優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)：正余弦定理應(yīng)用舉例版含答案

1、人教版必修五1、2應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課,可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的,因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中用方程的思想作支撐,以具體問題具體分析作指導(dǎo),引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題、分析問題并最終解決問題。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平,確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題,了解測(cè)量的方法和意義會(huì)在各種應(yīng)用問題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法,搞清利用解斜三角形可解決的

2、各類應(yīng)用問題和基本圖形和基本等量關(guān)系,過程與方法：采用啟發(fā)與嘗試的方法,讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想圖,幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架。通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí),提高解決實(shí)際問題的能力；通過解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,要求學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題,以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用情感、態(tài)度、價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力三、學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)的學(xué)生.1、已有的能力：

3、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，能夠運(yùn)用解決一些三角形問題，具有了一定的基礎(chǔ)。2、存在的問題：學(xué)生在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形的時(shí)候不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的問題，構(gòu)造模型的能力有待提高。難點(diǎn)：1.實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形得到實(shí)際問題的解2、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖突破策略：(1)在探索概念階段，讓學(xué)生和老師共同參與完成例1.讓學(xué)生體會(huì)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，解答數(shù)學(xué)模型，再得到實(shí)際問題解的過程。(2)在應(yīng)用概念階段，通過對(duì)解答過程的分析，幫助學(xué)生掌握在實(shí)際問題中找尋可解三角形的實(shí)際過程。(3)教師啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生交流研討，展現(xiàn)思維過程.五、教學(xué)過

4、程設(shè)計(jì)【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，明確目標(biāo)請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間,不能用全等三角形的方法來測(cè)量，所以,有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理

5、在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離?！緦W(xué)生活動(dòng)】感受生活中的數(shù)學(xué)，體會(huì)了生活中測(cè)量距離的現(xiàn)實(shí)需要.【教師活動(dòng)】通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)對(duì)生活的影響無處不在.數(shù)學(xué)方法是解決實(shí)際問題的一大途徑。實(shí)際問題推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過引言，讓學(xué)生體會(huì)解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣.二、實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型例1、如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m/BAC=5i，NACB=75葭求A、B兩點(diǎn)的距離（精確到0、1m）啟發(fā)提問1：

6、AABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)?啟發(fā)提問2:運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角,AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的又t角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得AB=ACsin.ACBsinABCAB=ACsin.ACB=55sin.ACB=55sin75sin/ABCsin.ZABCsin(180-51-75)=55sin755y65、7(m)sin54答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65、7米【學(xué)生活動(dòng)】：思考并提出解決這個(gè)

7、實(shí)際問題的方法。【教師活動(dòng)】：在和學(xué)生討論建立數(shù)學(xué)模型的方法上著重強(qiáng)調(diào)可行性。讓學(xué)生充分展示自己的見解，營(yíng)造一個(gè)探討和辯論的氛圍，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力?！驹O(shè)計(jì)意圖】：“數(shù)學(xué)源于生活，生活依靠數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)建模問題貼近生活，充滿趣味性；使學(xué)生更深切地感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)問題的廣泛，使學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性理解得更為深刻”。并從中體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。例2、如圖,A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量AB兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可

8、求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。圖1.2-2解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)CD,測(cè)得CD=a并且在CD兩點(diǎn)分別測(cè)得.BCA=,/ACD=,ZCDB=,/BDA=，在AADCF口ABDCJ,應(yīng)用正弦定理得AC=asin（/i!r）=asin（；v：i；r）sin180_（p-，5）sin（p-，-：.）BC=_asin=asinsin180一（工L-）sin（二一）計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離AB=AC2BC2-2ACBCcos;【學(xué)生活動(dòng)】：小組討論并提出解決這個(gè)實(shí)際問題的方法?！窘處熁顒?dòng)】：讓學(xué)生充分展示自己的

9、見解，并歸納總結(jié)學(xué)生的解題方法?！驹O(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生尋求在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。并強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)?；?dòng)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)：探究載客游輪能否觸礁播放意大利豪華游輪觸礁新聞創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際問題的情景一輪船在海上由西向東航行，測(cè)得某島M在A處的北偏東口角，前進(jìn)4km后，測(cè)得該島在P角，已知該島周圍3、5km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行。(1)若口=2P=600，問該船有無觸礁危險(xiǎn)？如果沒有請(qǐng)說明理由；(2)如果有，那么該船自B處向東航行多遠(yuǎn)會(huì)有觸角危險(xiǎn)如下圖，

10、作MCLAB垂足為CElBDC由已知a=60,B=30,./AB附120，/AMB30 .BM=AB=4,/MBC60,.MRBMsin60=2%行3、5, 該船有觸礁的危險(xiǎn).(2)設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，連接MD則MD3、5,BM4,BC2,MC2,在*MDW,CD=-=05,BD=1、5(km). 該船自B向東航行1、5km會(huì)有觸礁危險(xiǎn).【學(xué)生活動(dòng)】：小組討論我們?nèi)绾慰紤]是否會(huì)觸礁？如何建立數(shù)學(xué)模型解釋這個(gè)問題。讓學(xué)生建模求解并鼓勵(lì)用不同方法去求解這個(gè)問題?！窘處熁顒?dòng)】：讓學(xué)生充分展示自己的見解。鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法去求解?！驹O(shè)計(jì)意圖】：重在學(xué)生培養(yǎng)“翻譯”能力學(xué)會(huì)分析關(guān)系、領(lǐng)悟

11、實(shí)質(zhì)。弄清問題所述的事件和研究對(duì)象；抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；抓住問題中的主要問題，正確識(shí)別其類型。培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,從實(shí)際問題關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來，體會(huì)建模的過程。預(yù)留課后思考題(3)當(dāng)口與P滿足什么條件時(shí)，該船沒有觸角危險(xiǎn)設(shè)C陣X,在zMA沖,sinZJA/5=sinZA/AB,即吆二到=三,8陣，血”叫4cos-cos而x=BM-sin/MBC=BM-cosB=電11g一田,4cos.cos了cow改7.當(dāng)x3、5,而9-f),即sing一為擊時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn).設(shè)計(jì)意圖：該

12、問題有一定難度留為課下自主合作探究討論的問題讓課上到課下得到延伸。同事培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)合作交流的能力課堂小節(jié)：(采用提問形式，學(xué)生闡述，老師適當(dāng)補(bǔ)充)1、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：2、利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí),要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。3、解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。作業(yè)：課后小題123,以及合作探究第三問1、2應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)反

13、思一.反思設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。并根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平，確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)的學(xué)生.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，能夠運(yùn)用解決一些三角形問題，具有了一定的基礎(chǔ)。但學(xué)生在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形的時(shí)候不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的問題,構(gòu)造模型的能力有待提高。我認(rèn)為本堂課學(xué)生難點(diǎn)在于：實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后逐個(gè)解決三角形,得到實(shí)際問題的解并且能根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模

14、型,畫出示意圖。二反思設(shè)計(jì)思路第一階段：情境引入本節(jié)課我以課本引言第一章“解三角形”中,我們遇到這么一個(gè)問題,“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”作為課題的引入。讓學(xué)生體會(huì)學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)無處不在,數(shù)學(xué)對(duì)生活的影響無處不在數(shù)學(xué)方法是解決實(shí)際問題的一大途徑。實(shí)際問題推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展,數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展。讓學(xué)生體會(huì)解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課的濃厚興趣。第二階段：實(shí)際問題,建立數(shù)學(xué)模型引入課題后,向?qū)W生介紹例1（一點(diǎn)可到達(dá)距離測(cè)量問題）引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象概括出示意圖,并建立數(shù)學(xué)模型,再經(jīng)過數(shù)學(xué)模型的解來解答實(shí)際問題?！皵?shù)學(xué)源于生活,生活依靠數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)建模問題貼近

15、生活,充滿趣味性；使學(xué)生更深切地感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系,感受到數(shù)學(xué)問題的廣泛,使學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性理解得更為深刻”。在討論問題時(shí)把重點(diǎn)放在解決此問題的可行性上,學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了解直角三角形,相似三角形等方法都可測(cè)量舉例但應(yīng)用我們高中正余弦定理在于可行性很強(qiáng)。第三階段：深化第二例例2是在例題一基礎(chǔ)上建立的另一類測(cè)量距離的問題。在例題一得到順利解決的前提下引入例題2這時(shí)學(xué)生躍躍欲試。在例題二教學(xué)中依然不給學(xué)生做出圖形,培養(yǎng)學(xué)生敢于畫圖,愛作圖的能力。教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，主動(dòng)探索解決之法。教學(xué)過程中努力去創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)

16、新能力，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決問題的過程。第四階段：生活情景再創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生在實(shí)際生活情境中探究解決實(shí)際問題對(duì)于第四階段的探究我拋棄了以前常用的變式教學(xué)，單純給學(xué)生一個(gè)題目去解出答案，在課堂上我播放一段意大利豪華游輪觸礁擱淺的新聞視屏，并和學(xué)生一起感嘆當(dāng)今社會(huì)如此發(fā)達(dá)竟還會(huì)有觸礁這樣的慘劇發(fā)生，并打開問題假如我們現(xiàn)在在海面上行駛我們的船在海上由西向東航行，測(cè)得某島M在A處的北偏東口角，前進(jìn)4km后，測(cè)得該島在0角，已知該島周圍3、5km范圍內(nèi)有暗礁，我們拿出草稿紙開始計(jì)算？這樣的設(shè)問去讓學(xué)生自己感受自己這時(shí)應(yīng)該去計(jì)算什么？是否有觸礁的危險(xiǎn)我們應(yīng)該去計(jì)算什么？一連串的追問？還是努力在營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生激起學(xué)習(xí)和討論的欲望。讓學(xué)生保持“好奇心”，開通自己的“問題源”，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、提出和解決問題的能力，展示學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)思維能力，并體會(huì)數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的強(qiáng)大作用。培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的快樂。重在學(xué)生培養(yǎng)“翻譯”能力學(xué)會(huì)分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。弄清問題所述的事件和研究對(duì)象；