲線上記L的長度為I，于是對任給的 >0,把L等分成Lx ,Ln，在每段匚上取一點R，使段與其一端點的弧長為以Pi為中心作邊長為正方形，那么Lii，從而有nii 1 ，那么為一多邊形.設(shè)面積為W，那么現(xiàn)在把區(qū)域D分成兩局部第局部D1 D.第二局部D21 d D1 .由于f x, y在d2上連續(xù)，根據(jù)定理 21.6與定理21.5，存在D2的分割T2，使得MST2 sT2.

9、又記sup f x,y mx,yinfx,yf x.'，以T表示由T2與多邊形 的邊界所組成的區(qū)域D的分割，那么有S T s TS T2s T2其中是f x，y在d上的振幅由于x，y在d上有界,故是有限值.于是由定理21, 5就證明了三、二重積分的性質(zhì)x，y在上可積.重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下:x,y在d上也可積，且1.假設(shè)f x,y在區(qū)域D上可積，k為常數(shù)，那么k fkf x, y df x, y dD= k D2.假設(shè)f X,y , g x,y在d上都可積，那么f x, y ± g x, y在D上也可積，且f x, y g x,y d f x, y dg x, y d± DD= D3.假設(shè)f x,y在Di和D2上都可積，且Di與D2無公共內(nèi)點，貝Uf x, y在Dif x,y dD2也可積，且D1 D2f x, y d f x,y d=Di+ D24 .假設(shè) f x，y與g x，y在D上可積，且f x，y < g x，y,x，y D,那么f x, y dg x, y dw D5假設(shè)x，y在d上可積,f x，y在d上也可積,f x, y df x, yDw D那么函數(shù)且dm <6.假設(shè)f x，y在D上可積.x,y < M x,ymSDfx,yd MSd這里Sd是積分區(qū)域D的面積.7